第12章 杆件的强度与刚度计算

第12章杆件的强度与刚度计算12-1 强度计算与刚度计算1）构件的失效模式若载荷过大，超出了构件的承载能力，构件将失去某些功能而不能正常工作，称为构件失效。工程中，构件的失效模式主要有：••••强度失效——构件的材料断裂或屈服。刚度失效——构件的弹性变形过大，超出规定范围。疲劳失效——构件在交变应力作用下的强度失效。稳定失效——构件丧失了原有的平衡形态。本章只研究杆件强度失效与刚度失效的计算问题。第12章杆件的强度与刚度计算12-1 强度计算与刚度计算1）构件的失效模式2）杆件的强度计算首先根据内力分析方法，对受力杆件进行内力分析（画出内力图），确定可能最先发生强度失效的横截面（危险截面）。其次根据杆件横截面上应力分析方法，确定危险截面上可能最先发生强度失效的点（危险点），并确定出危险点的应力状态。最后根据材料性能（脆性或塑性）和应力状态，判断危险点的强度失效形式（断裂或屈服），选择相应的强度理论，建立强度条件：ri  i1 , 2 , 3 , 4 之一 根据强度条件，即上面不等式，强度计算可解决三类问题：•校核强度•设计截面•计算许可载荷第12章杆件的强度与刚度计算12-1 强度计算与刚度计算1）构件的失效模式2）杆件的强度计算3）杆件的刚度计算除了要求满足强度条件之外，对其刚度也要有一定要求。即要求工作时杆件的变形或某一截面的位移（最大位移或指定截面处的位移）不能超过规定的数值，即刚度条件Δ[Δ]为计算得到的变形或位移；[]为许用（即人为规定的）变形或位移。对轴向拉压杆，是指轴向变形或位移u；对受扭的杆件，是指两指定截面的相对扭转角或单位长度扭转角；对于梁，是指挠度v或转角。根据刚度条件，即上面不等式，刚度计算可解决三类问题：•设计截面•计算许可载荷•校核刚度第12章杆件的强度与刚度计算12-2 轴向拉压杆件的强度计算轴向拉压杆横截面上正应力是均匀分布的，各点均处于单向应力状态。因此，无论选用哪个强度理论，强度条件表达式均演化为[]max例1螺旋压力机的立柱如图所示。已知：F=300kN，立柱横截面的最小直径为42mm，材料许用应力为[]=140MPa，试校核立柱的强度。解：1）用截面法求立柱轴力2）求立柱横截面上的应力maxFNAmin15010π(421043FNF2150kN108MPa323）校核立柱的强度max[]140MPa安全)第12章杆件的强度与刚度计算12-2 轴向拉压杆件的强度计算例2旋臂吊车如图所示，最大吊重（包括电葫芦自重）F=20kN，拉杆CD为钢杆，其许用应力[]=100MPa，试设计拉杆的直径。解：1）求CD杆所承受的最大内力MB0FNFxFNBCsin300FxBCsin30FNFxFNmax3F32060kNmaxmax2）由强度条件d4FNmaxA3maxFNmaxπ2d4π[]46010N3.1410010N/m622.7610m2取d27.6 mm第12章杆件的强度与刚度计算12-2 轴向拉压杆件的强度计算例3图示为一吊架，AB为木杆，横截面面积AAB=104mm2，许用应力[]AB=7MPa；BC为钢杆，横截面面积ABC=600mm2，许用应力[]BC=160MPa。试求B处可吊起的最大许可载荷。解：1）求AB与BC杆的轴力Fx0FNABBCFNBCcos300Fy0FNsin30F0AB2）由杆AB的强度条件AAB4663F1A1010710ABABABF40.4 kNFNAB3F ，FNBC2FABFNABAAB1333）由杆BC的强度条件2F2ABCBCFABCBC2BCFNBC260010616010648 kN2ABCBC第12章杆件的强度与刚度计算12-2 轴向拉压杆件的强度计算例3图示为一吊架，AB为木杆，横截面面积AAB=104mm2，许用应力[]AB=7MPa；BC为钢杆，横截面面积ABC=600mm2，许用应力[]BC=160MPa。试求B处可吊起的最大许可载荷。