动量守恒定律应用中的临界问题

单位：kg·m/s，且1 kg·

m/s＝1 N·s

动量矢量：方向与④ 同向

动量的变化Δp＝p′－p，遵守矢量运算法则定义：力和力的作用时间的乘积，I＝F（t′－t）

冲量矢量：与力的方向相同内容：合力的冲量等于⑤ 动量定理表达式：⑥

应用（只限一维情况）

表达式：⑦

不受外力动量守恒定律 合外力为零

动量守恒定律条件某个方向上合外力为零

内力远大于外力

遵守动量守恒定律完全弹性碰撞

遵守⑧

遵守动量守恒定律非弹性碰撞机械能⑨

碰撞与反冲遵守动量守恒定律

完全非弹性碰撞机械能⑩ 

产生反冲现象的原理：动量守恒反冲运动

在生产、生活、科技中的应用

[答案] ①质量 ②速度 ③mv ④v ⑤动量的变化 ⑥p′－p＝I ⑦p1＋p2＝p′1＋p′2 ⑧机械能守恒定律 ⑨有损失 ⑩损失最多

专题一 用动量定理处理连续流体的作用问题

1．运用动量定理解决连续流体的作用问题，即变质量问题，常常需要选取流体为研究对象，如水、空气等。

1

定义：① 与② 的乘积，p＝③

2．常见的处理方法是隔离出一定形状的一部分流体作为研究对象，这种方法叫微元法，然后列式求解。

[例1] 在采煤方法中，有一种方法是用高压水流将煤层击碎而将煤采下。今有一采煤高压水，设水喷水口横截面积S＝6 cm2，由口喷出的高压水流流速为v＝60 m/s，设水的密度ρ＝1×103 kg/m3，水流垂直射向煤层并原速弹回，试求煤层表面可能受到的最大平均冲击力。

[解析] 设在Δt到煤层上的水的质量为m，则m＝ρSvΔt，设煤层对水的平均冲击力为FN，规定FN的方向为正方向，由动量定理得

FNΔt＝ρSv2Δt－(－ρSv2Δt)＝2ρSv2Δt 故FN＝2ρSv2＝2×1×103×6×10－4×602 N ＝4.32×103 N

由牛顿第三定律知煤层受到的平均冲击力大小为4.32×103 N，这即是煤层受到的最大平均冲击力。

[答案] 4.32×103 N

专题二 动量守恒定律应用中的临界问题

解决相互作用物体系统的临界问题时，应处理好下面两个方面的问题： 1．寻找临界状态

题设情景中看是否有相互作用的两物体相距最近、恰好滑离、避免相碰和物体开始反向运动等临界状态。

2．挖掘临界条件

在与动量相关的临界问题中，临界条件常常表现为两物体的相对速度关系与相对位移关系。

3．常见类型

(1)涉及弹簧类的临界问题

对于由弹簧组成的系统，在物体间发生相互作用的过程中，当弹簧被压缩到最短或拉伸到最长时，弹簧两端的两个物体的速度必然相等。

(2)涉及相互作用边界的临界问题

在物体滑上斜面(斜面放在光滑水平面上)的过程中，由于物体间弹力的作用，斜面在水

2

平方向上将做加速运动，物体滑到斜面上最高点的临界条件是物体与斜面沿水平方向具有共同的速度，物体到达斜面顶端时，在竖直方向上的分速度等于零。

(3)子弹打木块类的临界问题：子弹刚好击穿木块的临界条件为子弹穿出时的速度与木块的速度相同，子弹位移为木块位移与木块厚度之和。

[例2] 甲、乙两小孩各乘一辆小车在光滑水平面上匀速相向行驶，速度均为6 m/s。甲车上有质量为m＝1 kg的小球若干个，甲和他的车及所带小球的总质量为M1＝50 kg，乙和他的车总质量为M2＝30 kg。现为避免相撞，甲不断地将小球以相对地面16.5 m/s的水平速度抛向乙，且被乙接住，假设某一次甲将小球抛出且被乙接住后刚好可保证两车不致相撞，此时：

图16－1

(1)两车的速度各为多少？ (2)甲总共抛出了多少个小球？ [审题指导]

