信号与系统知识要点

第一章 信号与系统

,t0(t)1,t00,t0 单位阶跃信号 (t)u(t) 单位冲激信号 0,t0(t)1td(t) ()d(t) (t)dt

(t)的性质：

f(t)(t)f(0)(t)

f(t)(tt0)f(t0)(tt0)

f(t)(t)dtf(0)

f(t)(tt0)dtf(t0)

(t)(t)

(tt0)[(tt0)] (at)1(t) at1(t0) aa(att0)单位冲激偶信号 (t)

d(t) dt(t)(t)

(tt0)[(tt0)]

(t)t(t)dt0 ()d(t)

f(t)(t)f(0)(t)f(0)(t)

f(t)(tt0)f(t0)(tt0)f(t0)(tt0)



f(t)(t)dtf(0)

f(t)(tt0)dtf(t0)

符号函数 sgn(t)

1,t0sgn(t)0,t0 或 sgn(t)u(t)u(t)2u(t)1

1,t0

单位斜坡信号 r(t)

t0,t0dr(t) r(t)u()d u(t) r(t)tu(t)dtt,t0

门函数 g(t)

1,tg(t)2

0,其他

取样函数Sa(t)sint tsint1 t0tlimSa(t)Sa(0)limt0当 tk(k1,2,Sa(t)dt)时，Sa(t)0

sintsintdt lim0 ttt第二章 连续时间信号与系统的时域分析

1、

基本信号的时域描述

（1）普通信号

普通信号可以用一个复指数信号统一概括，即

f(t)Kest，t 式中sj，K一般为实数，也可以为复数。根据与的不同情

况，f(t)可表示下列几种常见的普通信号。

当s0时f(t)K(直流信号)（即0，0时）当s实数时f(t)Ket(实指数信号)（即0，0时）当s虚数时f(t)Kcostjsint f(t)Kest（即0，0时）(正弦信号与余弦信号)当s复数时f(t)Ket(costsint)（即0，0时）(振幅变化的正、余弦信号)（2）奇异信号

常见的连续时间奇异信号有单位冲激偶(t)、单位冲激信号(t)、单位阶跃信号u(t)和斜坡信号r(t)。任意的连续信号f(t)可用冲激信号(t)，冲激信号(t)是信号进行时域分析的本证信号。 冲激信号的定义：

A(t)0,t0 A(t),t0

A(t)dtA式中A为实数。若A1，冲激信号(t)称为单位冲激信号(t)。

冲激信号的主要性质：

①筛选特性

f(t)(t)f(0)(t) f(t)(tt0)f(t0)(tt0) t0为实常数

②取样特性



f(t)(t)dtf(0)

f(t)(tt0)dtf(t0)

③展缩特性

(atb)1b(t)，a，b为实常数 aat④冲激信号、阶跃信号、斜坡信号和冲激偶信号之间关系

(t)ddd[(t)] (t)[u(t)] u(t)[r(t)] dtdtdt()d(t)



t()du(t)

tu()dr(t)

冲激偶信号的定义：

d(t),t0(t)dt

0,t0冲激偶信号的主要特性： ①筛选特性

f(t)(tt0)f(t0)(tt0)f(t0)(tt0) t0为实常数

②取样特性

f(t)(tt0)dtf(t0)，t0为实常数

1b(t)，a，b为实常数 (t)(t) aaa③展缩特性

(atb)2、 3、

连续时间信号的时域分析 卷积积分

信号的基本运算：加、乘、微分、积分、翻转、平移、展缩、分解。 （1） 定义 f1(t)f2(t)（2） 性质

交换律 f1(t)f2(t)f2(t)f1(t)

分配率 f1(t)[f2(t)f3(t)]f1(t)f2(t)f1(t)f3(t) 结合律 [f1(t)f2(t)]f3(t)f1(t)[f2(t)f3(t)] 卷积的微积分性质 f(t)g(1)f1()f2(t)d

(t)f(t)g(t)

f(n)(t)g(t)f(t)g(n)(t) f(n)(t)g(t)f(t)g(n)(t)

奇异信号的卷积性质

f(t)(t)f(t)

(tt0)是t0秒的延时器 f(t)(tt0)f(tt0)

