尺规作图题的新走向

尺规作图题的新走向

作者：周奕生

来源：《初中生·考试》2011年第05期

尺规作图是几何作图的一项基本技能，解尺规作图题时，要明确直尺和圆规的功能. 直尺用来连接两点之间的线段，或过两点画直线和射线，不能作为刻度尺画一条线段与另一条线段相等；圆规只能用于画圆或弧，可以截取一条线段等于已知线段. 近几年来中考作图题的难度有所降低，求作三角形或角之类的传统作图题越来越少，格点作图及图案的设计题已成为命题新趋势. 一、作圆

例1（2010年青岛卷）如图1，有一块三角形材料（△ABC），请你画出一个圆，使其与△ABC的各边都相切.

分析：所求作的圆是△ABC的内切圆，而作圆的关键在于确定圆心和半径. 作法如下： 1. 分别作∠B、∠C的平分线交于点O； 2. 过O作BC的垂线段OD；

3. 以O为圆心，OD为半径画圆，即为所求作的圆，如图2.

温馨小提示：这是一道传统的作图题. 解这类题的前提是熟练掌握一些基本作图类型，如作角的平分线、线段的中垂线、过已知点作直线的垂线等等. 二、由作图痕迹写作法

例2（2010年凉山卷）已知：∠AOB，求作∠AOB的平分线. 根据作图所示（如图3），填写作法： ①； ②； ③.

分析：原图是∠AOB，作图后出现了点M、N和C，且OC是∠AOB的平分线，它们是怎么来的？这么一分析，作法就不难写了.

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N；

②分别以M、N为圆心，大于■MN为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C； ③画射线OC. 射线OC为所求.

温馨小提示：根据作图痕迹写作法，解题的关键在于观察，发现新图形中增加的点、线或线段要满足什么条件，根据条件即可写作法. 要注意作图的顺序. 三、在作图中探索

例3（2010年宜昌卷）如图4，已知Rt△ABC和Rt△EBC，∠B=90°. 以边AC上的点O为圆心、OA为半径的⊙O与EC相切，D为切点，AD∥BC.

（1）用尺规确定并标出圆心O；（不写作法和证明，保留作图痕迹） （2）求证：∠E=∠ACB；

（3）若AD=1，tan∠DAC=■，求BC.

解：（1）作AD的中垂线与AC交于点O；或过D点作EC的垂线与AC交于点O，则点O为所求；

（2）证明：如图5，连接OD.

∵ AD∥BC，∠B=90°， ∴ ∠EAD=90°. ∴ ∠E=90°-∠EDA. 又圆O与EC相切于D点， ∴ OD⊥EC.

∴ ∠ODA=90°-∠EDA. ∴ ∠E=∠ODA.

又OD=OA， ∴ ∠DAC=∠ODA. ∴ ∠DAC=∠E. ∵ AD∥BC， ∴ ∠DAC=∠ACB. ∴ ∠E=∠ACB. （3）可求得BC=2. （解题过程略）

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

温馨小提示：这类题有一定的难度，需要我们根据作出图形的特点，探索图形需要的条件，进一步写出作法.

四、利用作图解决实际问题

例4（2010年江津卷）如图6，有分别过A、B两个加油站的公路l1、l2相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足到A、B两个加油站的距离相等，而且P到两条公路l1、l2的距离也相等. 请用尺规作图作出点P（不写作法，保留作图痕迹）. 解：因P到加油站A、B的距离要相等，连接AB，作AB的垂直平分线；因点P到两公路的距离要相等，作∠AOB的平分线，两线的交点就是P的位置（如图6所示）.

温馨小提示：用作图的方法解决实际问题，关键在于把实际问题转化为数学问题，再用数学知识加以解决. 五、网格中的作图题

例5（2010年甘肃卷）图7、图8均为7×6的正方形网格，点A、B、C在格点（小正方形的顶点）上.

（1）在图7中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形；

（2）在图8中确定格点E，并画出一个以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形.

分析：（1）由于四边形是轴对称图形的有矩形、菱形、正方形、等腰梯形和一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形. 考虑到A、B、C三点的位置，要想得到矩形、菱形、正方形是不可能的，因此，考虑后两种情形，易知有图9、图10所示的两种方案.

（2）四边形为中心对称图形，必是平行四边形. 以AB、BC为邻边，可得一种方案（图11）；以BC为对角线可得另一方案（图12）.

温馨小提示：在网格中作图一般不需要运用圆规，只需利用网格的特殊性，其分析问题的方法与尺规作图相同，但比尺规作图简单.

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

请思考下面这道中考题：

1. （2010年本溪卷）如图13，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：

（1）以直线BC为对称轴作△ABC的轴对称图形，得到△A1BC，再将△A1BC绕着点B逆时针旋转90°，得到△A2BC1，请依此画出△A1BC、△A2BC1；

（2）求线段BC旋转到BC1过程中所扫过的面积（计算结果用π表示）.

“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”