2020年中考数学一轮专项复习——二次函数图象及性质(含解析答案)

课时1 二次函数图象与基本性质

基础过关

1. (2019衢州)二次函数y＝(x－1)2＋3图象的顶点坐标是( ) A. (1，3) C. (－1，3)

B. (1，－3) D. (－1，－3)

2. (2019重庆B卷)抛物线y＝－3x2＋6x＋2的对称轴是( ) A. 直线x＝2 C. 直线x＝1

B. 直线x＝－2 D. 直线x＝－1

3. (2019兰州)已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是( ) A. 2>y1>y2 C. y1>y2>2

B. 2>y2>y1 D. y2>y1>2

4. (2019咸宁)已知点A(－1，m)，B(1，m)，C(2，m－n)(n＞0)在同一个函数的图象上，这个函数可能是( )

A. y＝x C. y＝x2

2

B. y＝－

xD. y＝－x2

5. (2019河南)已知抛物线y＝－x2＋bx＋4经过(－2，n)和(4，n)两点，则n的值为( ) A. －2

B. －4

C. 2

D. 4

1

6. (2018岳阳)在同一直角坐标系中，二次函数y＝x2与反比例函数y＝(x＞0)的图象如图所示，若两个

x函数图象上有三个不同的点A(x1，m)，B(x2，m)，C(x3，m)，其中m为常数，令ω＝x1＋x2＋x3，则ω的值．．．．为( )

A. 1

B. m 1

D. m

C. m2

第6题图

7. (2019株洲)若二次函数y＝ax2＋bx的图象开口向下，则a________0(填“＝”、“>”或“<”)． 8. (2019眉山模拟)如果点A(－4，y1)、B(－3，y2)是二次函数y＝2x2＋k(k是常数)图象上的两点，那么y1________y2.(填“＞”、“＜”或“＝”)

9. (2019甘肃省卷)将二次函数y＝x2－4x＋5化成y＝a(x－h)2＋k的形式为__________． 10. 已知二次函数y＝x2－2x＋3，当自变量x满足－1≤x≤2时，函数y的最大值是________．

满分冲关

1. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的顶点在第一象限，且图象经过点(－1，0)，若a＋b为整数，则ab的值为( )

A. －2 3C. －

4

B. 1 1D. －

4

1

2. (2018呼和浩特)若满足2成立，则实数m的取值

2范围是( )

A. m<－1 C. m<－4

B. m≥－5 D. m≤－4

3. (2020原创)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2－2mx＋m2－1. (1)求抛物线的对称轴(用含m的式子去表示)；

(2)若点(m－2，y1)，(m，y2)，(m＋3，y3)都在抛物线y＝x2－2mx＋m2－1上，求y1，y2，y3的大小关系．

课时2 二次函数图象与系数a、b、c的关系及解析式的确定

(建议时间：25分钟)

基础过关

1. (2019呼和浩特)二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是( )

ab

2. (2019青岛)已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2－2x和一次函数y＝bx＋a在

x同一平面直角坐标系中的图象可能是( )

第2题图

3. (2019济宁)将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是( )

A. y＝(x－4)2－6 C. y＝(x－2)2－2

B. y＝(x－1)2－3 D. y＝(x－4)2－2

4. (2019宜宾模拟)如图，关于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的结论正确的是( )

①2a＋b＝0; ②当－1≤x≤3时，y＜0; ③若(x1，y1)，(x2，y2)在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2; ④3a＋c＝0.

A. ①②④

B. ①④

C. ①②③

D. ③④

第4题图

11

5. (人教九上P35例3改编)怎样移动抛物线y＝－x2就可以得到抛物线y＝－(x＋1)2－1( )

22A. 向左平移1个单位，再向上平移1个单位 B. 向左平移1个单位，再向下平移1个单位 C. 向右平移1个单位，再向上平移1个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移1个单位

6. 已知二次函数的图象经过(－1，0)，(2，0)，(0，2) 三点，则该函数解析式为( ) A. y＝－x2－x＋2 C. y＝x2＋3x＋2

B. y＝x2＋x－2 D. y＝－x2＋x＋2

7. (2019娄底改编)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论中正确的有( ) ① 4a＋c＞－2b ② b2－4ac<0 ③ 2a>b ④ (a＋c)2B. 2个

