电场强度

一. 教学内容：

第三节 电场强度

二. 知识要点

知道电场的意义，知道电场是客观存在的一种特殊物质形态。理解电场强度的概念及其定义式。能推导点电荷场强的计算式，并能进行有关的计算。知道电场的叠加原理，并应用这个原理进行简单的计算。

三. 重点、难点解析

1. 电场和电场的基本性质

静止电荷产生的电场，称为静电场。对于静电场，应明确以下两点： （1）电荷的周围存在着电场，静止电荷周围存在着静电场。

（2）电场的基本性质是：对方入其中的电荷有力的作用，（不管是静止的还是运动的） 电场具有能量。 2. 电场强度

放入电场中的电荷所受电场力跟所带电量的比值叫做这点的电场强度。简称为场强，用E表示电场强度。

即E=电场强度是矢量，规定场强的方向是正电荷受力的方向。那么，负电荷受力的方向跟场强方向相反。场强的单位是N／C。

场强的定义式

说明：（1）在电场中的同一点，F/q是不变的，在电场中的不同点，F/q往往不同；即F/q完全由电场本身性质决定，与放不放电荷，放入电荷的电性、电量多少均无关系，正因F/q有上述特点，才将其定义为描述电场性质的物理量一电场强度。这是物理学上定义物理量的常用方法之一。

（2）E=变形为F=qE表明：如果已知电场中某点的场强E，便可计算在电场中该点放任何电量的带电体所受的电场力大小，即场强E是反映电场力的性质的物理量。 3. 电场力

（1）由电场强度的定义式E=，可导出电场力F=qE。 电场中每一点的电场强度的大小和方向都惟一地确定了。若知道某点的电场强度的大小和方向，就可求出电荷在该点受的电场力的大小和方向。

（2）电场力是由力的性质命名的，与重力、弹力、摩擦力一样，遵循力学的一切规律。 （3）电场力是由电荷和场强共同决定的，而场强是由电场本身决定的。 4. 点电荷电场的场强

场源电荷Q与试探电荷q相距为r，则它们相互间的库仑力F=荷q处的电场强度E=

。

=q

，所以电

（1）公式：E=，Q为真空中点电荷的带电量，r为该点到点电荷Q的距离。 （2）方向：若Q为正电荷场强方向沿着Q和该点连线指向该点；若Q为负电荷场强方向沿着Q和该点连线指向Q。

（3）适用条件：真空中点电荷。 注意：由于库仑定律仅适用于点电荷电场，因而E=5. 场强的叠加

也是仅适用于真空中的点电荷。

如空间有几个点电荷，则某点的场强应为各点电荷单独存在时在该点产生场强的矢量和。

说明：场强是矢量，场强的叠加遵循矢量叠加原理——平行四边形定则。 6. 电场线的定义

如图1表示一条电场线，A，B点的场强方向在各点的切线上，箭头表示各点的场强方向。

图1

7. 电场线的性质

（1）电场线是假想的曲线

电场线跟“质点”“点电荷”这些理想化的模型不同。“质点”“点电荷”这些理想化的模型包含有某些真实的内容，具有一定的客观性，在一定条件下，考虑对实际物理现象来说是主要的、本质的特征，而忽略次要的、非本质的因素。而“电场线”则完全是假想的、虚构的。但它们都能反映出实际现象的基本规律，为我们的研究提供方便。

