01专题一 第1讲三角函数的图象与性质(小题)(生)

专题一 三角函数、三角恒等变换与解三角形 第1讲：三角函数的图象与性质（小题）（学生学案）

热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角基本关系式

y

1.三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0).各象限

x

角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

πsin α

α≠kπ＋，k∈Z. 2.同角基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α2cos α

kπ

3.诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.

2

例1 (1)(2019·黄冈调研)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝3x上，则sin 2θ等于( )

4334A.－ B.－ C. D. 5555

π2

(2)已知曲线f(x)＝x3－2x2－x在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则cos2cos(π＋α)2＋α－2cosα－3sin(2π－α)·的值为( ) 8442A. B.－ C. D.－ 5533

5π5π

sin ，cos ，则角α的最小正值为( ) 跟踪演练1 (1)已知角α的终边上一点坐标为66

5π11π5π2πA. B. C. D. 6633

π＋αsinπ－α－4sin23π

＋α，则 (2)已知sin(3π＋α)＝2sin等于( ) 25sin2π＋α＋2cos2π－α

1111A. B. C. D.－ 2366

热点二 三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 1.“五点法”作图：

π3π

设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得.

22

2.图象变换：

1

横坐标变为原来的ω>0倍

ω

(先平移后伸缩)y＝sin x――――――――→ y＝sin(x＋φ)―――――――――――→ y＝sin(ωx＋φ) 平移|φ|个单位长度纵坐标不变纵坐标变为原来的AA>0倍

向左φ>0或向右φ<0

―――――――――――→y＝Asin(ωx＋φ).(先伸缩后平移) 横坐标不变

1

横坐标变为原来的ω>0倍向左φ>0或右φ<0纵坐标变为原来的AA>0倍 ω

y＝sin x―――――――――――→y＝sin ωx――――――――→y＝sin(ωx＋φ)―――――――――――→y＝Asin(ωx＋φ). |φ|纵坐标不变横坐标不变平移个单位长度

ω

3.由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的值：

(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得BM＋mM－m＝，A＝. 22

2π2π

(2)T定ω：由最小正周期的求解公式T＝，可得ω＝.

ωT

(3)点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”.要注意φ的范围. 例2 (1)(2019·安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校联考)将函数y＝cos x的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，

π

x－的图象，则φ等于( ) 得到函数y＝sin6π5π4π5πA. B. C. D. 6633

π (2)(2019·广元统考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则f 2等于( )

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32323A. B.－ C.－

222

3

D. 2π

ωx＋(ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cos ωx的图象，只要将y＝f(x)跟踪演练2 (1)已知函数f(x)＝sin3

的图象( )

ππ5π5π

A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度

12121212

ππ，π上A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示， (2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)则ω＝________；函数f(x)在区间23

的零点为________.

热点三 三角函数的性质及应用 1.三角函数的单调性

πππ3π

2kπ－，2kπ＋(k∈Z)，单调递减区间是2kπ＋，2kπ＋(k∈Z)； y＝sin x的单调递增区间是2222

y＝cos x的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；

ππ

kπ－，kπ＋(k∈Z). y＝tan x的单调递增区间是22

2.三角函数的对称性

π

正弦函数y＝sin x的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z；余弦函数y＝cos x的对称轴为x＝kπ，k∈Z.正弦函数y＝sin x的对

2

πkπ，0，＋kπ，0，称中心为(kπ，0)，k∈Z；余弦函数y＝cos x的对称中心为k∈Z；正切函数y＝tan x的对称中心为22

k∈Z.

2ππ

3.三角函数的周期性：f(x)＝Asin(ωx＋φ)和f(x)＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为；y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为.

|ω||ω|

ππ

－2x，把y＝f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，例3 (1)(2019·茂名模拟)已知函数f(x)＝cos66

则下列说法正确的是( )

π3ππ，0 A.g＝ B.g(x)的图象关于直线x＝对称 C.g(x)的一个零点为3232

π5π－， D.g(x)的一个单调减区间为1212π

＋ωβ＋2＝0， (2)(2019·湖南省长沙市长郡中学调研)已知存在α，β∈[π，2π]，且α<β，使得sin(5π＋ωα)＋cos2

其中ω>0，则实数ω的值可能为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 跟踪演练3 (1)(2019·福建省永春一中、培元中学、季延中学、石光中学四校联考)定义在区间[a，b](b>a)的函数f(x)

113

－，1，则b－a的最大值与最小值之和为( ) ＝sin x－cos x的值域是222

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π5π

A. B.π C. D.2π 23

ππ (2)设函数f(x)＝3sin ωx＋cos ωx(ω>0)，其图象的一条对称轴在区间6，3内，且f(x)的最小正周期大于π，则ω的取值范围是( ) 1A.2，1 B.(0,2) C.(1,2) D.[1,2) 真题体验 1.(2018·全国Ⅱ，理，10 )若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是( ) ππ3π

