2019年山东省淄博市中考数学试卷(a卷)(附答案,解析)

一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（4分）（2019•淄博）比2小1的数是( ) A．3

B．1

C．1

D．3

2．（4分）（2019•淄博）国产科幻电影《流浪地球》上映17日，票房收入突破40亿元人民币，将40亿用科学记数法表示为( ) A．40108

B．4109

C．41010

D．0.41010

3．（4分）（2019•淄博）下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是( )

A． B．

C． D．

4．（4分）（2019•淄博）如图，小明从A处沿北偏东40方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，则ABC等于( )

A．130

B．120

C．110

D．100

1x12时，去分母变形正确的是( ) x22x5．（4分）（2019•淄博）解分式方程A．1x12(x2) C．1x12(2x)

B．1x12(x2) D．1x12(x2)

6．（4分）（2019•淄博）与下面科学计算器的按键顺序：

对应的计算任务是( )

6A．0.6124

55B．0.6124

6C．0.656412

6D．0.6412

57．（4分）（2019•淄博）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为( )

A．2 B．2

C．22 D．6

8．（4分）（2019•淄博）如图，在ABC中，AC2，BC4，D为BC边上的一点，且CADB．若ADC的面积为a，则ABD的面积为( )

A．2a

5B．a

2C．3a

7D．a

225，则以x1，x2为根的一元二次方程是( ) 9．（4分）（2019•淄博）若x1x23，x12x2A．x23x20 B．x23x20 C．x23x20 D．x23x20

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果. 110．（4分）（2019•淄博）单项式a3b2的次数是 ．

211．（4分）（2019•淄博）分解因式：x35x26x．

12．（4分）（2019•淄博）如图，在正方形网格中，格点ABC绕某点顺时针旋转角(0180)得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则 度．

13．（4分）（2019•淄博）某校欲从初三级部3名女生，2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的“中国梦青春梦“演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是 ．

14．（4分）（2019•淄博）如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．

如图1，当CD如图2，当CD如图3，当CD13AC时，tan1； 2415AC时，tan2； 31217； AC时，tan3424

依此类推，当CD1AC(n为正整数）时，tann ． n1三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（5分）（2019•淄博）解不等式

x51x3 216．（5分）（2019•淄博）已知，在如图所示的“风筝”图案中，ABAD，ACAE，BAEDAC．求证：EC．

17．（8分）（2019•淄博）文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力．2019年5月“亚洲文明对话大会”在北京成功举办，引起了世界人民的极大关注．某市一研究机构为了了解10~60岁年龄段市民对本次大会的关注程度，随机选取了100名年龄在该范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示：

组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 年龄段 频数（人数） 5 a 10x20 20x30 30x40 40x50 50x60 35 20 15

（1）请直接写出a ，m ，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是 度． （2）请补全上面的频数分布直方图；

（3）假设该市现有10~60岁的市民300万人，问40~50岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少？ 18．（8分）（2019•淄博）“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的A，B两种产品在欧洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元（利润售价成本）．其每件产品的成本和售价信息如下表：

成本（单位：万元/件） 售价（单位：万元/件） A 2 5 B 4 7 问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？

19．（8分）（2019•淄博）如图，在RtABC中，B90，BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的O经过点D． （1）求证：①BC是O的切线； ②CD2CECA；

（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE3，试求阴影部分的面积．

20．（9分）（2019•淄博）如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且AB2BC，取EF的中点M，连接MD，MG，MB． （1）试证明DMMG，并求

MB的值． MG（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设EAB2(090)，其它条件不变，问（1）中值有变化吗？若有变化，求出该值（用含的式子表示）；若无变化，说明理由．

MB的MG

21．（9分）（2019•淄博）如图，顶点为M的抛物线yax2bx3与x轴交于A(3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）问在y轴上是否存在一点P，使得PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DAOA，过D作DGx轴于点G，设ADG的内心为I，试求CI的最小值．

2019年山东省淄博市中考数学试卷（A卷）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（4分）比2小1的数是( ) A．3

B．1

C．1

D．3

【考点】1A：有理数的减法

【分析】用2减去1，然后根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解． 【解答】解：21(12)3． 故选：A．

2．（4分）国产科幻电影《流浪地球》上映17日，票房收入突破40亿元人民币，将40亿用科学记数法表示为( ) A．40108

B．4109

C．41010

D．0.41010

【考点】1I：科学记数法表示较大的数

【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数．

【解答】解：40亿用科学记数法表示为：4109， 故选：B．

3．（4分）下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是( )

A． B．

C． D．

【考点】U2：简单组合体的三视图

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 【解答】解：A、圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图也是一个圆形，不符合题意；