（2）电场线总是从正电荷出发到负电荷终止。因此，电场线有起始点和终止点，不是闭合曲线。

（3）电场线不相交。

因为电场中每一点的场强只有一个惟一的方向。如果电场线在电场中某点相交，则交点处相对两条电场线就有两个切线方向，该点处的场强就有两个方向，这是不可能的。

（4）电场线不是带电粒子运动轨迹。

就是说点电荷在这种条件下才会沿电场线运动。 8. 匀强电场

（1）匀强电场的定义

在电场的某一区域，两块靠近的平行金属板，大小相等，互相正对，分别带有等量的正负电荷，它们之间的电场除边缘附近外，就是匀强电场，如图2所示。

图2

（2）匀强电场的性质 ① 因场强的大小相等、方向相同，故匀强电场的电场线是间距相等的互相平行的直线。 ② 带电粒子在匀强电场中受到恒定的电场力作用。

如果带电粒子的重力可以忽略，则粒子在匀强电场中只受电场力作用将做匀变速运动；如果带电粒子的重力不可忽略，则粒子将在重力和电场力这两个恒力作用下可能处于平衡状态（重力与电场力平衡），也可能做匀变速运动。 9. 电场强度的求解方法 （1）用定义式求解

由于定义式E=F/q是适用于任何电场的（只要放入的电荷q不影响原电场的分布），所以都可用测得的放入电场中某点的电荷q受到的电场力F，与放入电荷电量q之比求出该点的电场强度。

（2）用E=

求解

中学阶段绝大多数情况下只讨论点电荷在真空中的电场分布情况，故直接用E=求电场强度。其方向由场源电荷Q的正负确定，如+Q时，E的方向沿半径r向外；若－Q时，E的方向沿半径r的反向（向内）。

（3）由场强与电势差关系求解（后面将学到） 在匀强电场中它们的关系是：场强在数值上等于沿场强方向每单位距离上的电势差。即E=

。式中d为沿电场线方向的距离，U为这个距离的两个点（或称为等势面）的电势差。 （4）矢量叠加法求解

已知某点的几个分场强求合场强，或已知合场强求某一分场强，则用矢量叠加法求得E。 （5）用对称性求解

巧妙地合适地假设放置额外电荷，或将电荷巧妙地分割使问题简化而求得未知场强，这都可采用对称性求解。

10. 常见的几种电场的电场线的特点与画法 （1）点电荷的电场线

点电荷+Q周围激发电场，各点场强大小方向不同，如图3所示，如果用电场线的疏密表示场强E的大小，箭头表示场强的方向，则图3就可用图4代替。

图3 图4 图5

同理可知点电荷－Q的电场线如图5所示。

注意：① 离点电荷越近，电场线越密集，场强越强，即电场线的疏密程度描述场强的大小。方向由点电荷指向无穷远（正）；或由无穷远指向点电荷（负）。② 在正（负）点电荷形成的电场中，不存在场强相同的点；③ 若以点电荷为球心作一个球面，电场线处处与球面垂直，在此球面上场强大小处处相等，方向各不相同。

（2）等量异种点电荷形成的电场如图6。

图6

说明：

① 两点电荷连线上各点，电场线方向从正电荷指向负电荷，场强大小亦可进行计算。 ② 两个点电荷联线的中垂面（中垂线）上电场线方向都相同，与中垂面垂直。在中垂线上到O点等距离处各点的场强相等（O为两点电荷连线中心）。

③ 在中垂面（线）上的电荷受到的电场力方向总与中垂面（线）垂直，因此，在中垂面（线）上移动电荷电场力不做功。

（3）等量同种点电荷形成的电场如图7所示

图7

说明：① 两点电荷连线中点处场强为零，此处无电场线。② 中点O处附近的电场线非常稀疏，但场强并不为零。③ 两点电荷连线中垂面（中垂线上），场强方向总沿面（线）远离O（等量正电荷）或指向O（等量负电荷）。④ 在中垂面（线）上从O点到无穷远处，电场线先变密后变疏，即场强县变强后变弱。 11. 等效法处理叠加场

各种性质的场与实物（由分子和原子构成的物质）的根本区别之一是场具有叠加性，即几个场可以同时占据同一空间，从而形成叠加场。对于叠加场中的力学问题，可以根据力的作用原理分别研究每一种场力对物体作用效果，也可以同时研究几种场力共同作用的效果，将叠加场等效为一个场，相当于新的重力场，力学的规律都可以应用。 12. 力学知识综合问题 解决与力学相关的问题，处理方法与力学中处理问题的方法一样，只是多了一个电场力而已。

