解析几何直线圆圆锥曲线知识点总结

②圆的一般方程为 ______________

圆心坐标为 _________________ ，半径r= _____________________ ;

2 2

一. 直线

1. 求斜率的两种方法

① 定义：k= _______________ ;

② 斜率公式：直线经过两点(x1, y1) ,(x2, y2)， k = ___________ ，

2. 二元二次方程 Ax + Bxy+ Cy + Dx + Ey + F = 0表示圆的充要条件为

(i) ______________ (2) ______________ ⑶ ______________ 3. 判断点与圆的位置关系

点M在圆C内二 _______________________ ，点M在圆C上二 __________________ , 2.

的方向向量为

方向向量：过两点N,%),

,

(化』)的直线

2

用斜率k表示也就是 _______________

3. 直线方程的几种形式：

① 点斜式： __ _______________ ,适用范围 __________ __ ; ② 斜截式：____

___ ,

_ 适用范围

____ ;

③ 两点式： _________ ___ , _____ 适用范围 ____________ __ ______ ; ④ 截距式：_

_,

适用范围 ____________ _________ ;

⑤ 一般式： _________ ______ 适用范围 _____________ _________ ;

⑥ 几种特殊的直线方程： x轴 __________ _;平行与X轴的直线 ______ _____ _ ；

y轴— ____ _；平行与 y轴的直线 ______________ ；经过原点(不包括坐标轴)的直线 _____________

在两轴上的截距相等的直线方程 _______________________________________________________________ 4. 两条直线的位置关系(一)

已知直线li : y = kix+ b], I2 ： y = k?x+ b?(斜

率k存在)

①li ■ 12 ：= _______________ ②li与I2平行二 ________________ ③li与I2重合:= ___________________ 5. 两条直线的位置关系(二)

已知直线h： A|X+ B』+ Ci = 0 ,l2： A2X+ B2

y + C2

= 0则

①li // J二 ___________________ ②li与J重合二 _____________ 一 _ ③li厂J二 _________________

6. 点

(x0, y0

)到直线 l： Ax + By + C = 0 的距离 d

=_ _____________________ _____

7. 两平行线 li : Ax+By+Ci =0 ；丨2 : Ax + By+C2 = 0的距离 d =_ __________ _ _____ 8•与直线l： Ax + By + C = 0平行的直线系 _______________________

与直线l： A)+ B+ (=0垂直的直线系 _____________________________

9.经过两条直线li: Ax+B』+Ci= 0和$ Ax+B2y+C2=0的交点的直线系 ___________________________________ 二.圆 i.圆的方程

点M在圆C内二 __________________________ ,(其中| MC | = ________________ ) 4.

判断直线与圆的位置关系有两种方法 .

(1) 直线和圆公共点个数的角度：

直线与圆相交 有 _________ 公共点；直线与圆相切二 有 ________ 公共点；直线与圆相离二 _________ 公共点; (2) 直线和圆的位置关系的判定：

① 代数法：由直线方程与圆的方程联立消元得一元二次方程利用

■:求解；

② 几何法：由圆心到直线距离 d与半径r比较大小来判断.

直线与圆相交 = __________ 直线与圆相切：

= ______________ 直线与圆相离二 _______________ 2 2 2

5. 圆(x- a) + (y- b) = r的切线问题

(i)切点已知：P(x0, y0)为圆上的点，过 P的切线方程(一条切线) 先求出 心卩二丿4 ；然后k切

匕二一型1£，最后点斜式写切线

x° - a kop y° - b

⑵ 切点未知：P(x0, y°)为圆外的一点，过 P的切线方程(两条切线)

设切线方程为y - y° = k x- x°或x二x°，利用d = r求k , 并验证x = x°是否成立

6. 圆的弦长公式： _________________________________________________________

2 2 2 2 2 2

7. 两圆的位置关系：

圆 Ci：(x- ai) + (y- b|) = A ；圆 C2：(x- a?) + (y- b?) = r?

相离二 ________________ 外切二 ______________________________ 相交二 ___________________

①圆的标准方程为 _____________________ ;圆心坐标为 ___________ ，半径为 __________ ;

圆心在坐标原点，半径为 r的圆方程为 __________________________________________ ;

内切二 __________________ 内含二 ____________________________ 8.过两圆■- /

：

1

- L 交点的圆系方程为.■ - .< ■

.

- ,

1

当- -时，方程 厂门-•为两圆公共弦所在直线方程

三•椭圆、双曲线、抛物线: 椭圆 1 .到两定点 F1,F2的距离 之 定义 轨迹条 件 四.常用结论：

双曲线 1 .到两定点F1 ,F2的距离之 差(0<2a<| F1F2I)的点的轨迹 2.与定点和直线的距离之 比为定值 e的点的轨迹. 抛物线 X a

2 2

y b

Fi, F 2,点P为椭圆上任意一点• FfF?\",

1•椭圆r 2=1(a> b> 0)的左右焦点分别为

与定点和直线的距离相等 的点的轨迹. 则椭圆的焦点角形的面积为

2

2 .2

和为定值2a (2a>|F1F2|) 的点的绝对值为定值 2a 的轨迹 2.与定点和直线的距离之 比为定值e的点的轨迹. (0=1(a> b > 0)有相同焦点的椭圆系为