解：1）求AB与BC杆的轴力2）由杆AB的强度条件3）由杆BC的强度条件AABAB1041067106F140.4 kN33ABCBC6001016010F248 kN226）B处可吊起的最大许可载荷FmaxminF1 ， F240.4 kN第12章杆件的强度与刚度计算12-3 扭转杆件的强度与刚度计算强度条件：受扭杆件危险点为纯切应力状态，对纯切应力状态，三个主应力为1max ，20 ，3max，故可以证明：与第一强度理论对应的强度条件为与第二强度理论对应的强度条件为与第三强度理论对应的强度条件为与第四强度理论对应的强度条件为max[][][]max[]1max1[][]21[][]3max第12章杆件的强度与刚度计算12-3 扭转杆件的强度与刚度计算综上所述，与之间的关系：脆性材料塑性材料刚度条件：[](0.8~1.0)[][](0.5~0.6)[]T180 []GIπpmax规定的单位长度扭转角工作时单位长度扭转角（计算得到）max第12章杆件的强度与刚度计算12-3 扭转杆件的强度与刚度计算例4一钢制传动轴如图所示，转速n=208rpm，主动轮B的输入功率PB=6kW，两个从动轮A、C的输出功率分别为PA=4kW，Pc=2kW。已知：轴的许用应力[]=60MPa，许用的单位长度扭转角[]=1°/m，切变模量G=80GPa，试设计轴的直径d。解：1）计算外力偶矩并绘扭矩图MA99PAnPBn999942086208183.6Nm275.4NmMB99MC99PCn99220891.8NmT183.6 Nmmax第12章杆件的强度与刚度计算12-3 扭转杆件的强度与刚度计算例4一钢制传动轴如图所示，转速n=208rpm，主动轮B的输入功率PB=6kW，两个从动轮A、C的输出功率分别为PA=4kW，Pc=2kW。已知：轴的许用应力[]=60MPa，许用的单位长度扭转角[]=1°/m，切变模量G=80GPa，试设计轴的直径d。解：1）计算外力偶矩并绘扭矩图2）按强度条件设计轴的直径选第三强度理论max12maxTmaxWpTmaxπd163112[]T183.6 Nmmax162Tmax332183.6d1331.3 mm6π[]π6010第12章杆件的强度与刚度计算12-3 扭转杆件的强度与刚度计算例4一钢制传动轴如图所示，转速n=208rpm，主动轮B的输入功率PB=6kW，两个从动轮A、C的输出功率分别为PA=4kW，Pc=2kW。已知：轴的许用应力[]=60MPa，许用的单位长度扭转角[]=1°/m，切变模量G=80GPa，试设计轴的直径d。解：1）计算外力偶矩并绘扭矩图2）按强度条件设计轴的直径d131.3 mm3）按刚度条件设计轴的直径Tmax180Tmax180max[]4πd2GIpππG3232180Tmax432180183.6d2434 mm229πG[]π80101T183.6 Nmmax第12章杆件的强度与刚度计算12-3 扭转杆件的强度与刚度计算例4一钢制传动轴如图所示，转速n=208rpm，主动轮B的输入功率PB=6kW，两个从动轮A、C的输出功率分别为PA=4kW，Pc=2kW。已知：轴的许用应力[]=60MPa，许用的单位长度扭转角[]=1°/m，切变模量G=80GPa，试设计轴的直径d。解：1）计算外力偶矩并绘扭矩图2）按强度条件设计轴的直径d131.3 mm3）按刚度条件设计轴的直径d234 mm选取T183.6 Nmmaxdmaxd1 ， d234 mm第12章杆件的强度与刚度计算12-4 弯曲杆件的强度与刚度计算强度条件：纯弯曲xmaxMzIzy[]maxxmaxMz[]Wzmax第12章杆件的强度与刚度计算12-4 弯曲杆件的强度与刚度计算强度条件：剪力弯曲正应力强度条件xmaxMzIzy[]max切应力强度条件xymaxFsSzmaxyIzb或 xymaxkxy[]maxmax[]第12章杆件的强度与刚度计算12-4 弯曲杆件的强度与刚度计算强度条件：刚度条件：vmax[v]max[]第12章杆件的强度与刚度计算12-4 弯曲杆件的强度与刚度计算例1T字形截面铸铁梁，材料拉伸、压缩时的许用应力分 []c60MPa ,截面尺寸如图所示，试校核别为[]t30MPa 、梁的强度。