遂昌县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1. 设Sn是等比数列{an}的前n项和,S4=5S2,则A.﹣2或﹣1 B.1或2 C.±2或﹣1 D.±1或2
2. 以下四个命题中,真命题的是( ) A.x(0,),sinxtanx
B.“对任意的xR,x2x10”的否定是“存在x0R,x02x010 C.R,函数f(x)sin(2x)都不是偶函数 D.ABC中,“sinAsinBcosAcosB”是“C的值为( )
2”的充要条件
【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识,意在考查逻辑推理能力. 3. 给出函数f(x),g(x)如下表,则f(g(x))的值域为( )
A.4,2 B.1,3 C.1,2,3,4 D.以上情况都有可能 4. 已知椭圆
,长轴在y轴上,若焦距为4,则m等于( )
A.4 B.5 C.7 D.8
5. 等比数列的前n项,前2n项,前3n项的和分别为A,B,C,则( ) A.B2=AC
B.A+C=2B
C.B(B﹣A)=A(C﹣A)
6. 如图所示,函数y=|2x﹣2|的图象是( )
D.B(B﹣A)=C(C﹣A)
A. B. C. D.
7. 将函数f(x)sinx(其中0)的图象向右平移
个单位长度,所得的图象经过点 4第 1 页,共 17 页
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3,0),则的最小值是( ) 415A. B. C. D.
33(8. 设集合A.
9. 已知集合A={y|y=x2+2x﹣3},A.A⊆B
B.B⊆A
C.A=B
,则有( )
D.A∩B=φ
D.
B.
C.
( )
10.若函数y=|x|(1﹣x)在区间A上是增函数,那么区间A最大为( ) A.(﹣∞,0) B.
11.=sin2x的图象向右平移将函数f(x)A.
B.
C.
个单位,得到函数y=g(x)的图象,则它的一个对称中心是( )
D.
C.[0,+∞) D.
12.半径R的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为( ) A.
πR3
B.
πR3
C.
πR3
D.
πR3
二、填空题
13.设函数f(x)=
,则f(f(﹣2))的值为 .
14.在(1+2x)10的展开式中,x2项的系数为 (结果用数值表示).
15.已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asinA=bsinB+(c﹣b)sinC,且bc=4,则△ABC的面积为 .
16.如图,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正三角形,俯视如图是一个圆,那么该几何体的体积是 .
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17.若函数f(x),g(x)满足:∀x∈(0,+∞),均有f(x)>x,g(x)<x成立,则称“f(x)与g(x)fx)=ax与g=logax 关于y=x分离”.已知函数((x)(a>0,且a≠1)关于y=x分离,则a的取值范围是 .
18.在直角梯形ABCD,ABAD,DC//AB,ADDC1,AB2,E,F分别为AB,AC的中点,
uuuvuuuvuuuv点P在以A为圆心,AD为半径的圆弧DE上变动(如图所示).若APEDAF,其中,R,
则2的取值范围是___________.
三、解答题
19. (本题满分12分)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为矩形,直线AF平面ABCD,EF//AB,
AD2,ABAF2EF1,点P在棱DF上.
(1)求证:ADBF;
(2)若P是DF的中点,求异面直线BE与CP所成角的余弦值; (3)若FP1FD,求二面角DAPC的余弦值. 3第 3 页,共 17 页
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20.(本小题满分10分)直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中α∈[0,π),曲线C1的参数方
x=cos t程为(t为参数),圆C2的普通方程为x2+y2+23x=0.
y=1+sin t
(1)求C1,C2的极坐标方程;
(2)若l与C1交于点A,l与C2交于点B,当|AB|=2时,求△ABC2的面积.
21.已知Aa2,a1,3,Ba3,3a1,a21,若AIB3,求实数的值.
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22.圆锥底面半径为1cm,高为2cm,其中有一个内接正方体,求这个内接正方体的棱长.
23.已知椭圆C的中心在坐标原点O,长轴在x轴上,离心率为,且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为4.
(Ⅰ)椭圆C的标准方程.
(Ⅱ)已知P、Q是椭圆C上的两点,若OP⊥OQ,求证:(Ⅲ)当
24.如图所示,在边长为
的正方形ABCD中,以A为圆心画一个扇形,以O为圆心画一个圆,M,N,
K为切点,以扇形为圆锥的侧面,以圆O为圆锥底面,围成一个圆锥,求圆锥的全面积与体积.
为定值.
为(Ⅱ)所求定值时,试探究OP⊥OQ是否成立?并说明理由.
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遂昌县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(参)
一、选择题
1. 【答案】C
【解析】解:由题设知a1≠0,当q=1时,S4=4a1≠10a1=5S2;q=1不成立. 当q≠1时,Sn=
,
由S4=5S2得1﹣q4=5(1﹣q2),(q2﹣4)(q2﹣1)=0,(q﹣2)(q+2)(q﹣1)(q+1)=0, 解得q=﹣1或q=﹣2,或q=2.