B、三棱柱的主视图和左视图、俯视图都不相同，不符合题意；

C、长方体的主视图和左视图是相同的，都为一个长方形，但是俯视图是一个不一样的长方形，不符合题

意；

D、球的三视图都是大小相同的圆，符合题意．

故选：D．

4．（4分）如图，小明从A处沿北偏东40方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，则ABC等于( )

A．130

【考点】IH：方向角

【分析】根据平行线性质求出ABE，再求出EBC即可得出答案． 【解答】解：如图：

B．120

C．110

D．100

小明从A处沿北偏东40方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处， DAB40，CBF20，

向北方向线是平行的，即AD//BE， ABEDAB40， EBF90，

EBC902070，

ABCABEEBC4070110，

故选：C．

5．（4分）解分式方程

1x12时，去分母变形正确的是( ) x22xA．1x12(x2) C．1x12(2x)

B．1x12(x2) D．1x12(x2)

【考点】B3：解分式方程

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可得到结果． 【解答】解：去分母得：1x12(x2)， 故选：D．

6．（4分）与下面科学计算器的按键顺序：

对应的计算任务是( ) 6A．0.6124

55B．0.6124

6C．0.656412

6D．0.6412

5【考点】1N：计算器有理数；1G：有理数的混合运算 【分析】根据科学计算器按键功能可得．

5【解答】解：与下面科学计算器的按键顺序对应的计算任务是0.6124，

6故选：B．

7．（4分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为( )

A．2 B．2

C．22 D．6

【考点】7B：二次根式的应用

【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得，

大正方形的边长为822，小正方形的边长为2，

图中阴影部分的面积为：2(222)2，

故选：B．

8．（4分）如图，在ABC中，AC2，BC4，D为BC边上的一点，且CADB．若ADC的面积为a，则ABD的面积为( )

A．2a

5B．a

2C．3a

7D．a

2【考点】S9：相似三角形的判定与性质

【分析】证明ACD∽BCA，根据相似三角形的性质求出BCA的面积为4a，计算即可． 【解答】解：CADB，ACDBCA， ACD∽BCA，



SACDa1AC2()，即，

SBCA4SBCAAB解得，BCA的面积为4a，

ABD的面积为：4aa3a，

故选：C．

25，则以x1，x2为根的一元二次方程是( ) 9．（4分）若x1x23，x12x2A．x23x20 B．x23x20 C．x23x20 D．x23x20

【考点】AB：根与系数的关系

【分析】利用完全平方公式计算出x1x22，然后根据根与系数的关系写出以x1，x2为根的一元二次方程． 【解答】解：

2x12x25，

(x1x2)22x1x25， 而x1x23， 92x1x25， x1x22，

以x1，x2为根的一元二次方程为x23x20．

故选：A．

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果. 110．（4分）单项式a3b2的次数是 5 ．

2【考点】42：单项式

【分析】根据单项式的次数的定义解答． 1【解答】解：单项式a3b2的次数是325．

2故答案为5．

11．（4分）分解因式：x35x26x． 【考点】57：因式分解十字相乘法等

【分析】先提公因式x，然后根据十字相乘法的分解方法和特点分解因式． 【解答】解：x35x26x，

x(x25x6)， x(x2)(x3)．

12．（4分）如图，在正方形网格中，格点ABC绕某点顺时针旋转角(0180)得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则 90 度．

【考点】R2：旋转的性质

【分析】作CC1，AA1的垂直平分线交于点E，可得点E是旋转中心，即AEA190． 【解答】解：如图，

连接CC1，AA1，作CC1，AA1的垂直平分线交于点E，连接AE，A1E

CC1，AA1的垂直平分线交于点E，

点E是旋转中心，

AEA190

旋转角90

故答案为：90

13．（4分）某校欲从初三级部3名女生，2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的“中国梦青春梦“演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是 【考点】X6：列表法与树状图法

【分析】画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出选中一男一女的结果数，然后根据概率公式求

3 ． 5解．

【解答】解：画树状图为：

共20种等可能的结果数，其中选中一男一女的结果数为12，

恰好选中一男一女的概率是

123， 2053故答案为：．

514．（4分）如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．

如图1，当CD如图2，当CD如图3，当CD13AC时，tan1； 2415AC时，tan2； 31217； AC时，tan3424

依此类推，当CD2n11 ． AC(n为正整数）时，tann 22n2nn1【考点】38：规律型：图形的变化类；KW：等腰直角三角形；PB：翻折变换（折叠问题）；T7：解直角三角形

