2020-2021学年福建省泉州市高二上学期期中考试数学试题(b) word版

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泉州市2020—2021学年度第一学期期中考试

高二数学试题（B）

本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150分，考试时间120分钟.

第I卷

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2．每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂在其它答案标号. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1．已知向量a＝(－1，1，0)，b＝(0，1，－1)，则ab

A．0

B．1 C．－1 D．2

2．设平面α的法向量为(1，－2，λ)，平面β的法向量为(2，，4)，若α∥β，则=

A．2

B．4

C．－2

D．－4

3．已知a＝(1，5，－2)，b＝(m，2，m＋1)，若ab，则m的值为

A．－6

B．－8

2

2

C．6 D．8

4．若点A(a＋1，3)在圆C：(x－a)＋(y－1)＝m内部，则实数m的取值范围是

A．(5，＋∞)

B．[5,)

C．(0，5)

D．[0，5]

x2y2

5．椭圆＋＝1的焦距是2，则m＝

m4

A．3

B．5

C．3或5

D．2

6．两直线l1:3x－2y－6=0，l2:3x－2y＋8=0，则直线l1关于直线l2对称的直线方程为

A．3x－2y＋24=0 B．3x－2y－10=0 C．3x－2y－20=0

D．3x－2y＋22=0

7. 如图所示，P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在α，β平面内引射线PM，PN，如果

∠BPM＝∠BPN＝∠MPN＝60°，设二面角α－AB－β的大小为α，则cosα＝ A．1

B．

2 31

C．

2 3D．

1 38．已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，

且PM2MC，PNND，NMxAByADzAP，则x＋y＋z＝

2A．

3 C．1

B．D．

2 35 6二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的的0分. 9．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，与向量AB相等的向量有

A．CD

B．A'B'

C．D'C'

D．BC

10．已知平面α过点A(1，－1，2) ，其法向量n=(2，－1，2) ，则下列点不在α内的是

A．(2，3，3)

B．(3，－3，4)

C．(－1，2，0) D．(－2，0，1)

11．已知直线l1:ax－y－b=0，l2:bx－y＋a=0，当a，b满足一定的条件时，它们的图形可以是

A B C D

x2y212．已知椭圆C：1的左、右焦点分别为F、E，直线xm(1m1)与椭圆相交

43于点A、B，则 A．椭圆C的离心率为3 22

B．存在m，使△FAB为直角三角形

C．存在m，使△FAB的周长最大 D．当m=0时，四边形FBEA面积最大

第II卷

本卷为必考题. 第13～16题为填空题，第17～22题为解答题，每个试题考生都必须作答．

三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 13．化简ABCDACBD＝________.

x2y214．已知F(2,0)是椭圆E:221(ab0)的右焦点，且E过点(2,1)，则椭圆E的

ab离心率为____________.

15．已知直线xya0与圆O:x2y22相交于A， B两点（O为坐标原点），且△AOB

为等边三角形，则实数a＝________．

16．如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体的水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，

在该正方体侧面CDD1C1有一个小孔E，E点到CD的距离为3，若该正方体水槽绕CD倾斜（CD始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面CDD1C1与桌面所成的角正切值为 .

四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）

已知直线l1斜率为－2，在y轴上的截距为2；直线l2过定点(1,3),(2,4). （1）求直线l1，l2的方程；

（2）求l1，l2的交点P的坐标，并求点P到坐标原点O的距离.

18．（本小题满分12分）

在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，点M在A1C1

3

上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点. （1）求M、N两点间的距离；

（2）判断直线MN与直线BD1是否垂直，并说明理由.

19．（本小题满分12分）

已知圆C经过点A(2，－1)，且圆心在直线y＝－2x上，直线x＋y＝1与圆C相切． （1）求圆C的方程；

（2）已知斜率为-1的直线l经过原点，求直线l被圆C截得的弦长．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆C的焦点在x轴上，左顶点为A(－2，0)，离心率为（1）求椭圆C的方程；

（2）斜率为1的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，求|PQ|的最大值.

21．（本小题满分12分）

3

. 2

ADC90，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，

1BCCDAD1，E为线段AD的中点，过BE的平面与线段PD，PC分别交于点G，F．

2（1）求证：GF⊥平面PAD；

（2）若PAPD2，点G为PD的中点，求直线PB与平面BEGF所成角的正弦值.

22．（本小题满分12分）

已知圆O：x2＋y2＝4和定点A(1，0) ，平面上一动点P满足以线段AP为直径的圆内切于圆O，动点P的轨迹记为曲线C.