=
=q,
∴=﹣1或=±2.
故选:C.
【点评】本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式的应用,利用条件求出等比数列的通项公式,以及对数的运算法则是解决本题的关键.
2. 【答案】D
3. 【答案】A 【解析】
试题分析:f(g(1))f14,f(g(2))f14,f(g(3))f32,f(g(4))f34,故值域为
4,2.
考点:复合函数求值. 4. 【答案】D
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【解析】解:将椭圆的方程转化为标准形式为显然m﹣2>10﹣m,即m>6,
,解得m=8
故选D
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质.要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了.
5. 【答案】C 【解析】解:若公比q=1,则B,C成立; 故排除A,D; 若公比q≠1, 则A=Sn=B(B﹣A)=
A(C﹣A)=
(
﹣
,B=S2n=
,C=S3n=
)=
,
,
(﹣
(1﹣qn)(1﹣qn)(1+qn)
)=
(1﹣qn)(1﹣qn)(1+qn);
故B(B﹣A)=A(C﹣A); 故选:C.
【点评】本题考查了等比数列的性质的判断与应用,同时考查了分类讨论及学生的化简运算能力.
6. 【答案】B
【解析】解:∵y=|2x﹣2|=∴x=1时,y=0, x≠1时,y>0. 故选B.
,
【点评】本题考查指数函数的图象和性质,解题时要结合图象进行求解.
7. 【答案】D
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点:由yAsinx的部分图象确定其解析式;函数yAsinx的图象变换. 8. 【答案】B
【解析】解:集合A中的不等式,当x>0时,解得:x>;当x<0时,解得:x<, 集合B中的解集为x>, 则A∩B=(,+∞). 故选B
【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
9. 【答案】B 【解析】解:∵y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4, ∴y≥﹣4. 则A={y|y≥﹣4}. ∵x>0, ∴x+≥2
考
=2(当x=,即x=1时取“=”),
∴B={y|y≥2}, ∴B⊆A. 故选:B.
【点评】本题考查子集与真子集,求解本题,关键是将两个集合进行化简,由子集的定义得出两个集合之间的关系,再对比选项得出正确选项.
10.【答案】B
【解析】解:y=|x|(1﹣x)=再结合二次函数图象可知
,
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函数y=|x|(1﹣x)的单调递增区间是:故选:B.
.
11.【答案】D
【解析】解:函数y=sin2x的图象向右平移考察选项不难发现: 当x=∴(
时,sin(2×
﹣
)=0;
个单位,则函数变为y=sin[2(x﹣
)]=sin(2x﹣
);
,0)就是函数的一个对称中心坐标.
故选:D.
【点评】本题是基础题,考查三角函数图象的平移变换,函数的对称中心坐标问题,考查计算能力,逻辑推理能力,常考题型.
12.【答案】A
【解析】解:2πr=πR,所以r=,则h=故选A
,所以V=
二、填空题
13.【答案】 ﹣4 .
【解析】解:∵函数f(x)=∴f(﹣2)=4﹣2=
,
,
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f(f(﹣2))=f()==﹣4.
故答案为:﹣4.
14.【答案】 180
【解析】解:由二项式定理的通项公式Tr+1=Cnran﹣r br可设含x2项的项是Tr+1=C7r (2x)r 可知r=2,所以系数为C102×4=180, 故答案为:180.
【点评】本题主要考查二项式定理中通项公式的应用,属于基础题型,难度系数0.9.一般地通项公式主要应用有求常数项,有理项,求系数,二项式系数等.
15.【答案】 .
【解析】解:∵asinA=bsinB+(c﹣b)sinC, ∴由正弦定理得a2=b2+c2﹣bc,即:b2+c2﹣a2=bc, ∴由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB, ∴cosA=∵bc=4, ∴S△ABC=bcsinA=故答案为:
=
.
=
=,A=60°.可得:sinA=
,
【点评】本题主要考查了解三角形问题.考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用,考查了三角形面积公式的应用,属于中档题.
16.【答案】
.
【解析】解:此几何体是一个圆锥,由正视图和侧视图都是边长为2的正三角形,其底面半径为1,且其高为正三角形的高 由于此三角形的高为此圆锥的体积为故答案为
,故圆锥的高为
=
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【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积,考查对三视图的理解与应用,主要考查三视图与实物图之间的关系,用三视图中的数据还原出实物图的数据,再根据相关的公式求表面积与体积,本题求的是圆锥的体积.三视图的投影规则是:“主视、俯视 长对正;主视、左视高平齐,左视、俯视 宽相等”.三视图是新课标的新增内容,在以后的高考中有加强的可能.
17.【答案】 (
,+∞) .
【解析】解:由题意,a>1.
