考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷22(题后含答案及解析)

考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷22 (题后含答案及

解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1． 设三阶矩阵A的特征值是0，1，一1，则下列选项中不正确的是( ) A．矩阵A—E是不可逆矩阵。 B．矩阵A+E和对角矩阵相似。

C．矩阵A属于1与一1的特征向量相互正交。 D．方程组Ax=0的基础解系由一个向量构成。

正确答案：C

解析：因为矩阵A的特征值是0，1，一1，所以矩阵A一E的特征值是一1，0，一2。由于λ=0是矩阵A—E的特征值，所以A—E不可逆。因为矩阵A+E的特征值是1，2，0，矩阵A+E有三个不同的特征值，所以A+E可以相似对角化(或由A～Λ => A+E～Λ+E而知A+E可相似对角化)。由矩阵A有一个特征值等于0可知r(A)=2，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由n—r(A)=3—2=1个解向量构成。选项C的错误在于，若A是实对称矩阵，则不同特征值的特征向量相互正交，而一般n阶矩阵，不同特征值的特征向量仅仅线性无关并不一定正交。故选C。 知识模块：矩阵的特征值和特征向量

2． 设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵有特征值( ) A． B． C． D．

正确答案：B

解析：因为A为A的非零特征值，所以λ2为A2的特征值，为(A2)—1的特征值。因此的特征值为。故选B。 知识模块：矩阵的特征值和特征向量

3． 设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )

A．λ1≠0。 B．λ2≠0。 C．λ1=0。 D．λ2=0。

正确答案：B

解析：令k1α1+k2A(α1+α1)=0，则(k1+k2λ1)α1+k2λ2α2=0。因为α1，α2线性无关，所以k1+k2λ1=0，且k2λ1=0。当λ2≠0时，显然有k1=0，k2=0，此时α1，A(α1+α2)线性无关；反过来，若α1，A(α1+α2)线性无关，则必然有λ2≠0(否则，α1与A(α1+α2)=λ1α1线性相关)。故选B。 知识模块：矩阵的特征值和特征向量

4． 设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中①A2；②P—1AP；③AT； ④E一A。α肯定是其特征向量的矩阵个数为( )

A．1。 B．2。 C．3。 D．4。

正确答案：B

解析：由Aα=λα，α≠0，有A2α=A(λα)=λAα=λ2α，即α必是A2属于特征值λ2的特征向量。由知α必是矩阵属于特征值的特征向量。关于②和③则不一定成立。这是因为(P—1AP)(P—1α)=P—1Aα=λP—1α，按定义，矩阵P—1AP的特征向量是P—1α。因为P—1α与α不一定共线，因此α不一定是P—1AP的特征向量，即相似矩阵的特征向量是不一样的。线性方程组(λE—A)x=0与(λE—AT)x=0不一定同解，所以α不一定是第二个方程组的解，即α不一定是AT的特征向量。故选B。 知识模块：矩阵的特征值和特征向量

5． 已知矩阵，那么下列矩阵中与矩阵A相似的矩阵个数为( ) A．1。 B．2。 C．3。 D．4。

正确答案：C

解析：二阶矩阵A有两个不同的特征值1和3，因此A一Λ=，那么只要和矩阵Λ有相同的特征值，它就一定和Λ相似，也就一定与A相似。①和②分别是上三角和下三角矩阵，且特征值是1和3，所以它们均与A相似，对于③和④，由可见④与A相似，而③与A不相似。故选C。 知识模块：矩阵的特征值和特征向量

6． 设A是三阶矩阵，其特征值是1，3，一2，相应的特征向量依次是α1，α2，α3，若P=(α1，2α3，一α2)，则P—1AP=( )

A． B．

C． D．

正确答案：A

解析：由Aα2=3α2，有A(一α2)=3(一α2)，即当α2是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量时，一α2仍是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量。同理，2α3仍是矩阵A属于特征值λ=一2的特征向量。当P—1AP=Λ时，P由A的特征向量构成，Λ由A的特征值构成，且P与Λ的位置是对应一致的，已知矩阵A的特征值是1，3，一2，故对角矩阵Λ应当由1，3，一2构成，因此排除选项B、C。由于2α3是属于λ=一2的特征向量，所以一2在对角矩阵Λ中应当是第二列。故选A。 知识模块：矩阵的特征值和特征向量

7． 设A为n阶实对称矩阵，则( ) A．A的n个特征向量两两正交。

B．A的n个特征向量组成单位正交向量组。

C．对于A的k重特征值λ0，有r(λ0E一A)=n一k。 D．对于A的k重特征值λ0，有r(λ0E一A)=k。

正确答案：C

解析：实对称矩阵A必可相似对角化，A的属于k重特征值λ0的线性无关的特征向量必有k个，故r(λ0E—A)=n一k。需要注意的是：实对称矩阵A的特征向量不一定两两正交，但属于不同特征值的特征向量一定正交；凡个特征向量不一定是单位正交向量组。故选C。 知识模块：矩阵的特征值和特征向量