(t)是微分器 (t)f(t)f(t)

u(t)是积分器 u(t)f(t)（3） 常用信号的卷积表 tf()df(1)(t)

f1(t) f2(t) f1(t)f2(t)f1()f2(t)d f(t) u(t) etu(t) etu(t) tmu(t) 4、 (t) u(t) f(t) tu(t) u(t) etu(t) tnu(t) 1t(e1)u(t) atetu(t) m!n!tmn1u(t) (mn1)!连续时间系统分析 系统的时域分析就是在时间域内分析输入与输出的时间特性，也可以认

为，在输入激励信号已确定的情况下，主要分析输出响应的时间特性。时域分析有经典法和卷积积分法。

第三章 连续时间信号与系统的频域分析 1、

周期信号的傅里叶级数

对于满足狄里赫利条件的周期为T的信号f(t)，可以展开成三角形式和指数形式的傅里叶级数。 记

02，称之为基频。 T（1） 三角形式的傅里叶级数 f(t)a0[an1ncos(n0t)bnsin(n0t)]

（2） 指数形式的傅里叶级数 f(t)2、

nFnejn0t 式中 Fn1jn0tf(t)edt T傅里叶变换

（1） 傅里叶变换的定义式 F(j)f(t)ejtdt f(t)12F(j)ejtd

F(j)——F(j)的模，表示信号f(t)中各频率分量的相对大小，称之为信号的幅频特性；

()——F(j)的相角，表示信号f(t)中各频率分量的相对位置关系，称之为信号的相频特性；

（2）傅里叶变换的性质

傅里叶变换的性质 性质名称 线性 af1(t)bf2(t)aF1(j)bF2(j)，a、b都为常数 偶信号的频谱是偶函数，奇信号的频谱是奇函数 实信号的频谱是共轭对称函数 实偶信号的频谱是实偶函数 实奇信号的频谱是虚奇函数 奇偶性 共轭特性 对称性 时移特性 f*(t)F(j) F(jt)2f() f(tt0)F(j)ejt0 f(at)时域展缩特性 1F(j) f(t)F(j) aab1jf(atb)F(j)ea，a0，a、b均为实常数 aaf(t)ej0tF[j(0)] 0为任意实数 频移特性 微分特性 dnf(t)df(t)(j)nF(j) jF(j) ndtdtndnndF(j) tf(t)jF(j) tf(t)jndd积分特性 tf()dF(j)F(0)() j卷积特性 巴塞伐尔等式 f1(t)f2(t)F1(j)F2(j) 1f1(t)f2(t)F1(j)F2(j) 2122f(t)dtF(j)d() 2 常用非周期信号的傅里叶变换 f(t) 单位冲激信号(t) 单位阶跃信号u(t) 单位直流信号1 符号函数sgn(t) 斜坡信号tu(t) 门信号G(t)（或记为g(t)） 三角信号(t) 取样信号Sa(0t) 或：取样信号F(j) 1 1() j2() 2 j1j()2 Sa(2) ) 24G20() 0G2c() Sa2(sinctcSa(ct) tetu(t)，0 tetu(t)，0 etu(t)，0 1 j1 (j)22 22etsin(0t)u(t)，0 etcos(0t)u(t)，0 ej0t f(t)sin(0t) f(t)cos(0t) 0 22(j)0j 22(j)02(0) 11jF[j(0)]-jF[j(0)] 2211F[j(0)]+F[j(0)] 22j2() 1j2()2 t tu(t) 1 tjsgn() t cos(0t) sin(0t) 相关定理 R12相关定理 R21 利用傅里叶变换的性质求定积分 利用零点 F(0)2[(0)(0)] j[(0)(0)] F[R12()]F1(j)F2(j) *2 f1(t)f2(t)dt f1(t)f2(t)dt F[R21()]F1(j)F2(j) *f(t)dt，f(0)12F()d，

f(t)dt212F(j)d()

2（3） 周期信号的傅里叶变换

一方面，周期信号fT(t)可以展开为傅里叶级数：

fT(t)nFnejn0t 所以 FT(j)2nFn(n0)，02 T另一方面，设f(t)为周期信号fT(t)对应的主周期信号，f(t)的傅里叶变换为F(j)，则有 fT(t)所以

nf(tnT)f(t)T(t)

FT(j)F(j)0

n(n0)0nF(jn0)(n0)，02 T常用的几个周期信号的傅里叶变换 f(t) cos(0t) sin(0t) F(j) (0)(0) j(0)j(0) T(t) 3、系统的频率响应

n(tnT) 0n(n0)，02 T 系统的单位冲激响应h(t)傅里叶变换H(j)称为系统的频率响应，有称为系统函数。 设H(j)H(j)ej()，则H(j)称为系统的幅频特性，反映了系统对输入信号各频率分量相对