故问题等价于ax>x(a>1)在区间(0,+∞)上恒成立. 构造函数f(x)=ax﹣x,则f′(x)=axlna﹣1, 由f′(x)=0,得x=loga(logae),
x>loga(logae)时,f′(x)>0,f(x)递增; 0<x<loga(logae),f′(x)<0,f(x)递减. 则x=loga(logae)时,函数f(x)取到最小值, 故有故答案为:(
﹣loga(logae)>0,解得a>,+∞).
.
【点评】本题考查恒成立问题关键是将问题等价转化,从而利用导数求函数的最值求出参数的范围.
18.【答案】1,1 【解析】
考
点:向量运算.
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【思路点晴】本题主要考查向量运算的坐标法. 平面向量的数量积计算问题,往往有两种形式,一是利用数量积的定义式,二是利用数量积的坐标运算公式,涉及几何图形的问题,先建立适当的平面直角坐标系,可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件,可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决.
三、解答题
19.【答案】
【解析】【命题意图】本题考查了线面垂直、线线垂直等位置关系及线线角、二面角的度量,突出考查逻辑推理能力及利用坐标系解决空间角问题,属中等难度.
(3)因为AB平面ADF,所以平面ADF的一个法向量n1(1,0,0).由FP且此时P(0,1FD知P为FD的三等分点32222,).在平面APC中,AP(0,,),AC(1,2,0).所以平面APC的一个法向量3333n2(2,1,1).……………………10分
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所以|cosn1,n2||n1n2||n1||n2|6,又因为二面角DAPC的大小为锐角,所以该二面角的余弦值为36.……………………………………………………………………12分 320.【答案】
x=cos t
【解析】解:(1)由C1:(t为参数)得
y=1+sin t
x2+(y-1)2=1, 即x2+y2-2y=0,
∴ρ2-2ρsin θ=0,即ρ=2sin θ为C1的极坐标方程, 由圆C2:x2+y2+23x=0得
ρ2+23ρcos θ=0,即ρ=-23cos θ为C2的极坐标方程.
(2)由题意得A,B的极坐标分别为 A(2sin α,α),B(-23cos α,α). ∴|AB|=|2sin α+23cos α| π
=4|sin(α+)|,α∈[0,π),
3
π1
由|AB|=2得|sin(α+)|=,
32
π5π
∴α=或α=.
26
ππ5π当α=时,B点极坐标(0,)与ρ≠0矛盾,∴α=,
2265π此时l的方程为y=x·tan(x<0),
6
即3x+3y=0,由圆C2:x2+y2+23x=0知圆心C2的直角坐标为(-3,0), |3×(-3)|3∴C2到l的距离d==,
2
(3)2+321
∴△ABC2的面积为S=|AB|·d
2
133=×2×=. 222
3
即△ABC2的面积为. 221.【答案】a2. 3第 14 页,共 17 页
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【解析】
考点:集合的运算. 22.【答案】【解析】
试题分析:画出图形,设出棱长,根据三角形相似,列出比例关系,求出棱长即可.
2cm. 2试题解析:过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面,得圆锥的轴截面SEF,正方体对角面CDD1C1,如图所示.
设正方体棱长为,则CC1x,C1D1作SOEF于O,则SO∵ECC1:EOS,∴∴x2x,
2x2, 12,OE1,
1xCC1EC1,即SOEO222cm,即内接正方体棱长为cm.
22
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考点:简单组合体的结构特征. 23.【答案】
【解析】(I)解:由题意可设椭圆的坐标方程为
(a>b>0).
∵离心率为,且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为4. ∴
,2a=4,解得a=2,c=1.
∴b2=a2﹣c2=3. ∴椭圆C的标准方程为
.
(II)证明:当OP与OQ的斜率都存在时,设直线OP的方程为y=kx(k≠0),则直线OQ的方程为y=﹣x(k≠0),P(x,y). 联立
,化为
,
∴|OP|2=x2+y2=∴
=
,同理可得|OQ|2=
+
=
,
为定值.
当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时,上式也成立. 因此(III)当
=
为定值. =
定值时,试探究OP⊥OQ是否成立?并说明理由.
OP⊥OQ不一定成立.下面给出证明.
证明:当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时,则当直线OP或OQ的斜率都存在时,
设直线OP的方程为y=kx(k≠0),则直线OQ的方程为y=k′x(k≠k′,k′≠0),P(x,y). 联立
,化为
,
=
=
=
,满足条件.
∴|OP|2=x2+y2=,
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同理可得|OQ|2=∴
=
+
,
=
.
化为(kk′)2=1, ∴kk′=±1.
∴OP⊥OQ或kk′=1. 因此OP⊥OQ不一定成立.
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得交点坐标、相互垂直的直线斜率之间的关系,考查了分析问题与解决问题的能力,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
24.【答案】
【解析】解:设圆锥的母线长为l,底面半径为r,高为h, 由已知条件解得
,
,
, ,
∴S=πrl+πr2=10π, ∴
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