【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．

【解答】解：观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，，2n1，

(2n1)21分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；，2n1，，

2(2n1)21中的中间一个． 2tann2n12n1．

(2n1)212n22n2故答案为：

2n1．

2n22n三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（5分）解不等式

x51x3 2【考点】C6：解一元一次不等式

【分析】将已知不等式两边同乘以2，然后再根据移项、合并同类项、系数化为1求出不等式的解集． 【解答】解：将不等式x522x6

x51x3两边同乘以2得， 2解得x3．

16．（5分）已知，在如图所示的“风筝”图案中，ABAD，ACAE，BAEDAC．求证：EC．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质

【分析】由“SAS”可证ABCADE，可得CE． 【解答】证明：BAEDAC BAECAEDACCAE CABEAD，且ABAD，ACAE

ABCADE(SAS) CE

17．（8分）文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力．2019年5月“亚洲文明对话大会”在北京成功举办，引起了世界人民的极大关注．某市一研究机构为了了解10~60岁年龄段市民对本次大会的关注程度，随机选取了100名年龄在该范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示：

组别 第1组 第2组 第3组 第4组 年龄段 频数（人数） 5 a 10x20 20x30 30x40 40x50 35 20 第5组 50x60 15

（1）请直接写出a 25 ，m ，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是 度． （2）请补全上面的频数分布直方图；

（3）假设该市现有10~60岁的市民300万人，问40~50岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少？ 【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率)分布表；V8：频数（率)分布直方图；VB：扇形统计图 【分析】（1）根据题意和频数分布表中的数据，可以求得a、m的值和第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角的度数；

（2）根据（1）中a的值，可以将频数分布直方图补充完整；

（3）根据频数分布表中的数据可以计算出40~50岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少． 【解答】解：（1）a100535201525， m%(20100)100%20%，

第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是：360故答案为：25，20，126；

（2）由（1）值，20x30有25人， 补全的频数分布直方图如右图所示； （3）30020， 60（万人）

10035126， 100答：40~50岁年龄段的关注本次大会的人数约有60万人．

18．（8分）“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的A，B两种产品在欧洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元（利润售价成本）．其每件产品的成本和售价信息如下表：

成本（单位：万元/件） 售价（单位：万元/件） A 2 5 B 4 7 问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？ 【考点】9A：二元一次方程组的应用

【分析】设A，B两种产品的销售件数分别为x件、y件；由题意列出方程组，解方程组即可． 【解答】解：设A，B两种产品的销售件数分别为x件、y件； 5x7y2060由题意得：，

2x4y20601020x170解得：；

y180答：A，B两种产品的销售件数分别为170x件、180件．

19．（8分）如图，在RtABC中，B90，BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的O经过点D．

（1）求证：①BC是O的切线； ②CD2CECA；

（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE3，试求阴影部分的面积．

【考点】MR：圆的综合题

【分析】（1）①证明DO//AB，即可求解；②证明CDE∽CAD，即可求解； （2）证明OFD、OFA是等边三角形，S阴影S扇形DFO，即可求解． 【解答】解：（1）①连接OD，

AD是BAC的平分线，DABDAO，

ODOA，DAOODA， DAOADO， DO//AB，而B90， ODB90， BC是O的切线；

②连接DE，

BC是O的切线，CDEDAC， CC，CDE∽CAD，

CD2CECA；

（2）连接DE、OE，设圆的半径为R，

点F是劣弧AD的中点，是OF是DA中垂线，

DFAF，FDAFAD，

DO//AB，PDADAF， ADODAOFDAFAD， AFDFOAOD， OFD、OFA是等边三角形， C30，

1ODOC(OEEC)，而OEOD，

2CEOER3，

S阴影S扇形DFO603． 32360220．（9分）如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且AB2BC，取EF的中点M，连接MD，MG，MB． （1）试证明DMMG，并求

MB的值． MGMB的MG（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设EAB2(090)，其它条件不变，问（1）中

值有变化吗？若有变化，求出该值（用含的式子表示）；若无变化，说明理由．

【考点】32：列代数式；S9：相似三角形的判定与性质；L8：菱形的性质

【分析】（1）如图1中，延长DM交FG的延长线于H．证明DMG是等腰直角三角形即可，连接EB，

BF，设BCa，则AB2a，BE22a，BF2a，求出BM，MG即可解决问题．

（2）（1）中

MB的值有变化．如图2中，连接BE，AD交于点O，连接OG，CG，BF，CG交BF于MGO．首先证明O，G，F共线，再证明点M在直线AD上，设BCm，则AB2m，想办法求出BM，

