遂昌县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

遂昌县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 设Sn是等比数列{an}的前n项和，S4=5S2，则A．﹣2或﹣1 B．1或2 C．±2或﹣1 D．±1或2

2． 以下四个命题中，真命题的是（ ） A．x(0,)，sinxtanx

B．“对任意的xR，x2x10”的否定是“存在x0R，x02x010 C．R，函数f(x)sin(2x)都不是偶函数 D．ABC中，“sinAsinBcosAcosB”是“C的值为（ ）

2”的充要条件

【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力． 3． 给出函数f(x)，g(x)如下表，则f(g(x))的值域为（ ）

A．4,2 B．1,3 C．1,2,3,4 D．以上情况都有可能 4． 已知椭圆

，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（ ）

A．4 B．5 C．7 D．8

5． 等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（ ） A．B2=AC

B．A+C=2B

C．B（B﹣A）=A（C﹣A）

6． 如图所示，函数y=|2x﹣2|的图象是（ ）

D．B（B﹣A）=C（C﹣A）

A． B． C． D．

7． 将函数f(x)sinx（其中0）的图象向右平移

个单位长度，所得的图象经过点 4第 1 页，共 17 页

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3,0)，则的最小值是（ ） 415A． B． C． D．

33(8． 设集合A．

9． 已知集合A={y|y=x2+2x﹣3}，A．A⊆B

B．B⊆A

C．A=B

，则有（ ）

D．A∩B=φ

D．

B．

C．

（ ）

10．若函数y=|x|（1﹣x）在区间A上是增函数，那么区间A最大为（ ） A．（﹣∞，0） B．

11．=sin2x的图象向右平移将函数f（x）A．

B．

C．

个单位，得到函数y=g（x）的图象，则它的一个对称中心是（ ）

D．

C．[0，+∞） D．

12．半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ） A．

πR3

B．

πR3

C．

πR3

D．

πR3

二、填空题

13．设函数f（x）=

，则f（f（﹣2））的值为 ．

14．在（1+2x）10的展开式中，x2项的系数为 （结果用数值表示）．

15．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA=bsinB+（c﹣b）sinC，且bc=4，则△ABC的面积为 ．

16．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，俯视如图是一个圆，那么该几何体的体积是 ．

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17．若函数f（x），g（x）满足：∀x∈（0，+∞），均有f（x）＞x，g（x）＜x成立，则称“f（x）与g（x）fx）=ax与g=logax 关于y=x分离”．已知函数（（x）（a＞0，且a≠1）关于y=x分离，则a的取值范围是 ．

18．在直角梯形ABCD,ABAD,DC//AB,ADDC1,AB2,E,F分别为AB,AC的中点，

uuuvuuuvuuuv点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上变动（如图所示）．若APEDAF，其中,R，

则2的取值范围是___________．

三、解答题

19． （本题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，直线AF平面ABCD，EF//AB，

AD2,ABAF2EF1，点P在棱DF上.

（1）求证：ADBF；

（2）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值； （3）若FP1FD，求二面角DAPC的余弦值. 3第 3 页，共 17 页

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20．（本小题满分10分）直线l的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R，ρ≠0），其中α∈[0，π），曲线C1的参数方

x＝cos t程为（t为参数），圆C2的普通方程为x2＋y2＋23x＝0.

y＝1＋sin t

（1）求C1，C2的极坐标方程；

（2）若l与C1交于点A，l与C2交于点B，当|AB|＝2时，求△ABC2的面积．

21．已知Aa2,a1,3,Ba3,3a1,a21,若AIB3，求实数的值.

第 4 页，共 17 页

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22．圆锥底面半径为1cm，高为2cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长．

23．已知椭圆C的中心在坐标原点O，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为4．

（Ⅰ）椭圆C的标准方程．

（Ⅱ）已知P、Q是椭圆C上的两点，若OP⊥OQ，求证：（Ⅲ）当

24．如图所示，在边长为

的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，

K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．

为定值．

为（Ⅱ）所求定值时，试探究OP⊥OQ是否成立？并说明理由．

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遂昌县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】C

【解析】解：由题设知a1≠0，当q=1时，S4=4a1≠10a1=5S2；q=1不成立． 当q≠1时，Sn=

，

由S4=5S2得1﹣q4=5（1﹣q2），（q2﹣4）（q2﹣1）=0，（q﹣2）（q+2）（q﹣1）（q+1）=0， 解得q=﹣1或q=﹣2，或q=2．

=

=q，

∴=﹣1或=±2．

故选：C．

【点评】本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式的应用，利用条件求出等比数列的通项公式，以及对数的运算法则是解决本题的关键．

2． 【答案】D

3． 【答案】A 【解析】

试题分析：f(g(1))f14,f(g(2))f14,f(g(3))f32,f(g(4))f34,故值域为

4,2.