分析带电粒子在电场中运动轨迹问题时，注意做曲线运动所受合外力指向曲线凹侧，速度方向沿着轨迹的切线方向，再结合电场线、电场力的知识来分析。

【典型例题】

[例1] 如图是表示在一个电场中a、b、c、d四点分别引入检验电荷时，测得的检验电荷的电荷量跟它所受电场力的函数关系图像，那么下列叙述正确的是（ ）

A. 这个电场是匀强电场

B. a、b、c、d四点的场强大小关系是Ed>Ea>Eb>Ec C. a、b、c、d四点的场强大小关系是Ea>Eb>Ed>Ec D. 无法确定这四个点的场强大小关系

解析：图中给出了a、b、c、d四个位置上电荷量和所受静电力大小的变化关系，由电场强度的定义式E=可知，斜率的绝对值较大的对应场强较大，故B正确。

[例2] 在x轴的原点O和x轴上的P点，分别固定同种电荷Q1和Q2，已知Q1A. x>0 B. 02l

解析：题中空间存在着两个静电荷，因此空间里任何一点的场强，都是此两点电荷分别在该点产生的场强E1和E2的矢量和。由点电荷的场强公式E=，又因两电荷为同种电荷，故只有在OP之间某处的合场强才能大小相等、方向相反，矢量和为零。

设在x=a处，E=0，则有

，所以

可知0说明：空间中有多个电荷存在时，空间中总的场强是各电荷在该处场强的矢量和。这就是矢量叠加法求解，且应用了E=。

[例3] 某静电场中的电场线如图所示，带电粒子在电场中仅受电场力作用，其运动轨迹如图虚线所示，由M运动到N，以下说法正确的是（ ）

A. 粒子必定带正电荷

B. 粒子在M点的加速度大于它在N点的加速度 C. 粒子在M点的加速度小于它在N点的加速度 D. 粒子在M点的动能小于它在N点的动能

分析：根据电荷运动轨迹弯曲的情况，可以确定点电荷受电场力的方向沿电场线方向，故此点电荷带正电，A选项正确。由于电场线越密，场强越大，点电荷受电场力就越大，根据牛顿第二定律可知其加速度也越大，故此点电荷在N点加速度大，C选项正确，粒子从M点到N点，电场力做正功，根据动能定理得此点电荷在N点动能大，故D选项正确。

[例4] 如图所示，在匀强电场中，将质量为m、带电荷量为q的一带电小球由静止释放，如果带电小球的运动轨迹为一直线，该直线与竖直方向的夹角为θ，那么匀强电场的场强的最小值是多少?

解析：根据物体做直线运动的条件列方程求解。

带电小球在匀强电场中受到重力mg和电场力qE的作用。这两个力的合力在小球运动轨迹的直线上。从题目给的已知条件只能确定重力mg的大小、方向和合力的方向。而电场力的大小和方向均不能确定，这实际是一个不定解的问题，电场力不可能只有惟一的值。由平行四边形定则可知，依据一个分力（mg）的大小、方向和合力的方向，可以作无数多个平行四边形，如图所示。在这无数个平行四边形中，mg是一个固定的边，其另一个邻边qE只有与合力F垂直时才能取得最小值，此时qE=mgsinθ，E=

。

[例5] 半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，环上套有一质量为m、带正电的珠子，空间存在水平向右匀强电场，如图所示，珠子所受静电力是其重力3／4倍。将珠子从环上最低位置A点静止释放，则珠子所能获得最大动能Ek为多少?

