2021年河南省郑州市高考数学第二次质量预测试卷（理科）
（二模）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A＝{x∈N|2＜x＜6}，B＝{x|log2（x﹣1）＜2}，则A∩B＝（ ） A．{x|3≤x＜5} 2．（5分）若复数A．﹣2
B．{x|2＜x＜5}
C．{3，4}
D．{3，4，5}
（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则a的值为（ ） B．
C．﹣
D．2
3．（5分）如图是某统计部门网站发布的《某市2020年2～12月国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格指数（CPI）月度涨跌幅度折线图（注：同比是今年第n个月与去年第n个月相比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期相比）
下列说法错误的是（ ）
①2020年9月CPI环比上升0.5%，同比上涨2.1% ②2020年9月CP1环比上升0.2%，同比无变化 ③2020年3月CPI环比下降1.1%，同比上涨0.2% ④2020年3月CPI环比下降0.2%，同比上涨1.7% A．①③
B．①④
C．②④
D．②③
4．（5分）函数f（x）＝sinxln在（﹣π，π）的图象大致为（ ）
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A．
B．
C．
D．
5．（5分）Sn是公比不为1的等比数列{an}的前n项和，S9是S3和S6的等差中项，则＝（ ） A．
B．
C．
D．
6．（5分）已知x，y满足，则z＝2x+4y的取值范围是（ ）
A．[0，4] B．[4，6] C．[0，6] D．[6，8]
7．（5分）已知实数a，b，c满足lna＝eb＝，则下列不等式中不可能成立的是（ ） A．a＞b＞c
B．a＞c＞b C．c＞a＞b
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D．c＞b＞a
8．（5分）关于函数f（x）＝|sin（2x﹣A．f（x）的值域为[0，
]
）+cos（2x﹣）|（ ）
B．f（x）是以π为最小正周期的周期函数 C．f（x）在[0，π]上有两个零点 D．f（x）在区间[
，
]上单调递减
9．（5分）元宵节是中国传统佳节，放烟花、吃汤圆、观花灯是常见的元宵活动．某社区计划举办元宵节找花灯活动，准备在3个不同的地方悬挂5盏不同的花灯（同一地方的花灯不考虑位置的差别），且人物灯不能挂在同一个地方，则不同的悬挂方法种数有（ ） A．114
B．92
﹣
C．72 D．42
10．（5分）已知函数f（x）＝2x4+ex+ex﹣1，若不等式f（1+ax）＜f（2+x2）对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A．（﹣2
，2）
B．（﹣2
，2
） C．（﹣2，2
）
D．（﹣2，2）
11．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的各个顶点都在球O的表面上，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AC＝8，D是线段AB上一点，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为28π，则球O的表面积为（ ） A．128π
B．132π
C．144π
D．156π
12．（5分）已知梯形ABCD中，以AB中点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．|AB|＝2|CD|，点E在线段AC上，且点，则该双曲线的离心率为（ ）
＝
，B为焦点的双曲线过C、D、E三
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）函数f（x）＝ln（x+1）+x2ex的图象在点（0，f（0））处的切线方程为 ． 14．（5分）已知向量与的夹角为60°，||＝3，|，则2﹣在方向上的投影为 ． 15．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC的平分线交AC于
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点D．若a+4c的最小值为9，则BD＝ ．
16．（5分）已知a＞0，不等式（x+1）1aex+1﹣aln（x+1）≥0对任意的x∈（0，+∞）恒成
﹣
立 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若bn＝（﹣1）n+1
，数列{bn}的前n项和为Tn，求T2021．
．
18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，AP＝PD＝DC＝CB＝1，AB＝2，平面PAD⊥平面ABCD． （Ⅰ）求证：PB＝PC；
（Ⅱ）求直线PA与平面PCD所成角的正弦值．
19．（12分）已知椭圆C：
＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为
A，点D（1，）是椭圆C上一点． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l过椭圆右焦点F2且与椭圆交于P、Q两点，直线AP、AQ与直线x＝4分别交于M，N．
（ⅰ）求证：M，N两点的纵坐标之积为定值； （ⅱ）求△AMN面积的最小值．
20．（12分）已知某生产线的生产设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸X（单位：mm）服从正态分布N（280，25）．
（Ⅰ）从该生产线生产的零件中随机抽取10个，求至少有一个尺寸小于265mm的概率； （Ⅱ）为了保证生产线正常运行，需要对生产设备进行维护，包括日常维护和故障维修，每一年为一个维护周期，每个周期内日常维护费为5000元，则不会产生故障维修费；若
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生产设备不能连续运行，还会产生一次故障维修费．已知故障维修费第一次为2000元，此后每增加一次则故障维修费增加2000元．假设每个维护周期互相独立．求该生产设备运行的四年内生产维护费用总和Y的分布列与数学期望．
参考数据：若Z～N（μ，σ2），则P（p﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ），P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974，0.998710≈0.9871． 21．（12分）已知函数f（x）＝xex﹣alnx﹣e．
（Ⅰ）当a＝2e时，不等式f（x）≥mx﹣m在[1，求实数m的取值范围； （Ⅱ）若a＞0，f（x）最小值为g（a），求g（a）
(二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是α∈[0，＝4
（t是参数，
）），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系2的极坐标方程是ρ
）﹣2cosθ．
sin（
（Ⅰ）写出曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C1与C2有且仅有一个公共点，求sin2α﹣sinαcosα的值． [选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+a|（a＞0）． （Ⅰ）若a＝1，求不等式f（x）≥5的解集；
（Ⅱ）若f（x）≥a2﹣2a+4恒成立，求实数a的取值范围．
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2021年河南省郑州市高考数学第二次质量预测试卷（理科）
（二模）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A＝{x∈N|2＜x＜6}，B＝{x|log2（x﹣1）＜2}，则A∩B＝（ ） A．{x|3≤x＜5}
B．{x|2＜x＜5}
C．{3，4}
D．{3，4，5}
【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可． 【解答】解：∵A＝{3，4，2}， ∴A∩B＝{3，4}． 故选：C．
【点评】本题考查了描述法和列举法的定义，对数函数的定义域和单调性，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题． 2．（5分）若复数A．﹣2
（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则a的值为（ ） B．
C．﹣
D．2
【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，实部为0，即可求出a的值． 【解答】解：复数故选：B．
【点评】本题是基础题，考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，常考题型．
3．（5分）如图是某统计部门网站发布的《某市2020年2～12月国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格指数（CPI）月度涨跌幅度折线图（注：同比是今年第n个月与去年第n个月相比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期相比）
＝
＝
，它是纯虚数，a＝
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下列说法错误的是（ ）
①2020年9月CPI环比上升0.5%，同比上涨2.1% ②2020年9月CP1环比上升0.2%，同比无变化 ③2020年3月CPI环比下降1.1%，同比上涨0.2% ④2020年3月CPI环比下降0.2%，同比上涨1.7% A．①③
B．①④
C．②④
D．②③
【分析】根据折线图数据，经数据分析可得结果．
【解答】解：根据折线图（下图）可得，其中上一条折线为月度同比折线图，
