高一数学必修一函数的应用知识点总结

函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。

2、函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。

即：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．

3、函数零点的求法：

1 （代数法）求方程f(x)0的实数根； ○

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的○

图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4、基本初等函数的零点：

①正比例函数ykx(k0)仅有一个零点。

kx③一次函数ykxb(k0)仅有一个零点。 ④二次函数yax2bxc(a0)．

②反比例函数y(k0)没有零点。

（1）△＞０，方程ax2bxc0(a0)有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝０，方程ax2bxc0(a0)有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程ax2bxc0(a0)无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．

⑤指数函数yax(a0,且a1)没有零点。

⑥对数函数ylogax(a0,且a1)仅有一个零点1.

⑦幂函数yx，当n0时，仅有一个零点0，当n0时，没有零点。

5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把fx转化成fx0，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数y1,y2（基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数fx零点的个数。

6、选择题判断区间a,b上是否含有零点，只需满足fafb0。

试判断方程x4x22x10在区间[0,2]内是否有实数解并说明理由。

7、确定零点在某区间a,b个数是唯一的条件是:①

fx在区间上连续，且fafb0②在区间a,b上单

调。

求函数f(x)2xlg(x1)2的零点个数。

8、函数零点的性质：

从“数”的角度看：即是使f(x)0的实数；

从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标； 若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；

若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．

一元二次方程根的分布讨论

一元二次方程根的分布的基本类型

2设一元二次方程axbxc0（a0）的两实根为x1，x2，且x1x2.

k为常数，则一元二次方程根的k分布（即x1，x2相对于k的位置）或

根在区间上的分布主要有以下基本类型：

表一：（两根与0的大小比较）

分布情况大致图象（a0 两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0x10x2 x10,x20 x10,x20 ） 得出的结论大致图象（a0 0b02af00 0b02af00 f00 ）得出的结论（不讨论a 0b02af00 0b02af00 0b02aaf00 f00 ） 综合结论 0b02aaf00 af00 表二：（两根与k的大小比较）

况 分布情大致图象（两根都小于k即 x1k,x2k 两根都大于k即 x1k,x2k 一个根小于k，一个大于k即x1kx2 kk ka0）得出的结论 0bk2afk0 0bk2afk0 fk0 大致图象（a0）得出的结论 0bk2afk0 0bk2afk0 0bk2aafk0 fk0 ）（不讨论综合结论 0bk2aafk0 afk0 表三：（根在区间上的分布）

分布情况大致图象（a0 两根都在m,n内 两根有且仅有一根在m,n内（有两种情况，只画了一种） 一根在m,n内，另一根在p,q内，mnpq ）得出的结论 0fm0fn0bmn2a fmfn0 fm0fn0fmfn0fp0fq0fpfq0 或大致图象（a0）得出的结论论（不讨

0fm0fn0bmn2a fmfn0 ffffm0n0p0fmfn0q0或fpfq0 fmfn0fpfq0 论）综合—————— 结fmfn0 （1）关于x的方程x22(m3)x2m140有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m的取值范围

（2）关于x的方程x2(m3)x2m140有两实根在

2[0,4]内，求m的取值范围

（3）关于x的方程mx22(m3)x2m140有两个实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围

9、二分法的定义

对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

10、给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：

（1）确定区间[a，b]，验证f(a)f(b)0，给定精度； （2）求区间(a，b)的中点x1； （3）计算f(x1)：

①若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；

②若f(a)f(x1)<0，则令b=x1（此时零点x0(a,x1)）； ③若f(x1)f(b)<0，则令a=x1（此时零点x0(x1,b)）； （4）判断是否达到精度；即若|ab|，则得到零点值a（或b）；否则重复步骤（2）~（4）．

11、二分法的条件f(a)·f(b)0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。

12、解决应用题的一般程序：

① 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

② 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数

学模型；

③ 解模：求解数学模型，得出数学结论；

④ 还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．

13、函数的模型

收集数画散点不符合实选择函数求函数模符合实际

检验 14、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型： 一次函数模型：f(x)kxb(k0); 二次函数模型：g(x)ax2bxc(a0); 幂函数模型：h(x)axb(a0);

指数函数模型：l(x)abxc（a0,b＞0，b1）

利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型

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