关键词 甲将小球抛出且被乙接住后刚好可保证两车不致相撞 信息 甲和小车与乙和小车具有共同速度 甲不断地将小球以相对地面16.5 m/s的每一个小球被乙接收后，求出最终的动水平速度抛向乙 量变化 [解析] 两车刚好不相撞的条件是某次甲抛出球后的速度与乙接住该球后的速度相等。无论是甲抛球的过程，还是乙接球的过程，或是整个过程动量均守恒。

(1)甲、乙两小孩及两车组成的系统总动量守恒，沿甲车的运动方向，甲不断抛球、乙接球后，当甲和小车与乙和小车具有共同速度时，可保证刚好不撞，设共同速度为v，则

3

M1v1－M2v1＝(M1＋M2)v

M1－M220v＝v1＝×6 m/s＝1.5 m/s。

80M1＋M2(2)这一过程中乙小孩及车的动量变化为 Δp＝30×6－30×(－1.5)kg·m/s＝225 kg·m/s 每一个小球被乙接住后，最终的动量变化为 Δp1＝(16.5×1－1.5×1)kg·m/s＝15 kg·m/s 故小球个数为n＝

ΔpΔp1

＝

225

＝15(个)。 15

[答案] (1)1.5 m/s 1.5 m/s (2)15个 专题三 动量守恒和能量守恒的综合运用

1．解决该类问题用到的规律：动量守恒定律，机械能守恒定律，能量守恒定律，功能关系等。

2．解决该类问题的基本思路

(1)认真审题，明确题目所述的物理情景，确定研究对象。 (2)如果物体间涉及多过程，要把整个过程分解为几个小的过程。 (3)对所选取的对象进行受力分析，判定系统是否符合动量守恒的条件。

(4)对所选系统进行能量转化的分析，比如：系统是否满足机械能守恒，如果系统内有摩擦则机械能不守恒，有机械能转化为内能。

(5)选取所需要的方程列式并求解。

[例3] 两滑块a、b沿水平面上同一条直线运动，并发生碰撞；碰撞后两者粘在一起运动；经过一段时间后，从光滑路段进入粗糙路段，两者的位置x随时间t变化的图像如图16－2所示。求：

4

图16－2

(1)滑块a、b的质量之比；

(2)整个运动过程中，两滑块克服摩擦力做的功与因碰撞而损失的机械能之比。 [审题指导] 1.读题干：题干中两滑块发生了碰撞、粘在一起、先在光滑的路段滑行后在粗糙的路段滑行最终停下来。

2．看图像： ①图像为x－t图像。

②碰撞发生在2 s末，由图像可知碰撞前后的速度。 ③8 s末以后在粗糙路面滑行。滑行2米后停止。 3．选规律：

①碰撞为完全非弹性碰撞动量守恒机械能损失。 ②在粗糙路面滑行，克服摩擦力做功动能减少。

[解析] (1)设a、b的质量分别为m1、m2，a、b碰撞前的速度为v1、v2。由题给图像得 v1＝－2 m/s① v2＝1 m/s②

a、b发生完全非弹性碰撞，碰撞后两滑块的共同速度为v。由题给图像得 2

v＝ m/s③

3由动量守恒定律得 m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v④

5

联立①②③④式得 m1∶m2＝1∶8。⑤

(2)由能量守恒得，两滑块因碰撞而损失的机械能为 11122ΔE＝m1v21＋m2v2－(m1＋m2)v⑥ 222

由图像可知，两滑块最后停止运动。由动能定理得，两滑块克服摩擦力所做的功为 1

W＝(m1＋m2)v2⑦

2

联立⑥⑦式，并代入题给数据得 W∶ΔE＝1∶2。 [答案] (1)1∶8 (2)1∶2 [答题规范]

1．物理量的符号要规范、合理，如a、b的速度分别为v1、v2，未知的物理量也要用常规的符号，如a、b的质量分别为m1、m2而不能用x1、x2表示。

2．v1＝－2 m/s是由图像看出而非直接给出，因而要说明来源。

3．研究对象、物理情景、适用规律要用简洁的文字说明，不宜不说、多说、更不能说错，如“完全非弹性碰撞动量守恒”错写成“完全弹性碰撞能量守恒”是不行的。

4．分步列式、每个过程、每个规律都应分步列式不能列综合式，更不能直接用“二级结论”。

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