C. 3个

D. 4个

第7题图

8. (人教九上P40练习第2题改编)一个二次函数的图象经过(0，0)、(－1，－1)、(1，9)三点，这个二次函数的解析式是________．

9. (2019天水)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，若M＝4a＋2b，N＝a－b.则M、N的大小关系

为M________N．(填“>”、“＝”或“<”)

第9题图

能力提升

1

如图，抛物线y1＝a(x＋2)2－3与y2＝(x－3)2＋1交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两

2条抛物线于B、C，则以下结论：

①无论x取何值，y2的值总是正数；②a＝1；③2AB＝3AC. 其中正确结论是( ) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. 都正确

题图

满分冲关

抛物线y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数)的顶点为P，且抛物线经过点A(－1，0)，B(m，0)，C(－2，n)(10；②3a＋c<0；③a(m－1)＋2b>0；④a＝－1时，存在点P使△PAB为直角三角形．

其中正确结论的序号为________．

课时3 二次函数与方程、不等式的关系

(建议时间：25分钟)

基础过关

1. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为( )

第1题图

A. x＜－1或x＞5 B. x＞5 C. －1＜x＜5 D. 无法确定

2. (2019荆门)抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点个数为( ) A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

3. (2019梧州)已知m>0，关于x的一元二次方程(x＋1)(x－2)－m＝0的解为x1，x2(x1A. x1<－1<2B. －14. (2019绵阳模拟)若抛物线y＝x2－6x＋m与x轴没有交点，则m的取值范围是( ) A. m＞9

B. m≥9 D. m≤－9

C. m＜－9

5. (2019潍坊)抛物线y＝x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝1.若关于x的一元二次方程x2＋bx＋3－t＝0(t为实数)在－1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是( )

A．2≤t＜11 C．6＜t＜11

B．t≥2 D．2≤t＜6

22

6. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)和正比例函数y＝x的图象如图所示，则方程ax2＋(b－)x＋c＝0(a≠0)

33的两根之和( )

A. 大于0 C. 小于0

B. 等于0 D. 不能确定

第6题图

c3

7. 如图，二次函数y＝ax2＋c的图象与反比例函数y＝的图象相交于A(－，1)，则关于x的不等式

x2c

ax2＋c>的解集为( )

x

3

A. x<－

2

3

B. x>－

23

D. －2

3

C. x<－或x>0

2

第7题图

8. 一次函数y＝－2x＋6的图象与二次函数y＝－2x2＋4x＋6的图象的交点坐标为________． 9. (2019镇江)已知抛物线y＝ax2＋4ax＋4a＋1(a≠0)过点A(m，3)，B(n，3)两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2＋a＋1的最小值是________．

能力提升

1. (2019绵阳模拟)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(－2，－9a)，下列结论：

①a－3b＋2c＞0；

②3a－2b－c＝0；

③若方程a(x＋5)(x－1)＝－1有两个根x1和x2，且x1B. 2个

C. 3个

D. 4个

第1题图

2. (2019安徽)在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y＝x－a＋1和y＝x2－2ax的图象相交于P，Q两点．若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是________．

3. (2019武汉)抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，B(4，0)两点，则关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx的解是________．

满分冲关

1. (2019杭州)在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝(x＋a)(x＋b)的图象与x轴有M个交点，函数y＝(ax＋1)(bx＋1)的图象与x轴有N个交点，则( )

A. M＝N－1或M＝N＋1 B. M＝N－1或M＝N＋2 C. M＝N或M＝N＋1 D. M＝N或M＝N－1

2. (2019济宁)如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2

＋mx＋c>n的解集是________．

参

课时1 二次函数图象与基本性质

基础过关

1. A 【解析】由二次函数y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标为(h，k)，可得二次函数y＝(x－1)2＋3的顶点坐标为(1，3)．

2. C 【解析】∵抛物线y＝－3x2＋6x＋2＝－3(x－1)2＋5，∴抛物线的对称轴为直线x＝1. 3. A 【解析】把x1＝1，x2＝2分别代入y＝－(x＋1)2＋2，求得y1＝－2，y2＝－7，∴2＞y1＞y2. 2

4. D 【解析】∵A(－1，m)，B(1，m)，∴点A与点B关于y轴对称．∵函数y＝x和y＝－的图象关

x于原点对称，因此选项A、B错误；∵n＞0，∴m－n＜m；由B(1，m)，C(2，m－n)可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，对于二次函数只有a＜0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∴D选项正确．

5. B 【解析】已知抛物线y＝－x2＋bx＋4经过(－2，n)和(4，n)两点，∵两点的纵坐标相同，∴两点－2＋4b关于抛物线的对称轴对称，∴对称轴是直线x＝＝1，∴－＝1，解得b＝2，∴抛物线的

22×（－1）解析式是y＝－x2＋2x＋4，当x＝－2时，y＝－4，∴n＝－4.

