安新县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

安新县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP∥BD；②EP⊥AC；③EP⊥面SAC；④EP∥面SBD中恒成立的为（ ）

A．②④ 2． 若复数

B．③④ C．①② D．①③

bi的实部与虚部相等，则实数b等于（ ） 2i11 （D）  32（A） 3 （ B ） 1 （C）

3． 已知两点M（1，），N（﹣4，﹣），给出下列曲线方程： ①4x+2y﹣1=0；

22

②x+y=3；

③④

+y2=1；

2

﹣y=1．

在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ）

A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④

4． 已知数列{an}是等比数列前n项和是Sn，若a2=2，a3=﹣4，则S5等于（ ） A．8

B．﹣8 C．11

D．﹣11

，类比这个结论可

5． 设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则则r=（ ） A．C．

B． D．

知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S﹣ABC的体积为V，

第 1 页，共 18 页

精选高中模拟试卷

6． 双曲线：A．

的渐近线方程和离心率分别是（ ） B．

C．

D．

7． 已知函数y=x3+ax2+（a+6）x﹣1有极大值和极小值，则a的取值范围是（ ） A．﹣1＜a＜2 8． 对于复数

B．﹣3＜a＜6

C．a＜﹣3或a＞6

D．a＜﹣1或a＞2

,若集合具有性质“对任意,必有”,则当

时,A1 B-1 C0 D

等于 ( )

9． 已知x，y∈R，且积为（ ） A．4

﹣

B．4

﹣

C．

，则存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立的P（x，y）构成的区域面

D． +

10．已知曲线C1：y=ex上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（ ）

A．1 B． C．e﹣1 D．e+1

11．设i是虚数单位，若z=cosθ+isinθ且对应的点位于复平面的第二象限，则θ位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．已知x，y满足约束条件A．﹣3 B．3

C．﹣1 D．1

，使z=ax+y取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（ ）

二、填空题

13．【徐州市2018届高三上学期期中】已知函数

，则实数 的取值范围为______．

（为自然对数的底数），若

第 2 页，共 18 页

精选高中模拟试卷

14．一个总体分为A，B，C三层，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为15的样本，若B层中每个个体被抽到的概率都为

，则总体的个数为 ．

215．【泰州中学2018届高三10月月考】设二次函数fxaxbxc（a,b,c为常数）的导函数为fx，

b2对任意xR，不等式fxfx恒成立，则2的最大值为__________．

ac216．函数y=1﹣

17．已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、

、C（1，0），函数y=xf（x）（0

（x∈R）的最大值与最小值的和为 2 ．

≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为 ．

18．在（1+2x）10的展开式中，x2项的系数为 （结果用数值表示）．

三、解答题

19．已知函数f（x）=ax2+bx+c，满足f（1）=﹣，且3a＞2c＞2b． （1）求证：a＞0时，的取值范围；

（2）证明函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点； （3）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，求|x1﹣x2|的取值范围．

20．已知数列{an}的首项a1=2，且满足an+1=2an+3•2n+1，（n∈N*）． （1）设bn=

，证明数列{bn}是等差数列；

（2）求数列{an}的前n项和Sn．

第 3 页，共 18 页

精选高中模拟试卷

21．某校举办学生综合素质大赛，对该校学生进行综合素质测试，学校对测试成绩（10分制）大于或等于7.5的学生颁发荣誉证书，现从A和B两班中各随机抽5名学生进行抽查，其成绩记录如下： A 7 7 7.5 9 9.5 B 6 x 8.5 8.5 y 由于表格被污损，数据x，y看不清，统计人员只记得x＜y，且A和B两班被抽查的5名学生成绩的平均值相等，方差也相等．

（Ⅰ）若从B班被抽查的5名学生中任抽取2名学生，求被抽取2学生成绩都颁发了荣誉证书的概率； （Ⅱ）从被抽查的10名任取3名，X表示抽取的学生中获得荣誉证书的人数，求X的期望．

22．（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲

如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B,C两点，弦CD//AP，AD,BC相 交于点E，F为CE上一点，且DE2EFEC． （Ⅰ）求证：EDFP；

（Ⅱ）若CE:BE3:2,DE3,EF2，求PA的长．

【命题意图】本题考查相交弦定理、三角形相似、切割线定理等基础知识，意在考查逻辑推理能力．

第 4 页，共 18 页

精选高中模拟试卷

23．【南京市2018届高三数学上学期期初学情调研】已知函数f（x）＝2x3－3（a+1）x2＋6ax，a∈R． （Ⅰ）曲线y＝f（x）在x＝0处的切线的斜率为3，求a的值；

（Ⅱ）若对于任意x∈（0，+∞），f（x）＋f（－x）≥12lnx恒成立，求a的取值范围； （Ⅲ）若a＞1，设函数f（x）在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M（a）、m（a）， 记h（a）＝M（a）－m（a），求h（a）的最小值．

