矩阵理论2014-2015

一. 选择题: 

1. n󱈺󰵒2󱈻阶实奇异矩阵A的特征多项式与最小多项式相等,则A的伴随矩阵列空间的维数为(    ) 

A. 0 B. 1 C. n D. 不能确定 

2. 设是n维线性空间上的线性变换,适合下列条件的与其它三个不同的是( )

A.󰀃σ是单映射 B.󰀃dim󰵫Im󱈺σ󱈻󰵯󰵌n C.󰀃σ是一一对应 D.󰀃σ适合条件σ󰭬󰵌0 3. 设A是实的反对称矩阵, 则下列命题正确的是(   ) A. e󰭅是实的反对称矩阵        B.󰀃e󰭅是正交矩阵 C. cos󰀃A是实的反对称矩阵      D. sin󰀃A是实的对称矩阵 4. 设方阵A幂收敛到方阵B, 则下列说法 ① |B|󰵌0                  ②B是幂等矩阵 ③ AB󰵌BA󰵌B             ④r󱈺A󱈻󰵒r󱈺B󱈻 正确的有(    )个 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 设n维向量x󰵌

󰬵√󰭬󱈺1

1⋯

1󱈻󰭘,n󰵒2, B󰵌I󰵆xx󰭘,其中I为单位

矩阵,则下列选项正确的是( )

A. ‖B‖󰬵󰵌1 B. ‖B‖󰮶󰵌1 C. ‖B‖󰬶󰵌1 D. ‖B‖󰭊󰵌1  

二. 填空题:  

󰬶

󰵆e󱉁,则A󰵌          . ee1.设e󰵌󱉀0e󰬶

2.设n阶方阵A的最小多项式为λ󰭩󱈺λ󰵆λ󰬵󱈻⋯󱈺λ󰵆λ󰭬󰬿󰭩󱈻, 其中n󰵒k󰵒

󰭅

2,λ󰬵,λ󰬶,…,λ󰭬󰬿󰭩全不为0, 则 dimR󱈺A󰭩󰬿󰬵󱈻=         ; 1

3. 设A󰵌󰵭0

0

10

01󰵱,矩阵󰀃sinA的Jordan标准形J󰭱󰭧󰭬󰭅󰵌           . 01111

4. 矩阵A󰵌󰵭122󰵱，A的Cholesky分解A󰵌LL󰭘，下三角矩阵

123

L                     . 

2

5. 设给定矩阵A󰵌󱉀

10󰵆1󱉁，B󰵌󱉀220

󱉁, 矩阵空间R󰬶󰵈󰬶上线性变󰵆1

换T为:󰀃T󱈺X󱈻󰵌kX󰵅AXB, ∀X∈R󰬶󰵈󰬶. T是可逆变换当且仅当参数k        满足条件          .  

三. 设V是有限维欧氏空间, u∈V是一个单位向量, V上线性变换σ定义为: 对任意x∈V, σ󱈺x󱈻󰵌x󰵆a󱈺x,u󱈻u. (1) 试求非0实数a,使得σ是V上正交变换. 

(2) 多项式空间R󱈾x󱈿󰬷中的内积定义如下: 对任意f󱈺x󱈻,g󱈺x󱈻∈R󱈾x󱈿󰬷, 󱈺f󱈺x󱈻,g󱈺x󱈻󱈻󰵌󰗬󰬴f󱈺x󱈻g󱈺x󱈻dx. 试求R󱈾x󱈿󰬷中向量α󰵌1和β󰵌x的长度; 并求正实数k和单位向量u∈R󱈾x󱈿󰬷, 使得上述正交变换σ将向量α变成kβ. 

01

四. 设A󰵌󰵮

󰵆11

01󰵆1011󰵆11

01󰵆11

󰵆11󰵲 󰵆20

󰬵

(1)求矩阵A的一个满秩分解LR,使得L的第一列为矩阵A的最后一列, 并给出A的列空间R󱈺A󱈻的一组基; 

(2)求A的左零化空间N󱈺A󰭘󱈻的一组基; 

11

(3)设b󰵌󰵮󰵲, 求向量b在线性空间R󱈺A󱈻上的最佳近似. 

11(4)设σ是线性空间R󰬸上的正交投影变换,且满足σ的像空间Im󱈺σ󱈻󰵌R󱈺A󱈻,试求σ在标准基e󰬵,e󰬶,e󰬷,e󰬸下的矩阵. 

󰵆1󰵆2

五. 设矩阵A󰵌󰵭12

󰵆1󰵆1

2󰵆1󰵱. 2

(1)求矩阵A的Jordan标准形J; 

(2)试求一个可对角化矩阵D和一个幂零矩阵N,且DN󰵌ND, 使得A󰵌D󰵅N. 

(3)计算e󰭅󰭲; (4)设x󱈺0󱈻󰵌󱈺1 

六. 设σ是由线性空间R󰭫到线性空间R󰭬上的线性变换, 其中m󰵑n. 

(1)试证: 存在R󰭫到R󰭫上的幂等变换τ,及R󰭫到R󰭬上的单变换φ,使得σ󰵌φ∙τ 

(2)令m󰵌2,n󰵌4, 线性变换σ为:σ󱈺x,y󱈻󰭘󰵌󱈺x,y,2x,󰵆y󱈻󰭘. 试求R󰬶上一组标准正交基,及R󰬸上一组标准正交基, 使得线性变换σ在这

2

3󱈻󰭘. 求定解问题x󱇱󱈺t󱈻󰵌Ax󱈺t󱈻的解. 

两组基下的矩阵为对角线元素均非负的4󰵈2矩阵. 

七.  证明变换tr:X→tr󱈺X󱈻是线性空间M󰭬󱈺R󱈻到R的满足性质:󰀃σ󱈺XY󱈻󰵌σ󱈺YX󱈻及σ󱈺I󱈻󰵌n的唯一的线性变换.