解析：设珠子的带电量为q，电场强度为E。

珠子在运动过程中受到三个力作用，其中只有电场力和重力对珠子做功，其合力大小为F==mg

设F与竖直方向间夹角为θ，如图所示，则

sinθ=

=

，cosθ=

=

把这个合力等效为复合场，此复合场的强度g’=g，g’与竖直方向间的夹角如图所示，设为θ。珠子沿圆环运动，可以类比于单摆的振动，运动中动能最大的位置在“最低点”，由能的转换及守恒可求出最大动能为Ek=mg’r（1一cosθ）=mgr

【模拟试题】

1. 在电场中某点引入电量为q的正电荷，这个电荷受到的电场力为F，则（ ） A. 在这点引入电量为2q的正电荷时，该点的电场强度将等于F／2q B. 在这点引入电量为3q的正电荷时，该点的电荷强度将等于F／3q

C. 在这点引入电量为2e的正离子时，则离子所受的电场力大小为2e·F／q

D. 若将一个电子引入该点，则由于电子带负电，所以该点的电场强度的方向将和在这一点引入正电荷时相反

2. 在真空中O点放一个点电荷Q=+1.0×10-9C，直线MN通过O点，OM的距离r=30cm，

一10

M点放一个点电荷q=－1.0×1 0C，如图所示，求：

（1）q在M点受到的作用力。 （2）M点的场强。

（3）拿走q后M点的场强。 （4）M、N两点的场强哪点大?

3. 如图所示，A、B、C三点为一直角三角形的三个顶点，∠B=30º，现在A、B两点放置两点电荷qA、qB，测得C点场强的方向与AB平行，则qA带 电，qA：qB= 。

4. 法拉第首先提出用电场线形象生动地描绘电场，如图为点电荷a，b所形成电场的电场线分布，以下几种说法正确的是（ ）

A. a，b为异种电荷，a的电荷量大于b的电荷量 B. a，b为异种电荷，a的电荷量小于b的电荷量 C. a，b为同种电荷，a的电荷量大小b的电荷量 D. a，b为异种电荷，a的电荷量等于b的电荷量

5. 如图所示，A、B两小球用绝缘细线悬挂在支架上，A球带2×l0-3C的正电荷，B球带等量的负电荷，两悬点相距3 cm，在外加水平匀强电场作用下，两球都在各自悬点正下方处于平衡状态，则该场强大小是 N／C。（两球可视为点电荷）

6. 如图所示，A为带正电Q的金属板，沿金属板的垂直平分线，在距板r，处放一质量为m、电荷量为q的小球，小球受水平向右的电场力偏转θ角而静止，小球用绝缘丝悬挂于O点，试求小球所在处的电场强度。

7. 如图所示，AB是某点电荷电场中一条电场线，在电场线上P处自由释放一个负试探电荷时，它沿直线向B点处运动，对此现象下列判断正确的是（不计电荷重力）（ ）

A. 电荷向B做匀加速运动

B. 电荷向B做加速度越来越小的运动 C. 电荷向B做加速度越来越大的运动

D. 电荷向B做加速运动，加速度的变化情况不能确定

8. 如图中A、B两点放有电荷量+Q和+2Q的点电荷，A、B、C、D四点在同一直线上，且AC=CD=DB，将一正电荷从C点沿直线移到D点，则（ ）

A. 电场力一直做正功

B. 电场力先做正功再做负功 C. 电场力一直做负功

D. 电场力先做负功再做正功

9. 在水平向右的匀强电场中，有一质量为m、带正电的小球，用长为l的绝缘细线悬挂于O点，当小球静止时细线与竖直方向夹角为θ，如图所示。现给小球一个冲量，使小球恰能在竖直平面内做圆周运动。试问：

（1）小球做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小?速度最小值多大? （2）小球受到的冲量是多大?

10. 竖直放置的两块足够长的平行金属板间有匀强电场。其电场强度为E，在该匀强电场中，用丝线悬挂质量为m的带电小球，丝线跟竖直方向成θ角时小球恰好平衡，如图所示，请问：

（1）小球带电荷量是多少?

（2）若剪断丝线，小球碰到金属板需多长时间?