6. D 【解析】根据图象信息，可以发现，A、B、C三点的横坐标中，抛物线上的两点横坐标互为相11

反数，∴ω的值即为反比例函数上的点的横坐标，依题意，当y＝m时，有x＝，则ω＝. mm

7. ＜

8. ＞ 【解析】∵该二次函数图象的对称轴为y轴， ∴当x＜0时，y随x的增大而减小， ∴y1＞y2. 9. y＝(x－2)2＋1 【解析】配方可得y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1.

10. 6 【解析】∵二次函数y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，∴该二次函数图象的对称轴为直线x＝1，且a＝1>0，∴当x＝1时，函数有最小值2.当x＝－1时，二次函数有最大值(－1－1)2＋2＝6.

满分冲关

b

1. D 【解析】依题意知a＜0，－＞0，a－b＋1＝0，∴b＞0，且b＝a＋1，a＋b＝a＋(a＋1)＝2a

2a

111

＋1，∴－1＜a＜0，∴－1＜2a＋1＜1，又a＋b为整数，∴2a＋1＝0，∴a＝－，b＝，∴ab＝－.

224

1212

2. D 【解析】∵，∴当 2x2x11112

＝2(x－)2－－m，∴当成

4822x111

立，∴y≥4，即2(－)2－－m≥4，解得m≤－4.

248

3. 解：(1)∵抛物线为y＝x2－2mx＋m2－1， －2m

∴抛物线的对称轴为直线x＝－＝m；

2×1(2)∵a＝1>0，

∴抛物线y＝x2－2mx＋m2－1开口向上，

∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，在对称轴的左侧y随x的增大而减小， ∵对称轴为直线x＝m，m－2y1>y2.

课时2 二次函数图象与系数a、b、c的关系及解析式的确定

基础过关

1. D 【解析】一次函数y＝ax＋a＝0时，x＝－1，因此排除A、B选项；C选项中一次函数a>0，二次函数a<0，相互矛盾；D选项中a>0，二次函数开口向上，一次函数过第一、二、三象限且过点(－1，0)．

ab

2. C 【解析】∵反比例函数y＝的图象在第一、三象限，∴ab＞0，即a与b同号．当a＞0，b＞0

x2

时，y＝ax2－2x的开口向上，且经过原点，令y＝0，得ax2－2x＝0，解得x1＝0，x2＝＞0，即它与x轴有

a两个交点，一个为原点，另一个在正半轴上，对于y＝bx＋a，图象经过第一、二、三象限，∴选项C正确，B不正确．当a＜0，b＜0时，y＝ax2－2x的开口向下，且经过原点，令y＝0，得ax2－2x＝0，解得x1＝0，2

x2＝＜0，即它与x轴有两个交点，一个为原点，另一个在负半轴上，∴选项A、D不正确，故选C.

a

3. D 【解析】∵y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，∴将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是y＝(x－3－1)2－4＋2＝(x－4)2－2.

b

4. B 【解析】①∵抛物线过点(－1，0)与(3，0)，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴－＝1，∴b＋

2a2a＝0，故①正确；②由图象可知：当－1≤x≤3时，y≤0，故②错误；③当x1＜x2＜1时，y1＞y2，故③错误；④当x＝－1时，y＝a－b＋c＝0，∵2a＝－b，∴a＋2a＋c＝0，∴3a＋c＝0，故④正确．

5. B

6. D 【解析】∵二次函数的图象经过(－1，0)、(2，0)、(0，2)三点，∴设二次函数的解析式为y＝a(x＋1)·(x－2)，将点(0，2)代入，得2＝－2a，解得a＝－1，故函数解析式为y＝－1(x＋1)(x－2)，整理得y＝－x2＋x＋2.