24．设极坐标与直角坐标系xOy有相同的长度单位，原点O为极点，x轴坐标轴为极轴，曲线C1的极坐标方

2

程为ρcos2θ+3=0，曲线C2的参数方程为

（t是参数，m是常数）．

（Ⅰ）求C1的直角坐标方程和C2的普通方程；

（Ⅱ）若C1与C2有两个不同的公共点，求m的取值范围．

第 5 页，共 18 页

精选高中模拟试卷

安新县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】 A

【解析】解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN． 在①中：由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线， 不可能EP∥BD，因此不正确； ∴SO⊥AC．

在②中：由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD， ∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD， ∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点， ∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=M，

∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确． 在③中：由①同理可得：EM⊥平面SAC，

若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾， 因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确． 在④中：由②可知平面EMN∥平面SBD， ∴EP∥平面SBD，因此正确． 故选：A．

【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

2． 【答案】C

【解析】

b＋i(b＋i)(2－i)2b＋12－b1

＝＝＋i，因为实部与虚部相等，所以2b＋1＝2－b，即b＝.故选C.

5532＋i(2＋i)(2－i)

第 6 页，共 18 页

精选高中模拟试卷

3． 【答案】 D

【解析】解：要使这些曲线上存在点P满足|MP|=|NP|，需曲线与MN的垂直平分线相交． MN的中点坐标为（﹣，0），MN斜率为∴MN的垂直平分线为y=﹣2（x+），

∵①4x+2y﹣1=0与y=﹣2（x+），斜率相同，两直线平行，可知两直线无交点，进而可知①不符合题意．

222

②x+y=3与y=﹣2（x+），联立，消去y得5x﹣12x+6=0，△=144﹣4×5×6＞0，可知②中的曲线与MN的

=

垂直平分线有交点，

③中的方程与y=﹣2（x+），联立，消去y得9x﹣24x﹣16=0，△＞0可知③中的曲线与MN的垂直平分线

2

有交点，

2

④中的方程与y=﹣2（x+），联立，消去y得7x﹣24x+20=0，△＞0可知④中的曲线与MN的垂直平分线有

交点， 故选D

4． 【答案】D

【解析】解：设{an}是等比数列的公比为q， 因为a2=2，a3=﹣4， 所以q=

=

=﹣2，

所以a1=﹣1， 根据S5=故选：D．

【点评】本题主要考查学生运用等比数列的前n项的求和公式的能力，本题较易，属于基础题．

5． 【答案】 C

【解析】解：设四面体的内切球的球心为O， 则球心O到四个面的距离都是R， 所以四面体的体积等于以O为顶点，

=﹣11．

分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．

第 7 页，共 18 页

精选高中模拟试卷

则四面体的体积为 ∴R=故选C．

【点评】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，上去．一般步骤：得出一个明确的命题（或猜想）．

6． 【答案】D

【解析】解：双曲线：

的a=1，b=2，c=

=

∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±2x；离心率e==故选 D

7． 【答案】C

32

【解析】解：由于f（x）=x+ax+（a+6）x﹣1，

2

有f′（x）=3x+2ax+（a+6）．

若f（x）有极大值和极小值，

2

则△=4a﹣12（a+6）＞0，

从而有a＞6或a＜﹣3， 故选：C．

【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件．属基础题．

8． 【答案】B 【解析】由题意，可取9． 【答案】 A

，所以

第 8 页，共 18 页

精选高中模拟试卷

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB， 若存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立， 则令sinα=则方程等价为即sin（α+θ）=﹣

（

cosθ+，则cosθ=

sinθ）=﹣1， ，

sin（α+θ）=﹣1，

，

∵存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立， ∴|﹣

|≤1，即x2+y2≥1，

则对应的区域为单位圆的外部， 由

，解得

，即B（2，2

×

）， =4

，

A（4，0），则三角形OAB的面积S=直线y=则∠AOB=

x的倾斜角为

，

，

﹣

，即扇形的面积为

则P（x，y）构成的区域面积为S=4故选：A

，

【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件作出对应的图象，求出对应的面积是解决本题的关键．综合性较强．

10．【答案】C

第 9 页，共 18 页

精选高中模拟试卷

【解析】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：∴0＜1+ln（x2﹣m）≤∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m， 令x2﹣m≤化为m≥x﹣e∴m≥e﹣1． 故选：C．

