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2020年中考数学一轮专项复习——二次函数图象及性质(含解析答案)

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 2020年中考数学一轮专项复习——二次函数图象及性质

课时1 二次函数图象与基本性质

基础过关

1. (2019衢州)二次函数y=(x-1)2+3图象的顶点坐标是( ) A. (1,3) C. (-1,3)

B. (1,-3) D. (-1,-3)

2. (2019重庆B卷)抛物线y=-3x2+6x+2的对称轴是( ) A. 直线x=2 C. 直线x=1

B. 直线x=-2 D. 直线x=-1

3. (2019兰州)已知点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=-(x+1)2+2上,则下列结论正确的是( ) A. 2>y1>y2 C. y1>y2>2

B. 2>y2>y1 D. y2>y1>2

4. (2019咸宁)已知点A(-1,m),B(1,m),C(2,m-n)(n>0)在同一个函数的图象上,这个函数可能是( )

A. y=x C. y=x2

2

B. y=-

xD. y=-x2

5. (2019河南)已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2,n)和(4,n)两点,则n的值为( ) A. -2

B. -4

C. 2

D. 4

1

6. (2018岳阳)在同一直角坐标系中,二次函数y=x2与反比例函数y=(x>0)的图象如图所示,若两个

x函数图象上有三个不同的点A(x1,m),B(x2,m),C(x3,m),其中m为常数,令ω=x1+x2+x3,则ω的值....为( )

A. 1

B. m 1

D. m

C. m2

第6题图

7. (2019株洲)若二次函数y=ax2+bx的图象开口向下,则a________0(填“=”、“>”或“<”). 8. (2019眉山模拟)如果点A(-4,y1)、B(-3,y2)是二次函数y=2x2+k(k是常数)图象上的两点,那么y1________y2.(填“>”、“<”或“=”)

9. (2019甘肃省卷)将二次函数y=x2-4x+5化成y=a(x-h)2+k的形式为__________. 10. 已知二次函数y=x2-2x+3,当自变量x满足-1≤x≤2时,函数y的最大值是________.

满分冲关

1. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点在第一象限,且图象经过点(-1,0),若a+b为整数,则ab的值为( )

A. -2 3C. -

4

B. 1 1D. -

4

1

2. (2018呼和浩特)若满足2成立,则实数m的取值

2范围是( )

A. m<-1 C. m<-4

B. m≥-5 D. m≤-4

3. (2020原创)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2-2mx+m2-1. (1)求抛物线的对称轴(用含m的式子去表示);

(2)若点(m-2,y1),(m,y2),(m+3,y3)都在抛物线y=x2-2mx+m2-1上,求y1,y2,y3的大小关系.

课时2 二次函数图象与系数a、b、c的关系及解析式的确定

(建议时间:25分钟)

基础过关

1. (2019呼和浩特)二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是( )

ab

2. (2019青岛)已知反比例函数y=的图象如图所示,则二次函数y=ax2-2x和一次函数y=bx+a在

x同一平面直角坐标系中的图象可能是( )

第2题图

3. (2019济宁)将抛物线y=x2-6x+5向上平移两个单位长度,再向右平移一个单位长度后,得到的抛物线解析式是( )

A. y=(x-4)2-6 C. y=(x-2)2-2

B. y=(x-1)2-3 D. y=(x-4)2-2

4. (2019宜宾模拟)如图,关于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的结论正确的是( )

①2a+b=0; ②当-1≤x≤3时,y<0; ③若(x1,y1),(x2,y2)在函数图象上,当x1<x2时,y1<y2; ④3a+c=0.

A. ①②④

B. ①④

C. ①②③

D. ③④

第4题图

11

5. (人教九上P35例3改编)怎样移动抛物线y=-x2就可以得到抛物线y=-(x+1)2-1( )

22A. 向左平移1个单位,再向上平移1个单位 B. 向左平移1个单位,再向下平移1个单位 C. 向右平移1个单位,再向上平移1个单位 D. 向右平移1个单位,再向下平移1个单位

6. 已知二次函数的图象经过(-1,0),(2,0),(0,2) 三点,则该函数解析式为( ) A. y=-x2-x+2 C. y=x2+3x+2

B. y=x2+x-2 D. y=-x2+x+2

7. (2019娄底改编)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论中正确的有( ) ① 4a+c>-2b ② b2-4ac<0 ③ 2a>b ④ (a+c)2B. 2个

C. 3个

D. 4个

第7题图

8. (人教九上P40练习第2题改编)一个二次函数的图象经过(0,0)、(-1,-1)、(1,9)三点,这个二次函数的解析式是________.