解：1）求形心、惯性矩（略）y1 52mm ， y288mmIz7.10 m2）绘弯矩图B截面是危险截面MBIzMBIzMB 4 kNm3）求B截面最大拉、压应力xBCBxt410352103y127MPa-67.10410388103y246.1MPa-67.10第12章杆件的强度与刚度计算12-4 弯曲杆件的强度与刚度计算例1T字形截面铸铁梁，材料拉伸、压缩时的许用应力分 []c60MPa ,截面尺寸如图所示，试校核别为[]t30MPa 、梁的强度。解：y 52mm ， y88mm12Iz7.10 mBxCBxtMBIzMBIz410352103y127MPa-67.10410388103y246.1MPa-67.10C截面与B截面相比，弯矩变号，截面又不对称于中性轴，故C截面可能有最大拉应力。4）求C截面的最大拉应力CxtMCIz2.5108810y27.10-63328.8MPa第12章杆件的强度与刚度计算12-4 弯曲杆件的强度与刚度计算例1T字形截面铸铁梁，材料拉伸、压缩时的许用应力分 []c60MPa ,截面尺寸如图所示，试校核别为[]t30MPa 、梁的强度。B解：xt27MPaBxC46.1MPa28.8MPaCxt5）校核梁的强度xtmaxCx28.8MPa[]t30 MPatBx46.1MPa[]c60 MPaCxCmax满足正应力强度条件第12章杆件的强度与刚度计算12-4 弯曲杆件的强度与刚度计算例2卷扬机滚筒心轴，材料为45号钢,结构和受力如图,若F25.3kN,[]100MPa ，试校核心轴的强度。解：1）简化成简支梁，作弯矩图FA23.6kN ， FB27kN1截面弯矩最大，是危险截面。2、3截面弯矩虽小，但抗弯截面模量也小，故可能也是危险截面。2）求1、2、3截面的应力M1320.2FAx156.1MPa 3W1π0.095x2M232(0.20.11/2)FA56.8MPa 3W2π0.085第12章杆件的强度与刚度计算12-4 弯曲杆件的强度与刚度计算例2卷扬机滚筒心轴，材料为45号钢,结构和受力如图,若F25.3kN,[]100MPa ，试校核心轴的强度。解：1）简化成简支梁，作弯矩图FA23.6kN ， FB27kN2）求1、2、3截面的应力M1320.2FAx156.1MPa 3W1π0.095M232(0.20.11/2)FAx256.8MPa 3W2π0.085M3x3W332[FA(0.20.11/2)F0.11/2] π0.0883 69.2MPa 第12章杆件的强度与刚度计算12-4 弯曲杆件的强度与刚度计算例2卷扬机滚筒心轴，材料为45号钢,结构和受力如图,若F25.3kN,[]100MPa ，试校核心轴的强度。解：1）简化成简支梁，作弯矩图2）求1、2、3截面的应力x156.1MPa x256.8MPa x369.2MPa 3）校核强度xmaxx369.2MPa []100MPa满足强度条件第12章杆件的强度与刚度计算12-4 弯曲杆件的强度与刚度计算例3工字形截面悬臂梁，如图所示。已知l=240mm，F=80kN，材料的许用应力[]=210MPa。要求按形变应变能理论全面校核梁的强度。解：1）计算截面惯性矩Iz 1001031501012339m34(1005)1013010912m107310m4842）作剪力、弯矩图FsymaxFsyF80 kNMzmaxMzAFl19.2 kNm3）校核A截面点①的强度maxMzmaxIz19.210375103y134.2MPa[]8107310第12章杆件的强度与刚度计算12-4 弯曲杆件的强度与刚度计算例3工字形截面悬臂梁，如图所示。已知l=240mm，F=80kN，材料的许用应力[]=210MPa。要求按形变应变能理论全面校核梁的强度。Mz19.2 kNm解：Fsymax80 kNmax4）校核A截面点③的强度max*Szmax*FsymaxSzmaxbIz652)10m93(10100705658.05610m353 max8480108.05610Nm510353107310m1385Iz107310m 120MPa[σ]121MPa第12章杆件的强度与刚度计算12-4 弯曲杆件的强度与刚度计算例3工字形截面悬臂梁，如图所示。