所以根据数据可得，9月份月度环比比上年上涨0.3%，故①正确； 根据数据可得，3月份月度环比比上年下降0.3%，故④正确； 因此②③错误． 故选：D．
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【点评】本题考查折线图中数据分析，属于基础题． 4．（5分）函数f（x）＝sinxln
在（﹣π，π）的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
）的值，排除D，即
【分析】根据题意，先分析函数的奇偶性，排除BC，再求出f（可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝sinxlnf（﹣x）＝sin（﹣x）ln
＝sinxln
，π），
，则f（x）在区间（﹣π，排除BC，
又由f（）＝sin＝ln，排除D，
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故选：A．
【点评】本题考查函数的图象分析，一般用排除法分析，注意分析函数的奇偶性以及单调性，属于基础题．
5．（5分）Sn是公比不为1的等比数列{an}的前n项和，S9是S3和S6的等差中项，则＝（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】由已知结合等差数列的性质及等比数列的前n项和列式求得公比，即可求得的值．
【解答】解：∵S9是S3和S4的等差中项， ∴S3+S6＝3S9，
∵Sn是公比不为1的等比数列{an}的前n项和， ∴
整理得，q3（2q3﹣q3﹣1）＝7，
∵q≠0，∴2q5﹣q3﹣1＝2，则（2q3+7）（q3﹣1）＝3， 又∵q≠1，∴2q6+1＝0，解得
，
，
，
则＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查等比数列的前n项和，考查等差数列的性质，考查运算求解能力，是中档题．
6．（5分）已知x，y满足，则z＝2x+4y的取值范围是（ ）
A．[0，4] B．[4，6] C．[0，6] D．[6，8]
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用平移法进行求解即可．
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【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z＝2x+4y得y＝﹣x+，
平移直线y＝﹣x+，直线的截距最大， 此时x+5y＝3，即z＝2x+8y＝6， 经过点C（2，8）时，此时z最小， 即4≤z≤6，
即z的取值范围是[5，6]， 故选：B．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，作出可行域，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键，是基础题．
7．（5分）已知实数a，b，c满足lna＝eb＝，则下列不等式中不可能成立的是（ ） A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．c＞b＞a
【分析】当a＝e时，b＝0，c＝1，此时a＞c＞b；当a＝e3时，b＝ln3∈（1，2），c＝∈（0.5，1），此时a＞b＞c；当b＝﹣1时，c＝e，a＝D不可能成立．
【解答】解：∵实数a，b，c满足lna＝eb＝， ∴eb＞0，∴a＞7，
当a＝e时，b＝0，此时a＞c＞b；
当a＝e3时，b＝ln2∈（1，c＝，1），故A可能成立；
，此时，c＞a＞b；由排除法得
当b＝﹣1时，c＝e，此时，故C可能成立；
∴由排除法得D不可能成立． 故选：D．
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【点评】本题考查三个数的大小的判断，涉及到指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题． 8．（5分）关于函数f（x）＝|sin（2x﹣A．f（x）的值域为[0，
]
）+cos（2x﹣
）|（ ）
B．f（x）是以π为最小正周期的周期函数 C．f（x）在[0，π]上有两个零点 D．f（x）在区间[
，
]上单调递减
【分析】A对函数恒等变形，求出函数值域判断；B求出函数最小正周期判断；C求出一下周期内零点个数判断；D根据区间长度大小周期一半判断． 【解答】解：f（x）＝|sin（2x﹣
）|，
对于A，f（x）的值域为[0，对于B，f（x）的最小正周期为
]，
]，所以A错； ）+cos（2x﹣
）+sin5x|＝|2sin（2x﹣
|＝|
，所以B错；
，f（0）≠0，π]上有两个零点；
，所以f（x）在区间[
，
，所以D错．
对于C，因为f（x）一个周期（0，对于D，因为区间故选：C．
，
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数的恒等变形，考查了三角函数的基本性质，属于中档题．
9．（5分）元宵节是中国传统佳节，放烟花、吃汤圆、观花灯是常见的元宵活动．某社区计划举办元宵节找花灯活动，准备在3个不同的地方悬挂5盏不同的花灯（同一地方的花灯不考虑位置的差别），且人物灯不能挂在同一个地方，则不同的悬挂方法种数有（ ） A．114