填空题

8． 设矩阵有一特征值0，则a=______，A的其他特征值为______。

正确答案：1；2，2

解析：因A有一个零特征值，所以｜A｜=2(a—1)=0，即a=1。A的特征多项式为｜λE一A｜==(λ一2)2λ=0，解得A的其他特征值为λ=2(二重)。 知识模块：矩阵的特征值和特征向量

9． 已知α=(1，3，2)T，β=(1，一1，一2)T，A=E—αβT则A的最大的特征值为______。

正确答案：7

解析：因为非零列向量α，β的秩均为1，所以矩阵αβT的秩也为1，于是αβT的特征值为0，0，tr(αβT)，其中tr(αβT)=βTα=一6。所以A=E一αβT的特征值为1，1，7，则A的最大的特征值为7。 知识模块：矩阵的特征值和特征向量

10． 设α=(1，一1，a)T是的伴随矩阵A*的特征向量，其中r(A*)=3，则

a=______。

正确答案：一1

解析：α是A*的特征向量，设对应于α的特征值为λ0，则有A*α=λ0α，该等式两端同时左乘A，即得AA*α=｜A ｜α=λ0Aα，即展开成方程组的形式为因为r(A*)=3，｜A*｜≠0，因此λ0≠0，根据方程组中的前两个等式，解得a=一1。 知识模块：矩阵的特征值和特征向量

11． 设A为二阶矩阵，α1，α2为线性无关的二维列向量，Aα1=0，Aα2=2α1+α2，则A的非零特征值为______。

正确答案：1

解析：根据题设条件，得A(α1，α2)=(Aα1，Aα2)=(α1，α2)。记P=(α1，α2)，因α1，α2线性无关，故P=(α1，α2)是可逆矩阵。由，可得P—1AP=。记B=，则A与B相似，从而有相同的特征值。因为 ｜λE—B｜==λ(λ—1)，所以A的非零特征值为1。 知识模块：矩阵的特征值和特征向量

12． 设矩阵A与相似，则r(A)+r(A一2E)=______。

正确答案：3

解析：矩阵A与B相似，则A一2E与B一2E相似，而相似矩阵具有相同的秩，所以r(A)+r(A一2E)=r(B)+r(B一2E)=2+1=3。 知识模块：矩阵的特征值和特征向量

13． 已知Aαi=iαi(i=1，2，3)，其中α1=(1，2，2)T，α2=(2，一2，1)T，α3=(一2，一1，2)T，则A=______。

正确答案：

解析：由Aαi=iαi(i=1，2，3)可知A的特征值为1，2，3。令P=(α1，α2，α3)=则有P—1AP=所以 知识模块：矩阵的特征值和特征向量

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0。记n阶矩阵A=αβT。

14． 求A2；

正确答案：由αTβ=0可知α与β正交，则A2=(aβT)(αβT)=α(βTα)βT=0。 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

15． 求矩阵A的特征值和特征向量。

正确答案：设λ为A的特征值，则λ2为A2的特征值。因A2=0，所以A2的特征值全为零，故λ=0，即A的特征值全为零，于是方程组Ax=0的非零解就是A的特征向量。不妨设a1≠0，b2≠0，对A作初等行变换得则Ax=0的基础解系为(一b2，b1，0，…，0)T，(一b3，0，b1，…，0)T，…，(一bn，0，0，…，b1)T，故矩阵A的特征向量为k1(一b2，b1，0，…，0)T+k2(一b3，0，b1，…，0)T+…+kn—1(一bn，0，0，…，b1)T，其中k1，k2，…，kn—1不全为零。 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

16． 设矩阵，B=P—1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵。

正确答案：设A的特征值为A，对应特征向量为η，则有Aη=λη。由于｜A｜=7≠0，所以λ≠0。又因A*A=｜A｜E，故有A*η=。于是有B(P—1η)=P—1A*P(P—1)=(B+2E)P—1η=因此，为B+2E的特征值，对应的特征向量为P—1η。由于｜λE—A｜==(λ一1)2(λ一7)，故A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=7。当λ1=λ2=1时，对应的线性无关的两个特征向量可取为当λ3=7时，对应的一个特征向量可取为η3=。由。因此，B+2E的三个特征值分别为9，9，3。对应于特征值9的全部特征向量为k1P—1η1+k2P—1η2=其中k1，k2是不全为零的任意常数；对应于特征值3的全部特征向量为k3P—1η3=，其中k3是不为零的任意常数。 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