11．【答案】B

【解析】解：∵z=cosθ+isinθ对应的点坐标为（cosθ，sinθ）， 且点（cosθ，sinθ）位于复平面的第二象限， ∴故选：B．

，∴θ为第二象限角，

，

x﹣e

，x＞m+

=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，

，∴．

∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．

．

xexe

令f（x）=x﹣e﹣，则f′（x）=1﹣e﹣，可得x=e时，f（x）取得最大值．

【点评】本题考查复数的几何意义，考查三角函数值的符号，注意解题方法的积累，属于中档题．

12．【答案】D

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z=ax+y，得y=﹣ax+z，

若a=0，此时y=z，此时函数y=z只在B处取得最小值，不满足条件． 若a＞0，则目标函数的斜率k=﹣a＜0． 平移直线y=﹣ax+z，

由图象可知当直线y=﹣ax+z和直线x+y=1平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个， 此时﹣a=﹣1，即a=1．

若a＜0，则目标函数的斜率k=﹣a＞0． 平移直线y=﹣ax+z，

由图象可知当直线y=﹣ax+z，此时目标函数只在C处取得最小值，不满足条件． 综上a=1． 故选：D．

第 10 页，共 18 页

精选高中模拟试卷

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用z的几何意义是解决本题的关键．注意要对a进行分类讨论．

二、填空题

13．【答案】【解析】令所以即

，则

的形式，然后根据函数的单调性

的取值应在外层函数的定义域内

为奇函数且单调递增，因此

与

点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为去掉“”，转化为具体的不等式（组），此时要注意

14．【答案】 300 ．

【解析】解：根据分层抽样的特征，每个个体被抽到的概率都相等， 所以总体中的个体的个数为15÷故答案为：300．

=300．

【点评】本题考查了样本容量与总体的关系以及抽样方法的应用问题，是基础题目．

15．【答案】222

【解析】试题分析：根据题意易得：f'x2axb，由fxf'x得：axb2axcb0在R

2c4122a0b4ac4aa，

，可解得：b24ac4a24aca，则：2上恒成立，等价于：{20ac2a2c2c1a第 11 页，共 18 页

精选高中模拟试卷

b2c4t44令t1,(t0)，y2的最大值为222． 222，故222acat2t2t2222t考点：1.函数与导数的运用;2.恒成立问题;3.基本不等式的运用 16．【答案】2

【解析】解：设f（x）=﹣

，则f（x）为奇函数，所以函数f（x）的最大值与最小值互为相反数，

即f（x）的最大值与最小值之和为0． 将函数f（x）向上平移一个单位得到函数y=1﹣的最大值与最小值的和为2． 故答案为：2．

【点评】本题考查了函数奇偶性的应用以及函数图象之间的关系，奇函数的最大值和最小值互为相反数是解决本题的关键．

17．【答案】

【解析】解：依题意，当0≤x≤时，f（x）=2x，当＜x≤1时，f（x）=﹣2x+2

．

的图象，所以此时函数y=1﹣

（x∈R）

∴f（x）=

∴y=xf（x）=

y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为S=

+x2）故答案为：

18．【答案】 180

【解析】解：由二项式定理的通项公式Tr+1=Cna

2

可知r=2，所以系数为C10×4=180，

rn﹣rr

b可设含

+

=x3

+（﹣

=+=

x2项的项是Tr+1=C7r （2x）r

故答案为：180．

第 12 页，共 18 页

精选高中模拟试卷

【点评】本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于基础题型，难度系数0.9．一般地通项公式主要应用有求常数项，有理项，求系数，二项式系数等．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）∵f（1）=a+b+c=﹣， ∴3a+2b+2c=0． 又3a＞2c＞2b， 故3a＞0，2b＜0， 从而a＞0，b＜0，

又2c=﹣3a﹣2b及3a＞2c＞2b知3a＞﹣3a﹣2b＞2b ∵a＞0，∴3＞﹣3﹣即﹣3＜＜﹣．

（2）根据题意有f（0）=0，f（2）=4a+2b+c=（3a+2b+2c）+a﹣c=a﹣c． 下面对c的正负情况进行讨论： ①当c＞0时，∵a＞0， ∴f（0）=c＞0，f（1）=﹣＜0

所以函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点； ②当c≤0时，∵a＞0，

∴f（1）=﹣＜0，f（2）=a﹣c＞0

所以函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点； 综合①②得函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点； （3）．∵x1，x2是函数f（x）的两个零点 ∴x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根． 故x1+x2=﹣，x1x2==从而|x1﹣x2|=∵﹣3＜＜﹣， ∴

|x1﹣x2|

．

=

=

=

．

＞2，

第 13 页，共 18 页

精选高中模拟试卷

【点评】本题考查了二次函数的性质，对于二次函数要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑；同时考查了函数的零点与方程根的关系，函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．属于中档题．