，即可解决问题． MG（用m表示）

【解答】（1）证明：如图1中，延长DM交FG的延长线于H．

四边形ABCD，四边形BCFG都是正方形， DE//AC//GF，

EDMFHM，

EMDFMH，EMFM，

EDMFHM(AAS)，

DEFH，DMMH，

DE2FG，BGDG， HGDG，

DGHBGF90，MHDM， GMDM，DMMG，

连接EB，BF，设BCa，则AB2a，BE22a，BF2a，

EBDDBF45， EBF90，

EFBE2BF210a，

EMMF，

BM110EFa， 22HMDM，GHFG，

MG12DFa， 2210aBM25． 

MG2a2

（2）解：（1）中

MB的值有变化． MG理由：如图2中，连接BE，AD交于点O，连接OG，CG，BF，CG交BF于O．

DOOA，DGGB， GO//AB，OGGF//AC， O，G，F共线，

1AB， 2FG1AB， 2OFABDF， DF//AC，AC//OF， DE//OF，

OD与EF互相平分，

EMMF，

点M在直线AD上，

GDGBGOGF，

四边形OBFD是矩形，

OBFODFBOD90， OMMD，OGGF，

MG1DF，设BCm，则AB2m， 2易知BE2OB22msin4msin，BF2BO2mcos，DFOB2msin， BM111EFBE2BF24m2sin2m2cos2，GMDFmsin， 222BM4m2sin2m2cos24sin2cos2． MGmsinsin21．（9分）如图，顶点为M的抛物线yax2bx3与x轴交于A(3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C． （1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）问在y轴上是否存在一点P，使得PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DAOA，过D作DGx轴于点G，设ADG的内心为I，试求CI的最小值．

【考点】HF：二次函数综合题

【分析】（1）用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式．

（2）用配方法求抛物线顶点M，求AM2，设点P坐标为(0,p)，用p表示AP2和MP2．PAM为直角三角形不确定哪个点为直角顶点，故需分三种情况讨论．确定直角即确定斜边后，可用勾股定理列方程，求得p的值即求得点P坐标．

（3）由点I是ADG内心联想到过点I作ADG三边的垂线段IE、IF、IH，根据内心到三角形三边距离相等即有IEIFIH．此时以点I为圆心、IE为半径长的I即为ADG内切圆，根据切线长定理可得AEAF，DFDH，EGHG．设点I坐标为(m,n)，可用含m、n的式子表示AG、DG的长，又

339由DAOA3，即可用勾股定理列得关于m、n的方程．化简再配方后得到式子：(m)2(n)2，

2223233从图形上可理解为点I(m,n)与定点Q(，)的距离为，所以点I的运动轨迹为圆弧．所以当点I在

222CQ连线上时，CI最短．

【解答】解：（1）抛物线yax2bx3过点A(3,0)，B(1,0) 9a3b30a1 解得：

ab30b2这条抛物线对应的函数表达式为yx22x3

（2）在y轴上存在点P，使得PAM为直角三角形．

yx22x3(x1)24

顶点M(1,4)

AM2(31)24220 设点P坐标为(0,p)

AP232p29p2，MP212(4p)2178pp2 ①若PAM90，则AM2AP2MP2

209p2178pp2 3解得：p

23P(0,)

2②若APM90，则AP2MP2AM2

9p2178pp220 解得：p11，p23 P(0,1)或(0,3)

③若AMP90，则AM2MP2AP2

20178pp29p2 解得：p7P(0,)

27 2

73综上所述，点P坐标为(0,)或(0,1)或(0,3)或(0,)时，PAM为直角三角形．

22

（3）如图，过点I作IEx轴于点E，IFAD于点F，IHDG于点H DGx轴于点G

HGEIEGIHG90

四边形IEGH是矩形

点I为ADG的内心

IEIFIH，AEAF，DFDH，EGHG

矩形IEGH是正方形

设点I坐标为(m,n)

OEm，HGGEIEn AFAEOAOE3m AGGEAEn3m DAOA3

DHDFDAAF3(3m)m DGDHHGmn

DG2AG2DA2

(mn)2(n3m)232

化简得：m23mn23n0

339配方得：(m)2(n)2

222点I(m,n)与定点Q(，)的距离为323232 232的圆在第一象限的弧上运动 2点I在以点Q(，)为圆心，半径为当点I在线段CQ上时，CI最小

323233310 CQ()2(3)2222CICQIQCI最小值为31032 231032． 2

考试小提示

试卷一张一张，发的是希望；考试一场一场，考的是能力；笔尖一动一动，动的是梦想；问候一声一声，道的是真情；考试日，愿你们认真、细心做题，取得好成绩。迎来艳阳天！