考点：复合函数求值． 4． 【答案】D

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【解析】解：将椭圆的方程转化为标准形式为显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，

，解得m=8

故选D

【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了．

5． 【答案】C 【解析】解：若公比q=1，则B，C成立； 故排除A，D； 若公比q≠1， 则A=Sn=B（B﹣A）=

A（C﹣A）=

（

﹣

，B=S2n=

，C=S3n=

）=

，

，

（﹣

（1﹣qn）（1﹣qn）（1+qn）

）=

（1﹣qn）（1﹣qn）（1+qn）；

故B（B﹣A）=A（C﹣A）； 故选：C．

【点评】本题考查了等比数列的性质的判断与应用，同时考查了分类讨论及学生的化简运算能力．

6． 【答案】B

【解析】解：∵y=|2x﹣2|=∴x=1时，y=0， x≠1时，y＞0． 故选B．

，

【点评】本题考查指数函数的图象和性质，解题时要结合图象进行求解．

7． 【答案】D

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点：由yAsinx的部分图象确定其解析式；函数yAsinx的图象变换． 8． 【答案】B

【解析】解：集合A中的不等式，当x＞0时，解得：x＞；当x＜0时，解得：x＜， 集合B中的解集为x＞， 则A∩B=（，+∞）． 故选B

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

9． 【答案】B 【解析】解：∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4， ∴y≥﹣4． 则A={y|y≥﹣4}． ∵x＞0， ∴x+≥2

考

=2（当x=，即x=1时取“=”），

∴B={y|y≥2}， ∴B⊆A． 故选：B．

【点评】本题考查子集与真子集，求解本题，关键是将两个集合进行化简，由子集的定义得出两个集合之间的关系，再对比选项得出正确选项．

10．【答案】B

【解析】解：y=|x|（1﹣x）=再结合二次函数图象可知

，

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函数y=|x|（1﹣x）的单调递增区间是：故选：B．

．

11．【答案】D

【解析】解：函数y=sin2x的图象向右平移考察选项不难发现： 当x=∴（

时，sin（2×

﹣

）=0；

个单位，则函数变为y=sin[2（x﹣

）]=sin（2x﹣

）；

，0）就是函数的一个对称中心坐标．

故选：D．

【点评】本题是基础题，考查三角函数图象的平移变换，函数的对称中心坐标问题，考查计算能力，逻辑推理能力，常考题型．

12．【答案】A

【解析】解：2πr=πR，所以r=，则h=故选A

，所以V=

二、填空题

13．【答案】 ﹣4 ．

【解析】解：∵函数f（x）=∴f（﹣2）=4﹣2=

，

，

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f（f（﹣2））=f（）==﹣4．

故答案为：﹣4．

14．【答案】 180

【解析】解：由二项式定理的通项公式Tr+1=Cnran﹣r br可设含x2项的项是Tr+1=C7r （2x）r 可知r=2，所以系数为C102×4=180， 故答案为：180．

【点评】本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于基础题型，难度系数0.9．一般地通项公式主要应用有求常数项，有理项，求系数，二项式系数等．

15．【答案】 ．

【解析】解：∵asinA=bsinB+（c﹣b）sinC， ∴由正弦定理得a2=b2+c2﹣bc，即：b2+c2﹣a2=bc， ∴由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB， ∴cosA=∵bc=4， ∴S△ABC=bcsinA=故答案为：

=

．

=

=，A=60°．可得：sinA=

，

【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题．

16．【答案】

．

【解析】解：此几何体是一个圆锥，由正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，其底面半径为1，且其高为正三角形的高 由于此三角形的高为此圆锥的体积为故答案为

，故圆锥的高为

=

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【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是圆锥的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．