A. B. C. D.π 4242.(2019·全国Ⅰ，理，11)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：

π

①f(x)是偶函数；②f(x)在区间2，π上单调递增；③f(x)在[－π，π]上有4个零点；④f(x)的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是( ) A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③ 押题预测

cos α－2sin α

1.已知直线3x－y－1＝0的倾斜角为α，则的值为( )

sin α＋cos α

111115A.－ B.－ C.－ D.－ 10244

2π

2x－，则下面结论正确的是( ) 2.已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin 3

7π

A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

12π

B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

6

17π

C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

2121π

D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

26π2

ω>0，|φ|<的最小正周期为4π，其图象关于直线x＝π对称，给出下面四个结论： 3.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)23

4π

0，π上先增后减；②将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称；③点①函数f(x)在区间36

－π，0是函数f(x)图象的一个对称中心；④函数f(x)在[π，2π]上的最大值为1.其中正确的是( ) 3

A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 【课时作业】

4

1.(2019·漳州模拟)已知角α的终边过点P(－3，8m)，且sin α＝－，则m的值为( )

5

1133A.－ B. C.－ D. 22222.(2019·九江模拟)若sin x<0，且sin(cos x)>0，则角x是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角

ππ

ωx＋(x∈R，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.为了得到函数g(x)＝cos ωx的图象，3.已知函数f(x)＝sin52

只要将y＝f(x)的图象( )

3π3πππ

A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度

202055

ππ2π

0<ω<6，|φ|<的图象经过点，2和，－2，4.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)263则函数f(x)的图象的对称轴方程可以

是( )

11π3πππ

A.x＝－ B.x＝－ C.x＝ D.x＝

6543

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π

ω>0，0<φ<，f(x1)＝1，f(x2)＝0，若|x1－x2|5.(2019·安徽省合肥市七中、合肥十中联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)2111＝，且f min

2＝2，则f(x)的单调递增区间为( ) 21551

－＋2k，＋2k，k∈Z B.－＋2k，＋2k，k∈Z A.66665117

－＋2kπ，＋2kπ，k∈Z D.＋2k，＋2k，k∈Z C.6666

113

－1，，则ω的取值范围为( ) 6.(2019·惠州调研)已知函数f(x)＝cos ωx－sin ωx(ω>0)在[0，π]内的值域为222

2442

， B.0， C.0， D.(0，1] A.3333

7.若f(x)＝sin x＋3cos x在[－m，m](m>0)上是增函数，则m的最大值为( ) 5π2πππA. B. C. D. 6363

πππ

ω>0，－≤θ≤的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，8.已知函数f(x)＝sin(ωx＋θ)若将函数f(x)的图象向左222

π

平移个单位长度后得到偶函数g(x)的图象，则函数f(x)的一个单调递减区间为( )

6πππ7πππ5π－， B.， C.0， D.， A.86412326

ππ

4x＋的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，9.(2019·株洲质检)将函数f(x)＝2sin36

得到函数y＝g(x)的图象，则下列关于函数y＝g(x)的说法正确的是( )

πππππ

，0对称 D.在－，上是增函数 A.最小正周期为 B.图象关于直线x＝－对称 C.图象关于点1263412

10.(2019·德阳模拟)已知点A是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)图象上的一个最高点，点B，C是函数f(x)图象上相邻的两个对称中心，且△ABC的周长的最小值为22＋2.若存在m>0，使得f(x＋m)＝mf(－x)，则函数f(x)的解析式为( )

ππππππx＋ B.y＝sinx＋ C.y＝sinπx＋ D.y＝sinπx＋ A.y＝sin43242311.(2018·北京)在平面直角坐标系中，AB，CD，EF，GH是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，

角α以Ox为始边，OP为终边，若tan αA.AB B.CD C.EF D.GH

π3

ω>0，0<φ<的相邻两个对称中心的距离为，且f(1)＝－3，则函数12.(2019·乐山调研)已知函数f(x)＝tan(ωx＋φ)22

1

y＝f(x)的图象与函数y＝(－5x－2

A.16 B.4 C.8 D.12

sin22α－2cos22α

13.已知tan α＝2，则＝________.

sin 4α

π2π14.(2019·葫芦岛调研)已知f(x)＝2sin 2ωx(ω>0)的周期为π，则当x∈6，3时，f(x)的最小值为________.

30，π的最大值是________. 15.(2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋3cos x－x∈

42

π

3x＋在[0，π]上的零点个数为______. 16.(2018·全国Ⅲ)函数f(x)＝cos6

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