大小的改变；()称为系统的相频特性，反映了系统对输入信号各频率分量相对位置的改变。 设输入f(t)的傅里叶变换为F(j)，零状态响应yzs(t)的傅里叶变换为Yzs(j)，则 Yzs(j)F(j)H(j)，即 H(j)4、无失真传输与滤波 （1）无失真传输的条件

Yzs(j)

F(j) 时域：h(t)k(tt0) 频域：H(j)ke（2）理想低通滤波器

jted,c 频率响应H(j)G2c()ejtd

0,c c为截止频率。

jt0 或者 H(j)k，()t0

其中，k和t0为实常数，且t00（保证系统的因果性）。

（3）理想高通滤波器

jted,c H(j)[1G2c()]ejtd

0,c（4）理想带通滤波器

H(j)H1(j)[(0)(0)] 5、抽样 （1）冲激串抽样

fs(t)f(t)•T(t)f(t)n(tnT)，其中，T(t)n(tnT)

fs(t)的频谱为

12F(jjn) Fs(j)， 00TnT（2）脉冲串抽样

fs(t)PT(t)f(t)，其中，PT(t) Fs(j)nG(tnT)

TnSa(n0)F(jjn0) 2（3）时域抽样定理

若f(t)是频带有限的信号，其频谱只占据(m,m)的范围，则当抽样周期Ts（或抽样频率ms2称为奈奎斯特间隔。 2m）称为奈奎斯特（Nyquist）频率，把最大允许抽样间隔TsmT对于冲激串抽样，满足抽样定理时，把抽样信号fs(t)通过理想低通滤波器

（4）抽样信号的恢复

T,cH(j)mcsm

0,c就可以将f(t)完全恢复出来。这种恢复，在数学上可表示为

f(t)Tcnf(nT)Sa[c(tnT)]

第四章 连续时间信号与系统的复频域分析

1、拉普拉斯变换的定义 （1）双边拉普拉斯变换 F(s)1jf(t)edt f(t)F(s)estds 2jjst（2）单边拉氏变换 F(s)01jF(s)estds，t0 f(t)edt f(t)2jjst（3）拉普拉斯变换的收敛域 拉普拉斯变换的条件是

f(t)estdt

t 对于单边拉氏变换，即为 limf(t)et0

满足上式的的取值范围称为拉氏变换的收敛域（ROC）。

2、拉普拉斯变换的性质

单边拉氏变换的性质 性质名称 线性 时移特性 时域展缩特性 复频移特性 时域微分特性 af1(t)bf2(t)aF1(s)bF2(s)，a、b都为常数 f(tt0)u(tt0)F(s)est0 f(at)f(t)es0t1sF() a0 aaF(ss0) 时域积分特性 复频域微分 复频域积分 卷积特性 d2f(t)df(t)2sF(s)sf(0)f(0) sF(s)f(0) 2dtdt(n)nn1f(t)sF(s)sf(0)sn2f(0)•••f(n1)(0) tF(s) f()dsdtf(t)F(s) dsf(t)F(s)ds stf1(t)f2(t)F1(s)F2(s) 1f1(t)f2(t)F1(s)F2(s) 2j若f(t)在t0处不包含冲激信号及其各阶导数，则 初值定理 f(0)limf(t)limsF(s) t0s终值定理

若sF(s)的收敛域包含虚轴，则 f()limf(t)limsF(s) ts03、常用信号的拉普拉斯变换

常用信号的傅里叶变换、拉氏变换对照表 f(t) 单位冲激信号(t) 单位阶跃信号u(t) 单位直流信号1 符号函数 sgn(t) 斜坡信号tu(t) 门信号G(t)（或记为g(t)） 三角信号(t) 取样信号Sa(0t) 或：取样信号F(j) 1 F(s) 1，全部s 1() j2() 1，0 s1，0 s—— 2 jj()12) 1，0 2s—— —— —— Sa(2) 24G20() 0G2c() Sa2(sinctcSa(ct) tetu(t)，0 —— tetu(t)，0 eettu(t)，0 1 j1 2(j)2 221， s1， 2(s)—— sin(0t)u(t)，0 etcos(0t)u(t)，0 0 22(j)0j 22(j)02(0) —— 0， 22(s)0s， 22(s)0—— ej0t 1ntteu(t) n!1(s)n1， sin(0t)u(t) j2[(0)(0)]0022[(0)(0)] 0，0 22s0cos(0t)u(t) 2j 022s，0 2s20n0(tnT)，T0 —— 1，0 sT1e 4、拉普拉斯反变换