B．92
C．72
D．42
【分析】根据题意，分2步分析：①将5盏不同的灯分为3组，要求两盏人物灯不在同一组，②将分好的三组全排列，安排到3个不同的地方，由分步计数原理计算可得答案． 【解答】解：根据题意，分2步分析：
①将5盏不同的灯分为6组，要求两盏人物灯不在同一组， 若分为3、1、6的三组53﹣C71＝7种分组方法，
第11页（共25页）
若分为4、2、1的三组，有则有7+12＝19种分组方法，
2
2＝12
种分组方法，
②将分好的三组全排列，安排到5个不同的地方33＝3种情况， 则有19×6＝114种安排方法， 故选：A．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题． 10．（5分）已知函数f（x）＝2x4+ex+ex﹣1，若不等式f（1+ax）＜f（2+x2）对任意x∈R恒
﹣
成立，则实数a的取值范围是（ ） A．（﹣2
，2）
B．（﹣2
，2
） C．（﹣2，2
）
D．（﹣2，2）
【分析】利用偶函数的定义判断出函数f（x）为偶函数，然后利用导数判断出函数f（x）的单调性，由此将不等式进行转化，结合一元二次不等式恒成立，进行求解即可． 【解答】解：函数f（x）＝2x4+ex+ex﹣4，
﹣
所以f（﹣x）＝2（﹣x）4+ex+ex﹣3＝f（x），
﹣
故函数f（x）为偶函数， 故当x＞0时，f'（x）＝8x2+ex﹣e故f'（x）＞f'（0）＝0，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，
则不等式f（2+ax）＜f（2+x2）对任意x∈R恒成立， 等价于不等式f（|5+ax|）＜f（|2+x2|）对任意x∈R恒成立，
即|8+ax|＜|2+x2|对任意x∈R恒成立，即|2+ax|＜2+x2对任意x∈R恒成立， 所以﹣8﹣x2＜1+ax＜5+x2对任意x∈R恒成立， 则
对任意x∈R恒成立，
﹣x
单调递增，
所以，解得﹣2＜a＜2，
所以实数a的取值范围是（﹣8，2）． 故选：D．
【点评】本题考查了导数与不等式的综合应用，主要考查了函数奇偶性与单调性，考查了逻辑推理能力，属于中档题．
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11．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的各个顶点都在球O的表面上，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AC＝8，D是线段AB上一点，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为28π，则球O的表面积为（ ） A．128π
B．132π
C．144π
D．156π
【分析】设面ABC所截的截面圆的圆心为O'，外接球的球心为O，利用三角形外接圆的几何性质以及球的几何性质，分别求出截面圆面积的最小值和最大值，从而求出外接球的半径，由球的表面积公式求解即可． 【解答】解：因为AB⊥AC，AB＝6， 所以
，
设面ABC所截的截面圆的圆心为O'，外接球的球心为O， 则O'为BC的中点，且OO'⊥平面ABC， 则有O'A＝O'B＝O'C＝
，
，
取AB的中点E，连结O'E，则O'E＝因为AD＝5DB，AB＝8，所以DE＝6， 所以
，
设OO'＝x，则有OD2＝O'D2+OO'2＝20+x3， 则球的半径R2＝O'A2+x6＝52+x7＝25+x2， 故与OD垂直的截面圆的半径所以截面圆面积的最小值为πr2＝5π， 截面圆面积的最大值为πR4，
由题意可得πR2﹣5π＝28π，解得R5＝33， 所以球的表面积为S＝4πR2＝132π． 故选：B．
，
第13页（共25页）
【点评】本题考查了三棱锥的外接球问题，解题的关键是掌握棱锥的几何性质以及球的几何性质，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
12．（5分）已知梯形ABCD中，以AB中点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．|AB|＝2|CD|，点E在线段AC上，且点，则该双曲线的离心率为（ ）
＝
，B为焦点的双曲线过C、D、E三
A．
B．
C．），
D．
【分析】利用题中的条件分析可C（
【解答】解：设双曲线方程为，由题中的条件可知|CD|＝c，
设C（），A（﹣c，E（x，∴，，
∴，…①
由＝，可得，
点E的坐标满足双曲线方程，所以联立①②可得故选：B．
第14页（共25页）
，
【点评】本题考查了直线与双曲线的综合问题，向量共线，学生的数学运算能力，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）函数f（x）＝ln（x+1）+x2ex的图象在点（0，f（0））处的切线方程为 x﹣y＝0 ．
【分析】求导函数，可得切线斜率，求出切点坐标，运用点斜式方程，即可求出函数y＝f（x）图象在点（0，f（0））处的切线方程； 【解答】解：∵f（x）＝ln（x+1）+x2ex， ∴f′（x）＝又f（0）＝0，