9. (2019天水)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,若M=4a+2b,N=a-b.则M、N的大小关系

为M________N.(填“>”、“=”或“<”)

第9题图

能力提升

1

如图,抛物线y1=a(x+2)2-3与y2=(x-3)2+1交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两

2条抛物线于B、C,则以下结论:

①无论x取何值,y2的值总是正数;②a=1;③2AB=3AC. 其中正确结论是( ) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. 都正确

题图

满分冲关

抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数)的顶点为P,且抛物线经过点A(-1,0),B(m,0),C(-2,n)(10;②3a+c<0;③a(m-1)+2b>0;④a=-1时,存在点P使△PAB为直角三角形.

其中正确结论的序号为________.

课时3 二次函数与方程、不等式的关系

(建议时间:25分钟)

基础过关

1. 二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集为( )

第1题图

A. x<-1或x>5 B. x>5 C. -1<x<5 D. 无法确定

2. (2019荆门)抛物线y=-x2+4x-4与坐标轴的交点个数为( ) A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

3. (2019梧州)已知m>0,关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x1,x2(x1A. x1<-1<2B. -14. (2019绵阳模拟)若抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点,则m的取值范围是( ) A. m>9

B. m≥9 D. m≤-9

C. m<-9

5. (2019潍坊)抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0(t为实数)在-1<x<4的范围内有实数根,则t的取值范围是( )

A.2≤t<11 C.6<t<11

B.t≥2 D.2≤t<6

22

6. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y=x的图象如图所示,则方程ax2+(b-)x+c=0(a≠0)

33的两根之和( )

A. 大于0 C. 小于0

B. 等于0 D. 不能确定

第6题图

c3

7. 如图,二次函数y=ax2+c的图象与反比例函数y=的图象相交于A(-,1),则关于x的不等式

x2c

ax2+c>的解集为( )

x

3

A. x<-

2

3

B. x>-

23

D. -2

3

C. x<-或x>0

2

第7题图

8. 一次函数y=-2x+6的图象与二次函数y=-2x2+4x+6的图象的交点坐标为________. 9. (2019镇江)已知抛物线y=ax2+4ax+4a+1(a≠0)过点A(m,3),B(n,3)两点,若线段AB的长不大于4,则代数式a2+a+1的最小值是________.

能力提升

1. (2019绵阳模拟)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示,顶点坐标为(-2,-9a),下列结论:

①a-3b+2c>0;

②3a-2b-c=0;

③若方程a(x+5)(x-1)=-1有两个根x1和x2,且x1B. 2个

C. 3个

D. 4个

第1题图

2. (2019安徽)在平面直角坐标系中,垂直于x轴的直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P,Q两点.若平移直线l,可以使P,Q都在x轴的下方,则实数a的取值范围是________.

3. (2019武汉)抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3,0),B(4,0)两点,则关于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx的解是________.

满分冲关

1. (2019杭州)在平面直角坐标系中,已知a≠b,设函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有M个交点,函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有N个交点,则( )

A. M=N-1或M=N+1 B. M=N-1或M=N+2 C. M=N或M=N+1 D. M=N或M=N-1

2. (2019济宁)如图,抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-1,p),B(3,q)两点,则不等式ax2

+mx+c>n的解集是________.

课时1 二次函数图象与基本性质

基础过关

1. A 【解析】由二次函数y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(h,k),可得二次函数y=(x-1)2+3的顶点坐标为(1,3).

2. C 【解析】∵抛物线y=-3x2+6x+2=-3(x-1)2+5,∴抛物线的对称轴为直线x=1. 3. A 【解析】把x1=1,x2=2分别代入y=-(x+1)2+2,求得y1=-2,y2=-7,∴2>y1>y2. 2

4. D 【解析】∵A(-1,m),B(1,m),∴点A与点B关于y轴对称.∵函数y=x和y=-的图象关

x于原点对称,因此选项A、B错误;∵n>0,∴m-n<m;由B(1,m),C(2,m-n)可知,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,对于二次函数只有a<0时,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,∴D选项正确.