已知l=240mm，F=80kN，材料的许用应力[]=210MPa。要求按形变应变能理论全面校核梁的强度。Mz19.2 kNm解：Fsymax80 kNmax5）校核A截面点②的强度19.210365103xyPa116.3MPa8Iz107310FSySz*801031010070109xyPa38bIz510107310Mzmax 104.4MPa2r4x23xyIz107310m84 116.323104.42Pa 215MPa[]未超过许用应力5%，所以可认为②点基本是安全的。第12章杆件的强度与刚度计算12-4 弯曲杆件的强度与刚度计算例4工字钢制成的简易吊车梁如图所示，起重量50kN。材料的许用应力[]=160MPa，[]=96MPa，试选择工字钢的钢号。解：1）作剪力、弯矩图2）确定危险截面、最大内力x0 ， FsyAFsymax50kNx12 ， FsyBFsymax50kNx6 ， MzmaxMzC150kNm3）按正应力强度条件选择钢号x3M150103MzCzCW469cmz[] （吊车有两根梁）62[]2160102Wzmax3W501cm查表，选32b工字钢，其z第12章杆件的强度与刚度计算12-4 弯曲杆件的强度与刚度计算例4工字钢制成的简易吊车梁如图所示，起重量50kN。材料的许用应力[]=160MPa，[]=96MPa，试选择工字钢的钢号。解：1）作剪力、弯矩图2）确定危险截面、最大内力x0 ， FsyAFsymax50kNx12 ， FsyBFsymax50kNx6 ， MzmaxMzC150kNm3）按正应力强度条件选择钢号max4）校核梁的剪切强度查表，得到32b工字钢的其他数据FsymaxSzmax2IzbFsymax2dIz/Szmax （两根梁）Iz/Szmax27.1 cmd11.5 mm50103 227.110211.5103满足剪切强度 10MPa[]第12章杆件的强度与刚度计算12-4 弯曲杆件的强度与刚度计算 F21kN，D=80mm,例5机床主轴如图所示，F12kN ，d=40mm,E=200GPa,许可变形为：C处[vc]0.04mm，B3处[B]10rad，试校核其刚度。解：1）计算截面惯性矩π4444I(Dd)18810 mm2）叠加法求B、vCvCF2BF2BC0.26510mm2F2lBF216EI 0.265104 rad2BF1F1la40.710rad3EIF1avCF1(la)3EI2 0.88510rad2第12章杆件的强度与刚度计算12-4 弯曲杆件的强度与刚度计算 F21kN，D=80mm,例5机床主轴如图所示，F12kN ，d=40mm,E=200GPa,许可变形为：C处[vc]0.04mm，B3处[B]10rad，试校核其刚度。解：BF0.26510 rad4BF10.710rad24vCF20.26510mm2vCF10.88510rad2vCvCF2vCF10.0062[vC]BBFBF0.43510[B]214满足刚度条件第12章杆件的强度与刚度计算12-5 复杂内力时杆件的强度计算例1矩形截面悬臂梁，如图所示，截面尺寸为h=80mm，b=60mm。梁长l=1m，自由端作用一集中力F=5kN。F垂直轴线x，沿截面对角线方向，与y轴夹角为。若材料的许用应力[]=160MPa，试确定最大正应力点的位置，并校核梁的强度。解：1）分解外力FyFcos540304022kN4kNFzFsin530302402kN3kN Fz力作用下的弯矩图2）作Fy 、最大弯矩均在固定端处截面Mzmax Fyl ， MymaxFzl第12章杆件的强度与刚度计算12-5 复杂内力时杆件的强度计算例1矩形截面悬臂梁，如图所示，截面尺寸为h=80mm，b=60mm。梁长l=1m，自由端作用一集中力F=5kN。F垂直轴线x，沿截面对角线方向，与y轴夹角为。若材料的许用应力[]=160MPa，试确定最大正应力点的位置，并校核梁的强度。解：Fy4kN ， Fz3kN最大正应力必发生在固定端处截面的某一凸角点上。