∴函数y＝f（x）图象在点（6，0）处的切线方程为：y﹣0＝x， 即函数y＝f（x）图象在点（5，0）处的切线方程为y＝x； 故答案为：x﹣y＝0．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，切线方程的求法，是基础题． 14．（5分）已知向量与的夹角为60°，||＝3，|，则2﹣在方向上的投影为 ﹣3 ．
【分析】根据2﹣在方向上的投影为解即可．
【解答】解：向量与的夹角为60°，|，||＝6，
，然后根据向量数量积公式进行求
+2xex+x2ex，则f′（0）＝1，
可得2﹣在方向上的投影为：故答案为：﹣3．
＝＝．
【点评】本题主要考查了平面向量数量积的性质及其运算，以及一个向量在另一个向量方向上的投影，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．
15．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC的平分线交AC于点D．若a+4c的最小值为9，则BD＝ 【分析】由已知利用三角形的面积公式可得
第15页（共25页）
．
＝1，利用基本不等式即可求解．
【解答】解：如图，∠ABC的平分线交AC于点D， 所以∠ABD＝∠CBD＝45°， 所以S△ABC＝acsin90°＝可得2ac＝可得所以a+4c＝a+4c＝
BD（
． ．
+
c•BD+
，
a•BD•sin45°，
＝6，
•BD， BD•（
）＝
，当且仅当a＝2c时取等号，
所以BD＝故答案为：
【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
16．（5分）已知a＞0，不等式（x+1）1aex+1﹣aln（x+1）≥0对任意的x∈（0，+∞）恒成
﹣
立 （0，e] ．
【分析】先将不等式利用换元法进行变形，转化为tet≥talnta对t＞1恒成立，然后构造函数f（t）＝tet，t＞1，利用单调性将不等式进一步转化为
对t＞1恒成立，令
，利用导数研究函数g（t）的性质，求出其最值，即可得到a的取值范围．
【解答】解：不等式（x+1）1aex+5﹣aln（x+1）≥0对任意的x∈（6，+∞）恒成立，
﹣
令t＝x+1，则t＞17aet﹣alnt≥0对t＞1恒成立，
﹣
变形可得不等式tet≥talnta对t＞8恒成立，
令f（t）＝tet，t＞1，则不等式等价于f（t）≥f（lnta）对t＞1恒成立， f'（t）＝（t+2）et，当t＞1时，f'（t）＞0， 所以不等式转化为t≥lnta对t＞8恒成立，即
第16页（共25页）
对t＞1恒成立，
令，所以，解得t＝e，
当1＜t＜e时，g'（t）＜0， 当t＞e时，g'（t）＞4，
所以当t＝e时，g（t）取得最小值g（e）＝e， 所以a≤e，又a＞0，
所以实数a的取值范围为（0，e]． 故答案为：（4，e]．
【点评】本题考查了函数与不等式的应用，主要考查不等式恒成立问题，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于中档题．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若bn＝（﹣1）n+1
，数列{bn}的前n项和为Tn，求T2021．
．
【分析】（Ⅰ）将已知等式中的n换为n﹣1，两式相减，结合等差数列的通项公式，可得所求；
（Ⅱ）求得bn＝（﹣1）n+1计算可得所求和．
【解答】解：（Ⅰ）由a1＝1，Sn＝可得n≥2时，Sn﹣5＝
，②
﹣
， ，①
＝（﹣1）n+1（+
），由数列的裂项相消求和，
由①﹣②可得an＝Sn﹣Sn﹣5＝化为（n﹣1）an＝nan﹣3， 即
＝
＝…＝
，
可得an＝n，
第17页（共25页）
上式对n＝1也成立，
则数列{an}的通项公式为an＝n，n∈N*； （Ⅱ）bn＝（﹣5）n+1
＝（﹣1）n+5
＝（﹣1）n+1（+
），
所以T2021＝（5+）﹣（+＝1+
＝
．
+）﹣…+（+）
【点评】本题考查数列的递推式的运用，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，AP＝PD＝DC＝CB＝1，AB＝2，平面PAD⊥平面ABCD． （Ⅰ）求证：PB＝PC；
（Ⅱ）求直线PA与平面PCD所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）设AD，BC的中点分别为O，E，连结PO，OE，EP，利用中位线定理得到BC⊥OE，由面面垂直的性质定理可证PO⊥平面ABCD，再由线面垂直的判定定理可证明BC⊥平面PEO，由此证明BC⊥PE，结合E为BC的中点，即可证明PB＝PC； （Ⅱ）建立空间直角坐标系，然后求出所需点的坐标，求出直线的方向向量，再利用待定系数法求出平面PCD的法向量，由向量的夹角公式求解即可． 【解答】（Ⅰ）证明：设AD，BC的中点分别为O，E，OE， 则OE为直角梯形ABCD的中位线，故BC⊥OE，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD， 又BC⊂平面ABCD，所以PO⊥BC， 又PO∩OE＝O，PO，所以BC⊥平面PEO， 又PE⊂平面PEO，所以BC⊥PE， 又E为BC的中点，所以PB＝PC；