5. B 【解析】已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2,n)和(4,n)两点,∵两点的纵坐标相同,∴两点-2+4b关于抛物线的对称轴对称,∴对称轴是直线x==1,∴-=1,解得b=2,∴抛物线的

22×(-1)解析式是y=-x2+2x+4,当x=-2时,y=-4,∴n=-4.

6. D 【解析】根据图象信息,可以发现,A、B、C三点的横坐标中,抛物线上的两点横坐标互为相11

反数,∴ω的值即为反比例函数上的点的横坐标,依题意,当y=m时,有x=,则ω=. mm

7. <

8. > 【解析】∵该二次函数图象的对称轴为y轴, ∴当x<0时,y随x的增大而减小, ∴y1>y2. 9. y=(x-2)2+1 【解析】配方可得y=x2-4x+5=(x-2)2+1.

10. 6 【解析】∵二次函数y=x2-2x+3=(x-1)2+2,∴该二次函数图象的对称轴为直线x=1,且a=1>0,∴当x=1时,函数有最小值2.当x=-1时,二次函数有最大值(-1-1)2+2=6.

满分冲关

b

1. D 【解析】依题意知a<0,->0,a-b+1=0,∴b>0,且b=a+1,a+b=a+(a+1)=2a

2a

111

+1,∴-1<a<0,∴-1<2a+1<1,又a+b为整数,∴2a+1=0,∴a=-,b=,∴ab=-.

224

1212

2. D 【解析】∵,∴当 2x2x11112

=2(x-)2--m,∴当

4822x111

立,∴y≥4,即2(-)2--m≥4,解得m≤-4.

248

3. 解:(1)∵抛物线为y=x2-2mx+m2-1, -2m

∴抛物线的对称轴为直线x=-=m;

2×1(2)∵a=1>0,

∴抛物线y=x2-2mx+m2-1开口向上,

∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大,在对称轴的左侧y随x的增大而减小, ∵对称轴为直线x=m,m-2y1>y2.

课时2 二次函数图象与系数a、b、c的关系及解析式的确定

基础过关

1. D 【解析】一次函数y=ax+a=0时,x=-1,因此排除A、B选项;C选项中一次函数a>0,二次函数a<0,相互矛盾;D选项中a>0,二次函数开口向上,一次函数过第一、二、三象限且过点(-1,0).

ab

2. C 【解析】∵反比例函数y=的图象在第一、三象限,∴ab>0,即a与b同号.当a>0,b>0

x2

时,y=ax2-2x的开口向上,且经过原点,令y=0,得ax2-2x=0,解得x1=0,x2=>0,即它与x轴有

a两个交点,一个为原点,另一个在正半轴上,对于y=bx+a,图象经过第一、二、三象限,∴选项C正确,B不正确.当a<0,b<0时,y=ax2-2x的开口向下,且经过原点,令y=0,得ax2-2x=0,解得x1=0,2

x2=<0,即它与x轴有两个交点,一个为原点,另一个在负半轴上,∴选项A、D不正确,故选C.

a

3. D 【解析】∵y=x2-6x+5=(x-3)2-4,∴将抛物线y=x2-6x+5向上平移两个单位长度,再向右平移一个单位长度后,得到的抛物线解析式是y=(x-3-1)2-4+2=(x-4)2-2.

b

4. B 【解析】①∵抛物线过点(-1,0)与(3,0),∴抛物线的对称轴为直线x=1,∴-=1,∴b+

2a2a=0,故①正确;②由图象可知:当-1≤x≤3时,y≤0,故②错误;③当x1<x2<1时,y1>y2,故③错误;④当x=-1时,y=a-b+c=0,∵2a=-b,∴a+2a+c=0,∴3a+c=0,故④正确.

