数学必修1专题1：抽象函数的单调性

数学必修1专题1：抽象函数的单调性

1. 三类抽象函数的类型及其单调性分析

(1) 已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x、y都满足f(xy)f(x)f(y)，且当x0时，f(x)0．判断f(x)的单调性并证明．

证明：令xy0，则f(00)f(0)f(0) ∴f(0)0

令yx，则f(xx)f(0)f(x)f(x)0 ∴f(x)f(x)

x2，且使x1x2 在R上任取x1，f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1)0 即f(x2)f(x1)

由定义可知f(x)在R上为单调递减函数

(2) 已知函数f(x)的定义域是0，，满足f(xy)f(x)f(y)，且当x1时，f(x)0．判断f(x)的单调性并证明．

证明：令xy1，则f(1)f(1)f(1) ∴f(1)0 令y1111，则f(x·)f(1)f(x)f()0 ∴f()f(x) xxxx任取x1，x20，，且使x1x2

f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(2)0 即f(x2)f(x1) x1x1由定义可知f(x)在0，上为单调递增函数

(3) 已知函数f(x)的定义域是0，y0都有f()f(x)f(y)，当x1时，有，且对一切x0，xyf(x)0．判断f(x)的单调性并证明．

证明：令xy1，则f(1)f(1)f(1) ∴f(1)0

任取x1，x20，，且使x1x2 则f(x2)f(x1)f(由定义可知f(x)在0，上为单调递增函数 2. 简短评价

(1) 注意三类函数的定义域不同的区别；

(2) 其实我们可以看出解题的思路大致一样：求出f(0)或f(1)；令yx或y

x2)0 即f(x2)f(x1) x11 x

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针对练习：

1. 已知函数f(x)的定义域是0，满足f(2)1，且对于定义域内任意x、y都有f(xy)f(x)f(y)成立，，那么f(1)f(4)_______

2. 定义在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)2xy (x，yR)，f(1)2，则f(3)_______ 3. 已知函数f(x)在定义域0，上为增函数，且满足f(3xy)f(x)f(y)，f(3)1 (1) 求f(9)，f(27)的值； (2) 解不等式f(x)f(x8)2

4. 设函数f(x)对任意的a，bR，都有f(ab)f(a)f(b)1，且当x0时，f(x)1 (1) 求证：f(x)是R上的增函数

(2) 若f(4)5，解不等式f(3m2m2)3

5. 设函数f(x)是定义域为R，并满足f(xy)f(x)f(y)，f()1，且当x0时，f(x)0 (1) 求f(0)的值；

(2) 判断函数的奇偶性；

(3) 如果f(x)f(2x)2，求x的取值范围

6. 已知函数f(x)对一切x，yR，都有f(xy)f(x)f(y)，若f(3)a，则是否可以用a表示f(12) 7. 已知函数f(x)的定义域是0，，当x1时，f(x)0，且f(xy)f(x)f(y) (1) 求f(1)

(2) 证明：f(x)在定义域上是增函数

1311f(x)f()2(3) 如果f()1，求满足不等式的x的取值范围 x238.(河南省许昌市四校高一（上）期中联考)已知定义域为（0，+∞）的函数f(x)满足：①x＞1时，f(x)0；

1②f()1③对任意的正实数x，y，都有f(xy)f(x)f(y)

21(1) 求证：f(1)0，f()f(x)；

x(2) 求证：f(x)在定义域内为减函数； (3) 求不等式f(2)f(5x)2的解集．

9.(湖南永州市祁阳四中高一（上）期中数学试卷)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(y)f(xy)，当x＜0时f(x)0，f(1)2； (1) 求证：f(x)为奇函数； (2) 求f(x)在[﹣3，3]的最值；

(3) 当t＞2时，f(klog2t)f(log2tlog222)0恒成立，求实数k的取值范围．

10. 已知函数f(x)定义域为[﹣1，1]，若对任意的x，y[1，1]，都有f(xy)f(x)f(y)，且x0时，有

f(x)0

(1) 证明：f(x)为奇函数；

(2) 证明：f(x)在[﹣1，1]上为单调递增函数；

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(3) 设f(x)1，若f(x)m22am1，对所有x，1]恒成立，求实数m的取值范围。 y[1，1]，a[1，11. 已知f(x)的定义域为0，f(xy)f(x)f(y)，又当xy时，f(x)f(y) ，且满足f(2)1，(1) 求f(1)、f(4)的值；

(2) 如果f(x)f(x3)2，求x的范围

y0，都有f()f(x)f(y) 12. 设f(x)是定义在0，上的增函数，且对任意x、(1) 求f(1)

(2) 若f(4)1，解不等式f(x6)f()2

xy1x

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