(e>1) a

b

2

2

3.双曲线 X 2

y =1 (a>0,b> 0)的左右焦点分别为

.2 Fi, F 2,点P为双曲线上任意一点

1IP 1 M 图形 7 1 标准 方程 范围 中心 顶点 对称轴 x轴，y轴； x轴，y轴； 长轴长 短轴长 实轴长 ，虚轴长 X轴 焦占 八 '、八、、 方程： 方程： 方程： 准线 准线 实轴，且在两顶 准线与焦点位于顶点 ， 准线 _____ 长轴，且在椭圆 点的 且到顶点的距离相等• 焦距 离心率 渐近线 焦半径 焦准距 通径 a

b

.F1PF2 - v，则双曲线的焦点角形的面积为 ____________________

2

2

4.①与双曲线X y

2

\".2

=1 ( a> 0,b >0)有相同焦点的双曲线系为

-a

b

2

2

②与双曲线 X 2

y.2 =1 ( a> 0,b >0)有相同渐进线的双曲线系为

a b

③ 等轴双曲线系为 _______________________ ，其渐近线方程为 ____________ ，离心率e= _______ ④ _____________________________________________________________________ 双曲线的渐

近线为 --0时，它的双曲线方程可设为 ___________________________________________

3•抛物线的通径过焦点的所有弦中最a b 的.以焦点弦为直径的圆与准线 标准方程 y2 = 2px y = 2 —2px小 x = 2py2 小 x = 2 —2py小 y ▲ ▲ — 图形 ~O TTV 焦占 八 '、八\\、 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 焦半径

五.求圆锥曲线的标准方程的方法 ： ⑴ 正确判断焦点的位置；⑵

•••所求对称的曲线方程：F( 2a—x；2b—y)= 0

②求曲线C: F (x, y)= 0关于直线l: Ax+By+C=0对称的曲线方程：

设A (x, y)为曲线C上任意一点，设 A' (x', y')为A关于直线l: Ax+By+C=0的对称点

2 设出标准方程后，运用待定系数法求解

六•判断点P(Xo,y°)与圆锥曲线 2 2 2 2 点P与圆锥曲线的位 置 x y =1(a >b >0) 点P在圆锥曲线内部 点P在圆锥曲线上 点P在圆锥曲线外部

七•直线与圆锥曲线的位置

(1)判断直线与圆锥曲线的位置的一般步骤： 联立直线、圆锥曲线方程组 =关于x (或y )的一元二次方程 =“二”：

孑 + 詁y =2px(p>0) 则严」

AA的中点在I上

^2 .(—△) 一1

-B x - x y y

B \"XX 2

A

2

』kAA *弋=-1

AA的中点坐标满足I的方程

” x x

2A(Ax+By+C)

A2 B2 ” 2B(Ax+By+C) y = y-

A2 B2

— 2A(Ax+By + C)

F (x _ 2 2 , y _ 2 2

______ ； A =0u

__________________________ ; .： ：：0u ________ ； 注： ① 直线与双曲线方程联立之后得到一元一次方程：则直线是与双曲线渐近线平行的直线，此时，直线和

双曲线相交，但只有一个公共点。

直线与抛物线方程联立之后得到一元一次方程：则直线是抛物线的对称轴或是与对称轴平行的直线， ②

此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。 直线与圆锥曲线的相交时弦长 PP2 = ____________________________ (3)直线与圆锥曲线的相交时，在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数 是否为零

)= 0

2B(Ax+By + C)、

•••所求对称的曲线方程： A B A B

九.求轨迹的常用方法：

(1 )直接法：直接通过建立 x、y之间的关系，构成 F(x,y) = 0,是求轨迹的最基本的方法；

(2) 待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的 方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可； (3)

代入法(相关点法或转移法)：若动点P(x,y)依赖于另一动点 Q(x1,y1)的变化而变化，

并且 Q(X1,y” 又在某已知曲线上，则可先用 x、y的代数式表示y1，再将y1带入已知曲线得要求的轨迹方程； (4 )定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程； (5)参数法：当动点 P (x,y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将 均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程

x、y

⑵

及△ >0的限制。(求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在厶 >0下进行。)

A(xi, yi)、B(X2,y2)为圆锥曲线上不同的 ⑷ 处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用点差法：设

两点M(xo,yo)是AB的中点， 2 2

y ① 曲线为椭圆- - =1 (a>b>0)时，则KABKOM = _________________ ； a2 b2 2 2 ② 曲线为双曲线 x--y 1 (a>0, b>0)时，贝U KAB.KOM= _____________ ；

22a b

③ 曲线为抛物线 y2=2px(p工0)时，贝U KAB = ___________ ；

如：椭圆mx2 • ny2 = 1与直线y =1 -x交于M、N两点，原点与MN中点连线的斜率为 值为 ___________ ； 八•求解“对称”问题：

①求曲线C: F (x, y)= 0关于点M (a, b)对称的曲线方程： 设A (x, y)为曲线C上任意一点，设 A' (x', y')为A关于点M的对称点

_xx 2

”得丿x =2a—X代入曲线C:

F (x, y)= 0

y +y j = 2b _ y ・

2