（Ⅱ）解：在AB上取一点F，使得AB＝4AF，OE， 以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
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则所以
设平面PCD的法向量为
，
，
，
则有，
令z＝﹣1，则y＝5，故，
所以，
故直线PA与平面PCD所成角的正弦值为．
【点评】本题考查了面面垂直的判定定理以及线面垂直的判定定理和性质定理的应用，线面角的求解，在求解空间角的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题． 19．（12分）已知椭圆C：
＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为
A，点D（1，）是椭圆C上一点． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l过椭圆右焦点F2且与椭圆交于P、Q两点，直线AP、AQ与直线x＝4分别交于M，N．
（ⅰ）求证：M，N两点的纵坐标之积为定值；
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（ⅱ）求△AMN面积的最小值．
【分析】（Ⅰ）由点D（1，）是椭圆C上一点，离心率为，列方程组，解得a，b，进而得出答案．
（Ⅱ）（ⅰ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为x＝my+1，联立椭圆的方程，解得韦达定理可得y1+y2，y1y2，写出直线AP的方程，令x＝4，解得yM＝
，同理
可得yN＝，再计算yMyN，即可得出答案．
（ⅱ）S△AMN＝•6•|yM﹣yN|＝3|yM+|，利用基本不等式，即可得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知
，解得a3＝4，b2＝5，
所以椭圆C的方程为+＝1．
（Ⅱ）（ⅰ）设直线l的方程为x＝my+7，
联立
，得（3m2+7）y2+6my﹣8＝0，
设P（x1，y3），Q（x2，y2）， 所以y7+y2＝
，y6y2＝
，
直线AP的方程为y＝（x+8），
令x＝4得yM＝，同理可得yN＝，
所以yMyN＝＝
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＝＝＝﹣9．
（ⅱ）S△AMN＝•6•|yM﹣yN|＝3|yM+|≥3•2．
当且仅当yM＝3，yN＝﹣3或yM＝﹣5，yN＝3时等号成立．
【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属难题．
20．（12分）已知某生产线的生产设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸X（单位：mm）服从正态分布N（280，25）．
（Ⅰ）从该生产线生产的零件中随机抽取10个，求至少有一个尺寸小于265mm的概率； （Ⅱ）为了保证生产线正常运行，需要对生产设备进行维护，包括日常维护和故障维修，每一年为一个维护周期，每个周期内日常维护费为5000元，则不会产生故障维修费；若生产设备不能连续运行，还会产生一次故障维修费．已知故障维修费第一次为2000元，此后每增加一次则故障维修费增加2000元．假设每个维护周期互相独立．求该生产设备运行的四年内生产维护费用总和Y的分布列与数学期望．
参考数据：若Z～N（μ，σ2），则P（p﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ），P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974，0.998710≈0.9871．
【分析】（Ⅰ）由正态分布曲线的特点求出P（X＜265），由对立事件的概率公式即可求解；
（Ⅱ）Y的所有可能取值为20000，22000，24000，26000，28000，分别求出对应的概率，即可得分布列及数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）因为X～N（280，25）， 则μ＝280，σ＝5， 所以P（X＜265）＝
＝0.0013，
所以从该生产线生产的零件中随机抽取10个，至少有一个尺寸小于265mm的概率为： P＝2﹣（1﹣0.0013）10＝5﹣0.998710≈0.0129．
（Ⅱ）由题意可得Y的所有可能取值为20000，22000，26000，
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P（Y＝20000）＝P（Y＝22000）＝P（Y＝26000）＝P（Y＝32000）＝P（Y＝40000）＝所以Y的分布列为：
Y P
＝××××
＝
， ＝××＝，
＝， ，
，
20000
22000
+22000×
26000
+32000×
232000
40000
＝22750．
数学期望E（Y）＝20000×
【点评】本题主要考查正态分布，离散型随机变量的分布列和数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝xex﹣alnx﹣e．