7. A 【解析】由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知，当x＝2时，y＝4a＋2b＋c，此时y＜0，即4a＋2b＋c＜0，∴4a＋c＜－2b，故①错误；二次函数的图象与x轴交于两点，则当ax2＋bx＋c＝0时，方程有两个不同的实数根，∴b2－4ac>0，∴②错误. ∵二次函数的图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x＝－

bb

，∴－1＜－＜0，∴2a＜b，∴③错误；由图象知，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0；当x＝1时，2a2a

y<0，即a＋b＋c<0，∴(a－b＋c)(a＋b＋c)＜0，即(a＋c)2＜b2，∴④正确．共有1个正确结论．

8. y＝4x2＋5x 【解析】∵这个二次函数的图象经过(0，0)，∴可设这个二次函数的解析式为y＝ax2＋

2－1＝（－1）a－ba＝4

bx，将点(－1，－1)和(1，9)代入得，，解得，∴这个二次函数的解析式为y＝4x2

9＝a＋bb＝5

＋5x.

9. < 【解析】观察图象可知，当x＝－1时，y＝a－b＋c>0，当x＝2时，y＝4a＋2b＋c<0.∵M＝4a＋2b，N＝a－b，∴M＋c能力提升

1

B 【解析】抛物线y2＝(x－3)2＋1，当x＝3时，y有最小值为1，∴无论x取何值，y2的值总是正数，

22

∴①正确；把A(1，3)代入y1＝a(x＋2)2－3得a(1＋2)2－3＝3，解得a＝，∴②错误；∵抛物线y1＝a(x＋

31

2)2－3的对称轴为直线x＝－2，则B点坐标为(－5，3)，∴AB＝1－(－5)＝6，抛物线y2＝(x－3)2＋1的对

2称轴为直线x＝3，则C点坐标为(5，3)，∴AC＝5－1＝4，∴2AB＝3AC，∴③正确．

满分冲关

m－1bb

1. ②③ 【解析】∵A(－1，0)，B(m，0)，∴抛物线的对称轴x＝＝－，∴－＝m－1，∵1＜

22aab

m＜3，∴m－1＞0，∴＜0，∴ab＜0，∵抛物线与x轴交于点A(－1，0)，B(m，0)，且过C(－2，n)，n＜

a0，∴a＜0，∴b＞0，将A(－1，0)代入抛物线的解析式，得a－b＋c＝0，∴c＝b－a＞0，∴abc＜0，①错误；∵当x＝－1时，a－b＋c＝0得b＝a＋c，∴结合抛物线图象可知当x＝3时，y＜0，∴9a＋3b＋c＝9ab

＋3(a＋c)＋c＝12a＋4c＝4(3a＋c)＜0，∴3a＋c＜0，②正确；a(m－1)＋2b＝a×(－)＋2b＝－b＋2b＝b＞0，

a③正确；a＝－1时，c＝b－a＝b＋1,

∴y＝－x2＋bx＋b＋1，∴P(

bb2

，b＋1＋)，若△PAB为直角三角形，24

b2b

则△PAB为等腰直角三角形，∴∠PAB＝45°，∴b＋1＋＝＋1，解得b＝0或b＝－2，∵b＞0，∴不存在

42点P使△PAB为直角三角形，④错误；故正确结论的序号为②③.

1212

2. D 【解析】∵，∴当 2x2x11112

m＝2(x－)2－－m，∴当成

4822x111

立，∴y≥4，即2(－)2－－m≥4，解得m≤－4.

248

课时3 二次函数图象与方程、不等式的关系

基础过关

1. A 【解析】由二次函数的图象可知对称轴是直线x＝2，与x轴的一个交点坐标(5，0)，由二次函数的对称性可知，与x轴另一个交点是(－1，0)，∴ax2＋bx＋c＜0的解集为x＞5或x＜－1.

2. C 【解析】当x＝0时，y＝－x2＋4x－4＝－4，则抛物线与y轴的交点坐标为(0，－4)，当y＝0时，－x2＋4x－4＝0，解得x1＝x2＝2，抛物线与x轴的交点坐标为(2，0)，∴抛物线与坐标轴有2个交点．

3. A 【解析】如解图所示，关于x的一元二次方程(x＋1)(x－2)＝m的两根即为抛物线y＝(x＋1)(x－2)与直线y＝m(m>0)的交点的横坐标．∵抛物线与x轴交于点(－1，0)，(2，0)，观察解图可知x1<－1<2第3题解图

4. A

5. A 【解析】∵抛物线y＝x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝1，∴b＝－2，∴y＝x2－2x＋3，∴一元二次方程x2＋bx＋3－t＝0有实数根可以看做抛物线y＝x2－2x＋3与函数y＝t的图象有交点，∵方程在－1＜x＜4的范围内有实数根，当x＝－1时，y＝6; 当x＝4时，y＝11，函数y＝x2－2x＋3在x＝1时有最小值2，∴2≤t＜11.