（1）利用常用信号的拉氏变换以及拉氏变换的性质求解 （2）部分分式法展开

B(s)bmsmbm1sm1•••b1sb0，设mn F(s)nn1A(s)ansan1s•••a1sa0

若A(s)0有n个互不相等的单根，F(s)可展成如下的部分分式： F(s)Ki，期中 Ki(ssi)F(s)ssi1inssi

f(t)L[F(s)]1Keii1nsit(t)

设A(s)0有一对共轭单根s1,2j，将F(s)的展开式分为两个部分：

F(s)B(s)K1K2B(s)B(s)=++2 A(s)(sj)(sj)A2(s)sjsjA2(s)B(s)K2K1+ F2(s)2

A2(s)sjsjF1(s)K1

B(s1)K1ej K2K1*K1ej f1(t)2K1etcos(t)(t)

A(s1)设A(s)0有从根的情况，例如 F(s)K11K12K13K4s3+++ 332(s1)(s2)(s1)(s1)s1s2dK11[(s1)3F(s)]s12 K12[(s1)3F(s)]s11

ds1d23K13[(s1)F(s)]s11 K4[(s2)F(s)]s21 22!ds2111F(s)-+- 32(s1)(s1)s1s2f(t)[(t2t1)ete2t](t)

取逆变换，得

5、系统的复频域分析

（1）微分方程所表示系统的复频域分析

any(n)(t)an1y(n1)(t)•••a1y(t)a0y(t)bmf

（2）电路系统的复频域分析

(m)(t)bm1f(m1)(t)•••b1f(t)b0f(t)

第五章 离散系统的Z域分析

1、Z变换的定义

（1）双边Z变换：F(z)（2）双边Z变换：F(z)nf(n)zn

f(n)zn0n

2、Z变换的收敛域（ROC）

（1）Z变换的的收敛域：Z平面上的区域，满足条件（2）Z变换的的收敛域的特点：

1）Z变换的收敛域是以原点为圆心的圆环（半径可以是0,0）； 2）在收敛域的圆形边界上一定有F(z)的极点； 3）收敛域不含F(z)的任何极点；

3、Z变换的性质 性质名称 线性 尺度变换 复共轭 时移特性 nf(n)zn。

f(n) af1(n)bf2(n) anf(n) f(n) F(z)nf(n)zn aF1(z)bF2(z) F(z/a) F*(z*) zmF(z) f(nm) f(nm)u(n) f(nm)u(n) ej0nf(n) zm[F(z)f(i)zi] i1m1i0m单边变换的时移特性 z[F(z)f(i)zi] m频移特性 Z域微分 时域卷积 初值定理 终值定理 4、常见序列的Z变换 信号 nf(n) f1(n)*f2(n) zF(ej0z) dzF(z) dzF1(z)F2(z) f(0)limF(z)（f(n)为因果序列且初值存在） f()lim(z1)F(z)（f(n)为因果序列且终值存在） z1F(z) 1 收敛域（ROC） 全平面 (n) (nm) zm m0，全平面除去z m0，全平面除去z0 u(n) u(n1) anu(n) anu(n1) nanu(n) nau(n1) cos0nu(n) nz1(或) z11z1z1(或) z11z1z1(或) 1za1azz1(或) 1za1azaz1 (1az1)2z1 z1 za za za za az1 12(1az)1cos0z1 1212cos0zzsin0z1 1212cos0zz z1 z1 sin0nu(n) 5、Z反变换

（1）Z反变换：f(n)（2）求Z反变换的方法 1）部分分式展开法

1F(z)zn1dz，C为收敛域内包含原点的封闭曲线，逆时针方向为正向。 2jC 将F(z)展开成部分分式，再利用常用序列变换求出f(n)。 2）常除法（幂级数法）

用长除法将F(z)展开成z的幂级数，级数中z1n项的系数就是f(n)。

6、Z变换与拉普拉斯变换的关系

（1）Z变换与拉普拉斯变换的关系式：Fs(s)F(z) 其中Fs(s)是fs(t)的拉普拉斯变换，fs(t)（2）Z平面与s平面的映射关系

7、利用Z变换求离散LTI系统的响应

zesT

n。 f(n)(tnT)（对应理想采样信号）