【试题答案】

1. C

解析：电场强度是描述电场力的性质的物理量，它是由产生电场的电荷以及在电场中的位置决定的，与该点有无电荷无关，所以排除选项中的A、B、D，而电场力F=Eq不仅与电荷在电场中的位置有关，还与电荷q有关，该题中根据场强的定义式可知该点的场强大小为E=，则正离子所受的电场力大小应为F=E·2e=·2e。

2. 解析：根据题意，Q是形成电场的电荷，q为检验电荷，为了方便，只用电荷量的绝对值计算库仑力。力和场强的方向可通过电荷的正负判断。

（1）电场是一种物质，电荷q在电场中M点所受的作用力是电荷Q通过它的电场对q的作用力，根据库仑定律，得

FM==

-8

=1.0×10 N

因为Q为正电，q为负电，库仑力是吸引力，所以力的方向沿MO指向Q。

—一

（2）M的场强EM=FM／q=1.0×108／1.0×1010 N／C=100N／C，其方向沿OM连线背离Q，因为它的方向跟正电荷受电场力的方向相同。

（3）在M点拿走检验电荷q，有的同学说M点的场强EM=0，这是错误的，其原因在于不懂得场强是反映电场的力的性质的物理量，它是由形成电场的电荷Q决定的，与检验电荷q是否存在无关。

（4）M点场强大。

3. 解析：放在A点和B点的点电荷在C处产生的场强方向在AC和BC的连线上，因C点场强方向与BA方向平行，故放在A点的点电荷和放在B点的点电荷产生的场强方向只能如图所示，由C→A和由B→C，故qA带负电，qB带正电，且EB=2EA，即又由几何关系知

=2

，所以qA：qB=1：8。

=2

，

4. B

解析：由题中图形可知一系列电场线在a，b之间，则一定为异种电荷，由于电场线左右不对称可知，两电荷是不等量的，又根据电场线的疏密可知b所带电荷量大。 5. 解析：小球受匀强电场的电场力和库仑力作用，所以两个力的合力为零。

小球A、B的受力情况相似，只分析A受力即可，要使悬线处于竖直状态，必须有qE=

，即该场强度的大小是

E==N／C=2.0×1010N／C

6. 解析：要求小球所在处的电场强度，可以采用电场强度的定义式，需要求出小球所受到的电场力，可以通过平衡条件求得电场力。

分析小球受力如图所示，由平衡条件得F=FTsinθ，所以小球所在处的电场强度E==

，小球带正电荷，因此电场强度方向水平向右。

7. D

解析：从静止起运动的负电荷向B运动，说明它受电场力方向向B，负电荷受的电场力方向与电场强度的方向相反，可知此电场的指向应从B→A，这就有两个可能性。 8. B

解析：由于A、B两点均放有带正电的点电荷，在AB连线上有一点合场强必为零。设该点为E，且距A点距离为x，AB两点间的距离为L，根据点电荷场强公式和场的叠加原理有：=，解得x=（—1）L，可见E点在CD之间，E点左侧合场强方向水平向右，E点右侧合场强方向水平向左，所以将一正电荷从C点沿直线移到D点的过程中，电场力先做正功再做负功。

9. 解析：（1）小球所受重力和电场力的合力F=mg/cosθ，如图所示，方向斜向右下方，且与竖直方向成θ角，将合力等效成一个合场力，其强度g效=g/cosθ，与重力场中等效，可知A点速度最小，如图所示，且在A点拉力为零，

则等效重力提向心力即mg效=，vA=

（2）设小球受到冲量后在B点的速度为vB，根据能量守恒定律有

=

+mg效·2l，故vB=

根据动量定理，小球所受的冲量大小为I=mvB=m

10. 解析：（1）由于小球处于平衡状态，对小球受力分析如图所示

FTsinθ=qE， ① FTcosθ=mg， ② 由①/②得tanθ=

，故q=

（2）由第（1）问中的方程②知FT=，而剪断丝线后小球受电场力和重力的合力与未剪断丝线时丝线的拉力大小相等，故剪断丝线后小球所受重力、电场力的合力F等于

。小球的加速度a=

=g/cosθ，小球由静止开始沿着丝线拉力的反方向做匀加速直线

，又由s=

得

运动，当碰到金属板时它走的位移为s=

t=

==