4

（1）求曲线C的方程； （2）直线

与曲线C交于不同两点M，N，直线AM，AN分别交y轴于P，

Q两点．求证：APAQ．

泉州市高二数学试题（B）参考答案

一、选择题 1—5 BCDAC 二、多项选择题 9．BC 三、填空题 13．0 四、解答题 17．解：

（1）由题意知，直线l1的方程为y2x2，

即2xy20；……………………………2分

14．

10．BCD

11．AC

12．BD

6—8 DDB

2 215．3 16．2

431， 21所以l2的方程为y3x1，即xy20；…………………………5分 设直线l2的斜率为k，则k（2）联立xy20, 2xy20,x0,得 y2,所以交点坐标为(0,2), ……………………………8分 所以OP18．解：

（1）建立如图所示空间直角坐标系Oxyz，

A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),A1(0,0,4),C1(2,2,4),

(00)2(20)22 . ……………………………10分 D1(0,2,4),

因为|MC1|＝2|A1M|，所以A1M1AC11, 322

得M(，，4). ………………………2分

33

5

又N为CD1中点，所以N(1,2,2)，…………………4分

2253所以MN(1)2(2)2(24)2； …………………6分

333（2）MN(,,2)，BD1(2,2,4),………………………8分

所以MNBD1(,,2)(2,2,4)1433142886，………………………10分 3333MNBD10，…………………………11分

所以直线MN与直线BD1不垂直. ……………………………12分 19．解：

（1）设圆心C的坐标为 (a，－2a)， |a－2a－1|则(a2)2(2a1)2＝2，. ……………………………1分 化简，得a2－2a＋1＝0， 解得a＝1，

所以C(1，－2)，……………………………3分

半径r＝|AC|＝(12)2(21)2＝2，…………………………5分 所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2. ………………………6分 （2）直线l的方程为yx，……………………………7分

设圆心到直线的距离为d，

则d1(2)222，…………………………9分 设弦长为l，得l22(22)26，……………………………11分 所以直线l被圆C截得的弦长为6.……………………………12分 20．解：

（1）设椭圆C的方程为x2y2

a2＋b2＝1(a＞b＞0)．

由题意得

a＝2，

c3

a＝2

，

解得c＝3， 所以b2＝a2－c2

＝1，

所以椭圆C的方程为x2

＋y2

4

＝1；…………………………4分

（2）设P，Q两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，

6

2

2

由

x＋4y＝4，



y＝x＋t

消去y，得5x2

＋8tx＋4(t2

－1)＝0，…………………………6分 84(2则x＋xt1)12＝－5t，x1x2＝5，……………………………7分

0，得0t25， 所以|PQ|＝1＋k2|x1－x2| ＝1＋k2·(x21x2)4x1x2 ＝2·2－8t2－4×4t－155 ＝425·5－t2

， ……………………………10分

因为0t25，所以当t＝0时，|PQ|410max＝5. …………………………12分 21．证明：

（1）因为BC12AD，且E为线段AD的中点，

所以BC=DE，又因为BC∥AD， 所以四边形BCDE为平行四边形，

所以BE∥CD， ……………………………2分

又因为CD平面PCD,BE平面PCD， 所以BE∥平面PCD，

又平面BEGF平面PCDGF,

所以BE∥GF，……………………………4分

又BEAD,且平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD, 所以BE平面PAD，

所以GF平面PAD，……………………………6分 （2）因为PAPD， E为线段AD的中点，

所以PEAD，

又因为平面PAD平面ABCD，

所以PE平面ABCD，………………7分

以E为坐标原点，EA的方向为x轴正方向建立如图 所示的空间直角坐标系Exyz；

则P(0,0,1),B(0,1,0),E(0,0,0),D(1,0,0), 则PB(0,1,1),BE(0,1,0),DP(1,0,1),

G(12,0,12)，

7

所以EG(12,0,12), ……………………9分

设平面BEGF的法向量为n(x.y.z)，

则BEn0,y0,n0,，即EG12x12z0, 不妨令x2，可得n(2,0,2)为平面BEGF的一个法向量，……………10分 设直线PB与平面BEGF所成角为α， 于是有sincosn,PBnPB2nPB2222212；……………………11分 所以直线PB与平面BEGF所成角的正弦值为

12 .……………………………12分 22．解：

（1）设以线段AP为直径的圆的圆心为C，取A′(－1,0)．

依题意，圆C内切于圆O，设切点为D，则O，C，D三点共线， 因为O为AA′的中点，C为AP中点，

所以|A′P|＝2|OC|.…………………………1分

所以|PA′|＋|PA|＝2OC＋2AC＝2OC＋2CD＝2OD＝4＞|AA′|＝2，

所以动点P的轨迹是以A，A′为焦点，长轴长为4的椭圆，………………3分

x2y2

设其方程为a2＋b2＝1(a＞b＞0)， 则2a＝4,2c＝2， 所以a＝2，c＝1，

所以b2＝a2－c2

＝3，………………………5分

x2y2

所以动点P的轨迹方程为4＋3＝1; …………………6分

（2）设

，

．

由，

得，………………………7分

依题意，

即

，…………………………8分 8

则，…………………………9分

因为

,…………………………10分

所以直线

的倾斜角与直线

的倾斜角互补，即OAPOAQ．

因为OAPQ，所以APAQ．…………………………12分 9