5. B

6. D 【解析】∵二次函数的图象经过(-1,0)、(2,0)、(0,2)三点,∴设二次函数的解析式为y=a(x+1)·(x-2),将点(0,2)代入,得2=-2a,解得a=-1,故函数解析式为y=-1(x+1)(x-2),整理得y=-x2+x+2.

7. A 【解析】由二次函数y=ax2+bx+c的图象可知,当x=2时,y=4a+2b+c,此时y<0,即4a+2b+c<0,∴4a+c<-2b,故①错误;二次函数的图象与x轴交于两点,则当ax2+bx+c=0时,方程有两个不同的实数根,∴b2-4ac>0,∴②错误. ∵二次函数的图象开口向下,∴a<0,∵对称轴为直线x=-

bb

,∴-1<-<0,∴2a<b,∴③错误;由图象知,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0;当x=1时,2a2a

y<0,即a+b+c<0,∴(a-b+c)(a+b+c)<0,即(a+c)2<b2,∴④正确.共有1个正确结论.

8. y=4x2+5x 【解析】∵这个二次函数的图象经过(0,0),∴可设这个二次函数的解析式为y=ax2+

2-1=(-1)a-ba=4

bx,将点(-1,-1)和(1,9)代入得,,解得,∴这个二次函数的解析式为y=4x2

9=a+bb=5

+5x.

9. < 【解析】观察图象可知,当x=-1时,y=a-b+c>0,当x=2时,y=4a+2b+c<0.∵M=4a+2b,N=a-b,∴M+c能力提升

1

B 【解析】抛物线y2=(x-3)2+1,当x=3时,y有最小值为1,∴无论x取何值,y2的值总是正数,

22

∴①正确;把A(1,3)代入y1=a(x+2)2-3得a(1+2)2-3=3,解得a=,∴②错误;∵抛物线y1=a(x+

31

2)2-3的对称轴为直线x=-2,则B点坐标为(-5,3),∴AB=1-(-5)=6,抛物线y2=(x-3)2+1的对

2称轴为直线x=3,则C点坐标为(5,3),∴AC=5-1=4,∴2AB=3AC,∴③正确.

满分冲关

m-1bb

1. ②③ 【解析】∵A(-1,0),B(m,0),∴抛物线的对称轴x==-,∴-=m-1,∵1<

22aab

m<3,∴m-1>0,∴<0,∴ab<0,∵抛物线与x轴交于点A(-1,0),B(m,0),且过C(-2,n),n<

a0,∴a<0,∴b>0,将A(-1,0)代入抛物线的解析式,得a-b+c=0,∴c=b-a>0,∴abc<0,①错误;∵当x=-1时,a-b+c=0得b=a+c,∴结合抛物线图象可知当x=3时,y<0,∴9a+3b+c=9ab

+3(a+c)+c=12a+4c=4(3a+c)<0,∴3a+c<0,②正确;a(m-1)+2b=a×(-)+2b=-b+2b=b>0,

a③正确;a=-1时,c=b-a=b+1,

∴y=-x2+bx+b+1,∴P(

bb2

,b+1+),若△PAB为直角三角形,24

b2b

则△PAB为等腰直角三角形,∴∠PAB=45°,∴b+1+=+1,解得b=0或b=-2,∵b>0,∴不存在

42点P使△PAB为直角三角形,④错误;故正确结论的序号为②③.

1212

2. D 【解析】∵,∴当 2x2x11112

m=2(x-)2--m,∴当

4822x111

立,∴y≥4,即2(-)2--m≥4,解得m≤-4.

