高中数学必修5：一元二次不等式 知识点及经典例题(含答案)

一元二次不等式

【知识概述】

本节主要为大家讲解一元二次不等式的解法，以及利用一元二次不等式解决其他相关数学问题.通过本节课的学习，要求同学们掌握简单的一元二次不等式或可化为一元二次不等式的分式不等式的解法，能够解决已知二次函数零点的分布考查一元二次方程中未知参数的取值范围的问题.

三个二次之间的关系（下表中a>0，△=b2－4ac） 二次函数的图象 2y=axbxc △>0 △=0 △<0 一元二次方程 有两相异实根有两相等实根 没有实根 ax2bxc0的根 一元二次不等式x1，x2(x1x2) x1x2b 2aax2bxc>0的解集 一元二次不等式xxx1或xx2} xxR,xb} 2aR xx1xx2}   ax2bxc0的解集

【学前诊断】

1. [难度] 易

不等式(x2)(1x)0的解集是（ ）

A. {x|x2或x1} C. {x|x1或x2} 2. [难度] 易

方程mx2(2m1)xm0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. m

B. {x|2x1}

D. {x|1x2}

1 4B. m1 4C. m1 4

D. m1且m0 43. [难度] 中

2 若不等式axbx20的解集是(－2，－

1)，则a=___________，b=____________ 4

【经典例题】

例1. 解下列关于x的不等式

（1）(x5)(32x)6:

（2）ax2(12a)x20.

例2. 已知不等式ax2bxc0的解集为x2x4，求不等式cx2bxa0的

解集.

例3.

2 若关于x的不等式ax2ax30对一切实数x都成立，求a的取值范围.



例4.

若关于x的不等式x(2a)x2a0在区间,1上总成立，求a的取值范

2围.

例5.

例6.

【本课总结】

2xx 若对x,1，不等式(mm)2()1恒成立，求实数m的取值范围. 22 若关于x的不等式3x2axa0在区间1,2上总成立，求a的取值范围.

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不等式是高考的基本内容之一，作为重要的工具性知识，在高考数学试卷中一直占有较高的比例，由于不等式内容的高渗透性特征，所以本部分内容的考查形式比较灵活，可以出现在各种题型内，如选择、填空、解答题都可以渗透不等式内容，所以新课标卷对不等式的考查都是小题和大题兼顾，而且由于高考试卷命题的综合性特征明显，单纯考查不等式的题目不是很多，常在一些函数、数列、解析几何和实际应用问题的试题中有所涉及，并在其中充分发挥着工具性作用，不等式高考题的落脚点在于不等式的基础知识和不等式的解法，特别是一元二次不等式（包括含参数和不含参数的）的解法.不等式部分要求考生要有足够的运算求解能力和转化化归能力，且由于解题途径的多样性，又对考生的综合运用所学知识分析和解决问题的能力有较高要求.具体学习时要注意一下几点：

1.要特别重视四位一体的综合思维模式，即将二次函数、二次方程、二次不等式、二次函数图像作为有机整体进行思考，并能进行必要的转化，此思维模式中包含重要的数学思想，如数形结合思想、转化思想等，通过数形结合将抽象问题直观化，通过转化则可将复杂问题简单化、将陌生问题熟悉化.

2.解一元二次不等式时，要转化为标准形式，即二次项系数大于零，在此背景下才能直接套用不等式的解集公式.

3.如果不等式的系数中包含字母参数，则在解不等式时一般要进行分类讨论，在含参问题的讨论中，充分利用二次函数图像突出其直观性是重要的思想方法.此类问题的难点在于含参问题的讨论，许多同学的困惑在于如何确定分类讨论的标准，一般来说此类问题的讨论分三个层次：先讨论二次项系数的符号，如本题中分k=0,k>0；再讨论判别式的符号；在有根的情况下，如有必要再讨论两根之大小关系，若该二次三项式可以因式分解，则不需讨论判别式而直接讨论两根之大小..

4. 在含参数的不等式中求参数取值范围,是高考命题的一个趋势.已知不等式恒成立求参数的取值范围，是一种重要的数学模型，如(1)f(x)a(xD)恒成立，求参数a的取值范围；（2）f(x)g(x)恒成立，求式中参数m的取值范围等，此类数学模型一般有两种基本解法，一是转化为求函数的最小值：如f(x)a(xD)恒成立f(x)maxa(xD),二是分离参数法，将参数m与自变量x进行分离，分离参数是一种重要的方法，可避免分类讨论的痛苦，在研究不等式恒成立的问题时非常有效..

5.要关注求解不等式的逆向思维问题，即若给出不等式的解集研究原不等式.

6.要关注在其他数学问题背景中涉及到一元二次不等式的相关问题，此类问题具有一定的综合性，对解题方法的选择有一定灵活性.

【活学活用】

1 . [难度] 易

若0a1，则不等式(ax)(xA. ax2. [难度] 中

解关于x的不等式(xa)(xa2)0.

3. [难度] 中

对于任意实数x，一元二次不等式(2m1)x2(m1)x(m4)0恒成立，求实数

1 a1)0的解集是（ ） a11 B. xa C. x或xa

aa D. x

1

或xa a

m的取值范围.