20．【答案】 【解析】解：（1）∵∴数列{bn}是以（2）由（1）可知∴

①

②

①﹣②得：

，

∴

．

为首项，3为公差的等差数列．

，

=

，

【点评】本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用定义法和错位相减法是解决本题的关键．

21．【答案】 【解析】解：（Ⅰ）∵=（6+x+8.5+8.5+y）， ∵∵

=∵

22

，得（x﹣8）+（y﹣8）=1，②

（7+7+7.5+9+9.5）=8，

，∴x+y=17，①

，

，

由①②解得或，

∵x＜y，∴x=8，y=9，

记“2名学生都颁发了荣誉证书”为事件C，则事件C包含共有

个基本事件，

个基本事件，

第 14 页，共 18 页

精选高中模拟试卷

∴P（C）=，

即2名学生颁发了荣誉证书的概率为．

（Ⅱ）由题意知X所有可能的取值为0，1，2，3， P（X=0）=P（X=1）=

=

， =

，

P（X=2）==，

P（X=3）=EX=

=，

=

．

【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平均值和方差的计算和应用．

22．【答案】

【解析】（Ⅰ）∵DE2EFEC,DEFDEF ∴DEF∽CED,∴EDFC……………………2分 又∵CD//AP,∴PC, ∴EDFP．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得EDFP，又DEFPEA，∴EDF∽EPA，

EAEP，∴EAEDEFEP，又∵EAEDCEEB，∴CEEBEFEP． EFED279∵DE2EFEC,DE3,EF2，∴ EC，∵CE:BE3:2，∴BE3，解得EP.

4215∴BPEPEB．∵PA是⊙O的切线，∴PA2PBPC

415315279∴PA2．……………………10分 ()，解得PA444211823．【答案】（1）a＝（2）（－∞，－1－]．（3）

2e27∴

第 15 页，共 18 页

精选高中模拟试卷

【解析】

f（x）＋f（－x）＝－6（a＋1）x2≥12lnx对任意x∈（0，+∞）恒成立， 所以－（a＋1）≥2lnxx2． 令g（x）＝

2lnxx2，x＞0，则g（x）＝212lnxx3． 令g（x）＝0，解得x＝e．

当x∈（0，e）时，g（x）＞0，所以g（x）在（0，e）上单调递增； 当x∈（e，＋∞）时，g（x）＜0，所以g（x）在（e，＋∞）上单调递减．

所以g（x）1max＝g（e）＝e， 所以－（a＋1）≥11e，即a≤－1－e，

所以a的取值范围为（－∞，－1－1e]．

（3）因为f（x）＝2x3－3（a＋1）x2＋6ax，

所以f ′（x）＝6x2－6（a＋1）x＋6a＝6（x－1）（x－a），f（1）＝3a－1，f（2）＝4．令f ′（x）＝0，则x＝1或a． f（1）＝3a－1，f（2）＝4．

第 16 页，共 18 页

2）

（ 精选高中模拟试卷

②当

5＜a＜2时， 3

当x∈（1，a）时，f （x）＜0，所以f（x）在（1，a）上单调递减； 当x∈（a，2）时，f （x）＞0，所以f（x）在（a，2）上单调递增．

又因为f（1）＞f（2），所以M（a）＝f（1）＝3a－1，m（a）＝f（a）＝－a3＋3a2， 所以h（a）＝M（a）－m（a）＝3a－1－（－a3＋3a2）＝a3－3a2＋3a－1． 因为h （a）＝3a2－6a＋3＝3（a－1）2≥0．

5，2）上单调递增， 3558所以当a∈（，2）时，h（a）＞h（）＝．

3327所以h（a）在（③当a≥2时，

当x∈（1，2）时，f （x）＜0，所以f（x）在（1，2）上单调递减， 所以M（a）＝f（1）＝3a－1，m（a）＝f（2）＝4， 所以h（a）＝M（a）－m（a）＝3a－1－4＝3a－5， 所以h（a）在[2，＋∞）上的最小值为h（2）＝1． 综上，h（a）的最小值为

8． 27点睛：已知函数最值求参数值或取值范围的一般方法：（1）利用导数结合参数讨论函数最值取法，根据最值

第 17 页，共 18 页

精选高中模拟试卷

列等量关系，确定参数值或取值范围；（2）利用最值转化为不等式恒成立问题，结合变量分离转化为不含参数的函数，利用导数求新函数最值得参数值或取值范围. 24．【答案】

22222

【解析】解：（I）曲线C1的极坐标方程为ρcos2θ+3=0，即ρ（cosθ﹣sinθ）+3=0，可得直角坐标方程：x2

﹣y+3=0．

曲线C2的参数方程为

（t是参数，m是常数），消去参数t可得普通方程：x﹣2y﹣m=0．

22

（II）把x=2y+m代入双曲线方程可得：3y+4my+m+3=0，由于C1与C2有两个不同的公共点， 22

∴△=16m﹣12（m+3）＞0，解得m＜﹣3或m＞3，

∴m＜﹣3或m＞3．

【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与双曲线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

第 18 页，共 18 页