248

课时3 二次函数图象与方程、不等式的关系

基础过关

1. A 【解析】由二次函数的图象可知对称轴是直线x=2,与x轴的一个交点坐标(5,0),由二次函数的对称性可知,与x轴另一个交点是(-1,0),∴ax2+bx+c<0的解集为x>5或x<-1.

2. C 【解析】当x=0时,y=-x2+4x-4=-4,则抛物线与y轴的交点坐标为(0,-4),当y=0时,-x2+4x-4=0,解得x1=x2=2,抛物线与x轴的交点坐标为(2,0),∴抛物线与坐标轴有2个交点.

3. A 【解析】如解图所示,关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)=m的两根即为抛物线y=(x+1)(x-2)与直线y=m(m>0)的交点的横坐标.∵抛物线与x轴交于点(-1,0),(2,0),观察解图可知x1<-1<2第3题解图

4. A

5. A 【解析】∵抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1,∴b=-2,∴y=x2-2x+3,∴一元二次方程x2+bx+3-t=0有实数根可以看做抛物线y=x2-2x+3与函数y=t的图象有交点,∵方程在-1<x<4的范围内有实数根,当x=-1时,y=6; 当x=4时,y=11,函数y=x2-2x+3在x=1时有最小值2,∴2≤t<11.

6. A

c

7. C 【解析】要求ax2+c>的解集,即求二次函数图象在反比例函数图象上方时x的取值范围,由

x3c3

题图知x<-或x>0时满足题意,∴不等式ax2+c>的解集是x<-或x>0.

2x2

y=-2x+6x1=0x2=3

8. (0,6),(3,0) 【解析】联立方程得,解得,,即一次函数与二次函2y=-2x+4x+6y1=6y2=0

数图象的交点坐标为(0,6),(3,0).

7

9. 【解析】∵抛物线y=ax2+4ax+4a+1=a(x+2)2+1(a≠0),∴顶点为(-2,1),过点A(m,3),4

1

B(n,3)两点,∴a>0,∵对称轴为直线x=-2,线段AB的长不大于4,∴4a+1≥3,∴a≥,∴a2+a+1

2117

的最小值为:()2++1=.

224

能力提升

4ac-b2b

1. C 【解析】∵抛物线的开口向上,∴a>0,∵抛物线的顶点坐标为(-2,-9a),∴-=-2,2a4a=-9a,∴b=4a,c=-5a,∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax-5a,∴a-3b+2c=a-12a-10a=-21a<0,故①结论错误;3a-2b-c=3a-8a+5a=0,故②结论正确;∵抛物线y=ax2+4ax-5a交x轴于(-5,0),(1,0),∴若方程a(x+5)(x-1)=-1有两个根x1和x2,且x1<x2,则-5<x1<x2<1,故结论③正确;x1+x2

若方程|ax2+bx+c|=1有四个根,设方程ax2+bx+c=-1的两根分别为x1、x2,则=-2,可得x1+

2x3+x4

x2=-4,设方程ax2+bx+c=1的两根分别为x3、x4,则=-2,可得x3+x4=-4.所以这四个根的和

2为-8,故结论④正确.综上所述,共有2个正确的结论.

2. a>1或a<-1 【解析】 当a<0时,令x2-2ax<0,得2a1或a<-1.

3. x1=-2或x2=5 【解析】设y1=a(x-1)2+b(x-1)+c,将原抛物线ax2+bx+c向右平移1个单位得y1,由题意知当ax2+bx+c=0的解为x1=-3,x2=4,故方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0的解为x1=-2或x2=5.

满分冲关

1. C 【解析】当a=0时,∵a≠b,∴b≠0.∴y=(x+a)(x+b)=x(x+b).它与x轴的交点为(0,0),(-1

b,0)有2个,即M=2.y=(ax+1)(bx+1)=bx+1.它与x轴的交点为(-,0)有1个交点,即N=1.∴M=N

b+1;当a=-b时,且a≠0,∴y=(x+a)(x+b)=(x+a)(x-a).它与x轴的交点为(-a,0),(a,0),有211

个交点,即M=2,y=(ax+1)(bx+1)=(ax+1)(-ax+1).它与x轴的交点为(-,0),(,0),有2个交点,

aaN=2,∴M=N.综上所述,M=N或M=N+1.

2. x<-3或x>1 【解析】∵抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-1,p),B(3,q)两点,∴-m+n=p,3m+n=q,∴抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于(1,p),Q(-3,q)两点.如解图,∴ax2+mx+c>n可以转化为ax2+c>-mx+n,观察函数图象可知,当x<-3或x>1时,直线y=-mx+n在抛物线y=ax2+c的下方.∴不等式ax2+mx+c>n的解集为x<-3或x>1.

第2题解图

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