6. A

c

7. C 【解析】要求ax2＋c>的解集，即求二次函数图象在反比例函数图象上方时x的取值范围，由

x3c3

题图知x<－或x>0时满足题意，∴不等式ax2＋c>的解集是x<－或x>0.

2x2

y＝－2x＋6x1＝0x2＝3

8. (0，6)，(3，0) 【解析】联立方程得，解得，，即一次函数与二次函2y＝－2x＋4x＋6y1＝6y2＝0

数图象的交点坐标为(0，6)，(3，0)．

7

9. 【解析】∵抛物线y＝ax2＋4ax＋4a＋1＝a(x＋2)2＋1(a≠0)，∴顶点为(－2，1)，过点A(m，3)，4

1

B(n，3)两点，∴a＞0，∵对称轴为直线x＝－2，线段AB的长不大于4，∴4a＋1≥3，∴a≥，∴a2＋a＋1

2117

的最小值为：()2＋＋1＝.

224

能力提升

4ac－b2b

1. C 【解析】∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵抛物线的顶点坐标为(－2，－9a)，∴－＝－2，2a4a＝－9a，∴b＝4a，c＝－5a，∴抛物线的解析式为y＝ax2＋4ax－5a，∴a－3b＋2c＝a－12a－10a＝－21a＜0，故①结论错误；3a－2b－c＝3a－8a＋5a＝0，故②结论正确；∵抛物线y＝ax2＋4ax－5a交x轴于(－5，0)，(1，0)，∴若方程a(x＋5)(x－1)＝－1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则－5＜x1＜x2＜1，故结论③正确；x1＋x2

若方程|ax2＋bx＋c|＝1有四个根，设方程ax2＋bx＋c＝－1的两根分别为x1、x2，则＝－2，可得x1＋

2x3＋x4

x2＝－4，设方程ax2＋bx＋c＝1的两根分别为x3、x4，则＝－2，可得x3＋x4＝－4.所以这四个根的和

2为－8，故结论④正确．综上所述，共有2个正确的结论．

2. a＞1或a＜－1 【解析】 当a＜0时，令x2－2ax<0，得2a1或a<－1.

3. x1＝－2或x2＝5 【解析】设y1＝a(x－1)2＋b(x－1)＋c，将原抛物线ax2＋bx＋c向右平移1个单位得y1，由题意知当ax2＋bx＋c＝0的解为x1＝－3，x2＝4，故方程a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝0的解为x1＝－2或x2＝5.

满分冲关

1. C 【解析】当a＝0时，∵a≠b，∴b≠0.∴y＝(x＋a)(x＋b)＝x(x＋b)．它与x轴的交点为(0，0)，(－1

b，0)有2个，即M＝2.y＝(ax＋1)(bx＋1)＝bx＋1.它与x轴的交点为(－，0)有1个交点，即N＝1.∴M＝N

b＋1；当a＝－b时，且a≠0，∴y＝(x＋a)(x＋b)＝(x＋a)(x－a)．它与x轴的交点为(－a，0)，(a，0)，有211

个交点，即M＝2，y＝(ax＋1)(bx＋1)＝(ax＋1)(－ax＋1)．它与x轴的交点为(－，0)，(，0)，有2个交点，

aaN＝2，∴M＝N.综上所述，M＝N或M＝N＋1.

2. x＜－3或x＞1 【解析】∵抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，∴－m＋n＝p，3m＋n＝q，∴抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于(1，p)，Q(－3，q)两点．如解图，∴ax2＋mx＋c＞n可以转化为ax2＋c＞－mx＋n，观察函数图象可知，当x<－3或x>1时，直线y＝－mx＋n在抛物线y＝ax2＋c的下方．∴不等式ax2＋mx＋c>n的解集为x＜－3或x＞1.

第2题解图