（Ⅰ）当a＝2e时，不等式f（x）≥mx﹣m在[1，求实数m的取值范围； （Ⅱ）若a＞0，f（x）最小值为g（a），求g（a）
【分析】（Ⅰ）代入a的值，令u（x）＝f（x）﹣mx+m，求出函数的导数，根据函数的单调性求出m的取值范围即可；
（Ⅱ）求出a＝ex（x2+x），令h（x）＝ex（x2+x），根据函数的单调性求出f（x）的最小值是g（a）＝x0
﹣
（
+x0）lnx0﹣e，令F（x0）＝x0
﹣
（
+x0）lnx0
﹣e，根据函数的单调性求出F（x0）的最大值，从而求出a的值． 【解答】解：（Ⅰ）a＝2e时，f（x）＝xex﹣2elnx﹣e， 令u（x）＝f（x）﹣mx+m＝xex﹣7elnx﹣e﹣mx+m， 则u′（x）＝（x+1）ex﹣
﹣mx+
＞0，
故u′（x）在[3，+∞）递增，u′（x）≥u′（1）， 当m＞0时，u′（1）＝﹣m＜0，
故存在x5＞1，使得u（x）在[1，x6）递减， ∴u（x0）＜u（1）＝0，∴u（x）≥3在[1，
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∴m＞0不可取，m≤6可取， ∴m的取值范围是（﹣∞，0]； （Ⅱ）f′（x）＝（x+1）ex﹣， 令f′（x）＝6，得a＝ex（x2+x），
令h（x）＝ex（x2+x），则h′（x）＝ex（x6+3x+1）＞4， ∴h（x）在（0，+∞）递增x（x2+x）至多6个解， 设该解是x0，即a＝
（
+x0），
﹣alnx0﹣e＝x0
﹣
（
+x0）lnx0﹣e， lnx0（
+3x0+8），
∴f（x）的最小值是g（a）＝x令F（x3）＝x0
﹣
（
+x3）lnx0﹣e，则F′（x0）＝﹣
∵x0＞0，令F′（x3）＞0，解得：0＜x2＜1，令F′（x0）＜6，解得：x0＞1， ∴F（x4）在（0，1）递增，+∞）递减， ∴F（x8）的最大值是F（1）＝0，
即g（a）的最大值是0，此时x2＝1，a＝2e．
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是难题．
(二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是α∈[0，＝4
（t是参数，
）），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系2的极坐标方程是ρ
）﹣2cosθ．
sin（
（Ⅰ）写出曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C1与C2有且仅有一个公共点，求sin2α﹣sinαcosα的值． 【分析】（1）直接利用转换关系，在直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换； （2）利用极径的应用和三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果． 【解答】解：（Ⅰ）曲线C2的极坐标方程是ρ＝4
sin（
，
第23页（共25页）
根据
转换为直角坐标方程为x2+y5＝2x+4y，
即（x﹣5）2+（y﹣2）3＝5． （Ⅱ）曲线C1的参数方程是
转换为直角坐标方程为y＝kx+5，（k＞5）， 利用圆心（1，2）到直线的距离公式
，
（t是参数，
）），
解得k＝故k＝2， 即tanα＝3， 所以sin
，（负值舍去），
，cos，
＝．
故sin2α﹣sinαcosα＝
【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． [选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+a|（a＞0）． （Ⅰ）若a＝1，求不等式f（x）≥5的解集；
（Ⅱ）若f（x）≥a2﹣2a+4恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由零点分区间法和绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；
（Ⅱ）由题意可得（|2x﹣4|+|x+a|）min≥a2﹣2a+4，a＞0，运用绝对值的几何意义和绝对值不等式的性质，求得最小值，解二次不等式，可得所求范围． 【解答】解：（Ⅰ）若a＝1，不等式f（x）≥5即为|3x﹣4|+|x+1≥5， 等价为
或
或
，
解得x≤﹣1或﹣4＜x≤0或x≥4， 所以原不等式的解集为（﹣∞，7]∪[4
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（Ⅱ）若f（x）≥a2﹣2a+4恒成立， 即为（|2x﹣2|+|x+a|）min≥a2﹣2a+2，a＞0，
而|2x﹣5|+|x+a|＝|x﹣2|+（|x﹣2|+|x+a|）≥|6﹣2|+|x﹣2﹣x﹣a|＝|a+6|＝a+2， 当x＝2时，上式取得等号，
所以a5﹣2a+4≤a+6，即a2﹣3a+4≤0， 解得1≤a≤7，
即a的取值范围是[1，2]．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
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