17． 设矩阵，行列式｜A｜=一1，又A*的属于特征值λ0的一个特征向量为α=(一1，一1，1)T，求a，b，c及λ0的值。

正确答案：AA*=｜A｜E=一E。对于A*α=λ0α，用A左乘等式两端，得λ0Aα=一α，即由此可得由(1)一(3)得λ0=1。将λ0=1代入(2)和(1)，得b=一3，a=c。由｜A｜=一1和a=c，有=a一3=一1，即得a=c=2。故a=2，b=一3，c=2，λ0=1。 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

18． 已知λ1，λ2，λ3是A的特征值，α1，α2，α3是相应的特征向量且线性无关。证明如果α1+α2+α3仍是A的特征向量，则λ1=λ2=λ3。

正确答案：若α1+α2+α3，是矩阵A属于特征值入的特征向量，则A(α1+α2+α3)=λ(α1+α2+α3)。又A(α1+α2+α3)=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3，于是有(λ一λ1)α1+(λ一λ2)α2+(λ一λ3)α3=0。因为α1，

α2，α3线性无关，故λ一λ1=0，λ—λ2=0，λ—λ3=0，即λ1=λ2=λ3。 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

19． 设A为正交矩阵，且｜A｜=一1，证明λ=一1是A的特征值。

正确答案：要证λ=一1是A的特征值，需证｜A+E｜=0。因为｜A+E｜=｜A+ATA｜=｜(E+AT)A｜=｜E+AT｜｜A｜=一｜A+E｜，所以｜A+E｜=0，故λ=一1是A的特征值。 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

已知是矩阵的一个特征向量。

20． 求参数a，b及特征向量p所对应的特征值；

正确答案：设A是特征向量p所对应的特征值，根据特征值的定义，有(A

一λE)p=0，即从而有方程组解得a=一3，b=0，且p所对应的特征值λ=一1。 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

21． 问A能不能相似对角化?并说明理由。

正确答案：A的特征多项式｜A—λE｜==一(λ+1)3，得A的特征值为A=一1(三重)。若A能相似对角化，则特征值λ=一1有三个线性无关的特征向量，而故r(A+E)=2，所以齐次线性方程组(A+E)x=0的基础解系只有一个解向量，A不能相似对角化。 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

22． 设矩阵的特征值有一个二重根，求a的值，并讨论矩阵A是否可相似对角化。

正确答案：矩阵A的特征多项式为｜λE—A｜==(λ一2)(λ2一8λ+18+3a)。如果λ=2是单根，则λ2一8λ+18+3a是完全平方，必有18+3a=16，即a=。则A的特征值是2，4，4，而r(4E一A)=2，故λ=4只有一个线性无关的特征向量，从而A不能相似对角化。如果λ=2是二重特征值，则将λ=2代入λ2一8λ+18+3A=0可得A=一2。于是λ2一8λ+18+3A=(λ一2)(λ一6)。则矩阵A的特征值是2，2，6，而r(2E—A)=1，故λ=2有两个线性无关的特征向量，从而A可以相似对角化。 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

23． 已知是n阶矩阵，求A的特征值、特征向量，并求可逆矩阵P使P—1AP=Λ。

正确答案：A的特征多项式为=(λ一2n+1)(λ一n+1)n—1，则A的特征值为λ1=2n一1，λ2=n一1，其中λ2=n一1为n一1重根。当λ1=2n一1时，解齐次方程组(λ1E一A)x=0，对系数矩阵作初等变换，有得到基础解系α1=(1，1，…，1)T。当λ2=n一1时，齐次方程组(λ2E一A)x=0等价于x1+x2+…+xn=0，得到基础解系α2=(一1，1，0，…，0)T，α3=(一1，0，1，…，0)T，…，αn=(一1，0，0，…，1)T，则A的特征向量是k1α1和k2α2+k3α3+…+knαn，其中k1≠0，k2，k3，…，kn不同时为0。令，则有P—1AP=。 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

24． 设矩阵A与B相似，且。求可逆矩阵P，使P—1AP=B。

正确答案：由A～B有于是得a=5，b=6。由A～B，知A与B有相同的特征值，于是A的特征值是λ1=λ2=2，λ3=6。当λ=2时，解齐次线性方程组(2E—A)x=0得到基础解系为α1=(1，一1，0)T，α2=(1，0，1)T，即属于λ=2的

两个线性无关的特征向量。当λ=6时，解齐次线性方程组(6E—A)x=0，得到基础解系是(1，一2，3)T，即属于A=6的特征向量。令P=(α1，α2，α3)=，则有P—1AP=B。 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量