3）应力分析，找出危险点根据两个平面弯曲在固定端截面上的应力分布，可知，最大拉应力和最大压应力分别在固定端截面的角点e和f第12章杆件的强度与刚度计算12-5 复杂内力时杆件的强度计算例1矩形截面悬臂梁，如图所示，截面尺寸为h=80mm，b=60mm。梁长l=1m，自由端作用一集中力F=5kN。F垂直轴线x，沿截面对角线方向，与y轴夹角为。若材料的许用应力[]=160MPa，试确定最大正应力点的位置，并校核梁的强度。解：Fy4kN ， Fz3kN点e和f 分别处于单向拉应力和单向压应力状态，应力绝对值相等。maxMyhb2bh2663103110316 PaPa8060210960802109 125MPa[]安全WymaxMzWzmaxFzlFyl第12章杆件的强度与刚度计算12-5 复杂内力时杆件的强度计算例2皮带传动轴如图所示。B轮皮带拉力为水平方向，C轮皮带拉力为铅垂方向。已知B轮直径DB=400mm，C轮直径DC=320mm，轴的直径d=22mm,材料的许用应力[]=80MPa，试按最大切应力理论校核轴的强度。解：1)简化成力学模型2)水平集中力引起的弯矩MyB5120.151.2NmMyC880.87Nm3)铅垂集中力引起的弯矩MzB88.20.18.82NmMzC88.20.652.9Nm4) 集中力偶引起的扭矩T40Nm第12章杆件的强度与刚度计算12-5 复杂内力时杆件的强度计算例2皮带传动轴如图所示。B轮皮带拉力为水平方向，C轮皮带拉力为铅垂方向。已知B轮直径DB=400mm，C轮直径DC=320mm，轴的直径d=22mm,材料的许用应力[]=80MPa，试按最大切应力理论校核轴的强度。5)求合弯矩，确定危险截面圆截面，不发生斜弯曲。MB8.82251.2252NmMC52.927253.4Nm6）校核强度（C是危险截面）r3 1W2MCT232π0.022353.440Pa22 .1MPa[]80MPa安全第12章杆件的强度与刚度计算12-6 提高构件强度与刚度的一些措施•提高构件强度的措施考虑下述各强度条件的表达式轴向拉伸与压缩扭转弯曲FNmaxAmax[]maxTmax[]WtMzmaxWz[]不可行可行可行max措施1——选用优质材料，提高许用应力措施2——尽可能减小最大内力措施3——保持横面积不变，尽可能增大截面模量第12章杆件的强度与刚度计算12-6 提高构件强度与刚度的一些措施•提高构件强度的措施一、载荷不减小，尽可能地减小最大内力1. 载荷的合理布局2. 支座的合理布局二、合理截面：截面面积与其模量之比尽可能的小三、等强度设计以弯曲梁为例，令Mzmax(x)max[]Wz(x)则Wz(x)Mzmax(x)[]第12章杆件的强度与刚度计算12-6 提高构件强度与刚度的一些措施Mz(x)Wz(x)[]1）等高度矩形截面等强度简支梁第12章杆件的强度与刚度计算12-6 提高构件强度与刚度的一些措施Mz(x)Wz(x)[]1）等高度矩形截面等强度简支梁第12章杆件的强度与刚度计算12-6 提高构件强度与刚度的一些措施Mz(x)Wz(x)[]2）等宽度矩形截面等强度简支梁第12章杆件的强度与刚度计算12-6 提高构件强度与刚度的一些措施•提高构件刚度的措施考虑下述各刚度条件的表达式或变形公式轴向拉伸与压缩扭转弯曲FNldxlEAmaxTmax180[]GIpπMzmax1EImaxz一、载荷不减小，尽可能地减小最大内力二、合理截面：截面面积与其模量之比尽可能的小第12章杆件的强度与刚度计算12-6 提高构件强度与刚度的一些措施•提高构件刚度的措施一、载荷不减小，尽可能地减小最大内力二、合理截面：截面面积与其模量之比尽可能的小三、增设约束以工程中车削细长轴为例第12章杆件的强度与刚度计算12-6 提高构件强度与刚度的一些措施•提高构件刚度的措施三、增设约束以工程中车削细长轴为例轴侧方向俯视方向第12章杆件的强度与刚度计算12-6 提高构件强度与刚度的一些措施•提高构件刚度的措施三、增设约束以工程中车削细长轴为例增加尾座顶针轴侧方向俯视方向第12章杆件的强度与刚度计算12-6 提高构件强度与刚度的一些措施•提高构件刚度的措施三、增设约束以工程中车削细长轴为例再增加中心架轴侧方向俯视方向