２０１ １．１—２ 一、数形结合思想 例１ 如图１，点Ｃ是线段ＭＮ上的点，Ｄ、Ｅ分别是线段 ＭＣ和ＮＣ的中点。若ＭＣ＝５ｃｍ，ＮＣ＝７ｃｍ，则ＤＥ＝ 分析：‘．’Ｄ为线段ＭＣ的中点， ・．．ＤＣ＝ ｃ＝÷×５＝寻 Ｅ为线段ＣＮ的中点， Ｍ Ｄ Ｃ Ｅ Ｎ ・’．・．．ＣＥ＝ ｃⅣ＝丢×７＝吾， ＤＥ＝ＤＣ＋ＣＥ＝ ５７＋ 图１ ・．．＝６． 解答这类问题，只需要将条件中的数量与图形中的线段 “对号入座”，就能求出未知线段的长度，关键是理解一些概 念（如“中点”）。 二、整体思想 例２ 如图２，Ｃ点是线段ＭＮ上的 点，Ｄ、Ｅ分别是线段ＭＣ和ＮＣ的中点。 Ｍ Ｄ Ｃ 若ＭＮ＝１１ｃｍ，则ＭＤ＋ＮＥ＝ ｃｍ． Ｅ Ｎ 图２ ・４５・ ２０１ １．１—２ 分析：根据条件ＭＮ：１１ｃｍ，没办法分别求出ＭＤ和ＮＥ 的长度，怎么办？把ＭＤ和ＮＥ“捆”在一起，把ＭＤ＋ＮＥ当作 一个整体，让它们“结伴而行”。 ・．・Ｄ为线段 的中点， ．・．ＭＤ：－￣－－ＭＣ． Ｅ为线段ＣＮ的中点， ．・．ＮＥ： ＭＤ＋ＮＥ＝２ＭＣ＋ ｃⅣ ・．・・．．： １（ Ｃ＋ＯＮ） 删＝ １×１１＝ １１． ＝ 整体思想是一种重要的数学思想，在以后的学习中经常 会用蛰Ｉ 三、方程思想 例３ 如图３，点Ｃ和点Ｄ顺次 将线段ＡＢ分为２：３：４的三部分，线 段ＡＣ、ＤＢ的中点分别是Ｅ和Ｆ，若 ＥＦ＝１２ｃｍ，求线段ＡＢ的长。 分析：因为已知条件中线段的比 的关系不能作为线段的长度直接参与计算，所以考虑引进 “字母未知数”。 由条件，设线段ＡＣ、ＣＤ、ＤＢ的长度分别为２ 、３ 、４ ． ・． Ａ Ｅ ｅ Ｄ Ｆ Ｂ 图３ Ｅ为ＡＣ中点， Ｅｃ＝ ｃ＝ ×２ ＝ ． ・．．．４６・ ２０１ １．１—２ ・．。，为ＤＢ中点， １ １ 二 －．．ＤＦ＝÷ ＝÷×４ｘ：２ｘ． 二 ・．．ＥＦ＝ＥＣ＋ＣＤ＋ＤＦ＝ ＋３ｘ＋２ｘ＝６ｘ＝１２． 解方程，得： ＝２． 所以ＡＢ：２ｘ＋３ ＋４ｘ＝９ｘ＝９×２＝１８ｃｍ． 四、分类讨论的数学思想 例４已知线段ＡＢ的长为２５ｃｍ，点Ｃ在直线ＡＢ上，且 ＡＣ长为５ｃｍ，求线段ＢＣ的长。 分析：已知线段ＡＢ的长度，点ｃ出现在“直线ＡＢ”上，这 就要求根据ＡＣ＝５ｃｍ这个条件来考虑Ｃ点与 点之间可能 存在的位置关系。有三种可能性： Ａ Ｃ Ｂ Ｃ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ｃ 图４ 图５ 图６ （１）点Ｃ在线段ＡＢ上（如图４），此时有： ＢＣ＝ＡＢ—ＡＣ＝２５—５＝２０ｃｍ： （２）点Ｃ在线段的延长线上（如图５），此时则有： ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ＝２５＋５＝３０ｃｍ： （３）点Ｃ在线段的延长线上（如图６），此时图形中的位置 关系与ＡＢ＝２５ｃｍ，ＡＣ＝５ｃｍ数量关系相矛盾，“数”的关系与 “形”的存在不符合，故此时ＢＣ不存在。 本例的最大特点是没有给出现成的图形，解答这种“无 图题”，我们除认真审题、读题外，还要充分想像可能出现的 各种情况。 ・４７・