17．【答案】 （

，+∞） ．

【解析】解：由题意，a＞1．

故问题等价于ax＞x（a＞1）在区间（0，+∞）上恒成立． 构造函数f（x）=ax﹣x，则f′（x）=axlna﹣1， 由f′（x）=0，得x=loga（logae），

x＞loga（logae）时，f′（x）＞0，f（x）递增； 0＜x＜loga（logae），f′（x）＜0，f（x）递减． 则x=loga（logae）时，函数f（x）取到最小值， 故有故答案为：（

﹣loga（logae）＞0，解得a＞，+∞）．

．

【点评】本题考查恒成立问题关键是将问题等价转化，从而利用导数求函数的最值求出参数的范围．

18．【答案】1,1 【解析】

考

点：向量运算．

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【思路点晴】本题主要考查向量运算的坐标法. 平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．

三、解答题

19．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查了线面垂直、线线垂直等位置关系及线线角、二面角的度量，突出考查逻辑推理能力及利用坐标系解决空间角问题，属中等难度.

（3）因为AB平面ADF，所以平面ADF的一个法向量n1(1,0,0).由FP且此时P(0,1FD知P为FD的三等分点32222,).在平面APC中，AP(0,,)，AC(1,2,0).所以平面APC的一个法向量3333n2(2,1,1).……………………10分

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所以|cosn1,n2||n1n2||n1||n2|6，又因为二面角DAPC的大小为锐角，所以该二面角的余弦值为36.……………………………………………………………………12分 320．【答案】

x＝cos t

【解析】解：（1）由C1：（t为参数）得

y＝1＋sin t

x2＋（y－1）2＝1， 即x2＋y2－2y＝0，

∴ρ2－2ρsin θ＝0，即ρ＝2sin θ为C1的极坐标方程， 由圆C2：x2＋y2＋23x＝0得

ρ2＋23ρcos θ＝0，即ρ＝－23cos θ为C2的极坐标方程．

（2）由题意得A，B的极坐标分别为 A（2sin α，α），B（－23cos α，α）． ∴|AB|＝|2sin α＋23cos α| π

＝4|sin（α＋）|，α∈[0，π），

3

π1

由|AB|＝2得|sin（α＋）|＝，

32

π5π

∴α＝或α＝.

26

ππ5π当α＝时，B点极坐标（0，）与ρ≠0矛盾，∴α＝，

2265π此时l的方程为y＝x·tan（x＜0），

6

即3x＋3y＝0，由圆C2：x2＋y2＋23x＝0知圆心C2的直角坐标为（－3，0）， |3×（－3）|3∴C2到l的距离d＝＝，

2

（3）2＋321

∴△ABC2的面积为S＝|AB|·d

2

133＝×2×＝. 222

3

即△ABC2的面积为. 221．【答案】a2． 3第 14 页，共 17 页

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【解析】

考点：集合的运算. 22．【答案】【解析】

试题分析：画出图形，设出棱长，根据三角形相似，列出比例关系，求出棱长即可．

2cm． 2试题解析：过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF，正方体对角面CDD1C1，如图所示．

设正方体棱长为，则CC1x，C1D1作SOEF于O，则SO∵ECC1:EOS，∴∴x2x，

2x2， 12，OE1，

1xCC1EC1，即SOEO222cm，即内接正方体棱长为cm．

22

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考点：简单组合体的结构特征． 23．【答案】

【解析】（I）解：由题意可设椭圆的坐标方程为

（a＞b＞0）．

∵离心率为，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为4． ∴

，2a=4，解得a=2，c=1．

∴b2=a2﹣c2=3． ∴椭圆C的标准方程为

．

（II）证明：当OP与OQ的斜率都存在时，设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=﹣x（k≠0），P（x，y）． 联立

，化为

，

∴|OP|2=x2+y2=∴

=

，同理可得|OQ|2=

+

=

，

为定值．

当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，上式也成立． 因此（III）当

=

为定值． =

定值时，试探究OP⊥OQ是否成立？并说明理由．

OP⊥OQ不一定成立．下面给出证明．

证明：当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，则当直线OP或OQ的斜率都存在时，

设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=k′x（k≠k′，k′≠0），P（x，y）． 联立

，化为

，

=

=

=

，满足条件．

∴|OP|2=x2+y2=，

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同理可得|OQ|2=∴

=

+

，

=

．

化为（kk′）2=1， ∴kk′=±1．

∴OP⊥OQ或kk′=1． 因此OP⊥OQ不一定成立．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得交点坐标、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

24．【答案】

【解析】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h， 由已知条件解得

，

，

， ，

∴S=πrl+πr2=10π， ∴

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