高二数学暑假讲义 第一节 直线与方程

本节目标：

【1】理解斜率与倾斜角的关系 【2】掌握直线方程的五种形式 基础知识： 1.直线的斜率

（1）当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的_________．直线倾斜角的取值范围为__________．

（2）直线倾斜角的正切值叫做这条直线的___________．斜率常用小写字母k表示，即________________．

（3）倾斜角是_______的直线没有斜率．我们得到经过两点P1x1,y1,P1x2,y2x1x2的直线斜率公式为______________________． 2.直线的方程

（1）点斜式：直线l经过点P0x0,y0, 且斜率为k, 设点Px,y是直线l上不同于点P0 的任意一点，因为直线l的斜率为k, 由斜率公式得 ___________________，即_____________________．当直线l的倾斜角为______________时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．

（2）斜截式：如果直线l的斜率为k, 且与y轴的交点为0,b，代入直线的点斜式方程得______________，即_______________________．

（3）两点式：这是经过两点P1x1,y1,P1x2,y2x1x2,y1y2的直线方程，我们把它叫做直线的__________________________，简称______________________，方程为_________________________.

（4）截距式：a,b分别是直线在x轴，y轴上的截距，我们把此方程称之为直线的__________________，简称_______________________，方程为_______________________. （5）一般式：我们把关于x, y的二元一次方程_________________________（其中A,B不同时为0）叫做直线的_________________________，简称_____________________. 1.（例题）直线l经过M3,2与B2,3，则𝑙的倾斜角是 (  )

A.

4 B.

3C.

54 D. 34 4或 4

2.（练习）若直线过点(1,2) 和(4,23)，则此直线的倾斜角是

A．30 B．45 C．60 D． 90

3.（练习）若直线经过两点A(2m,2) ，B(m,2m1) 且倾斜角为45，则m的值为 A．

34 B．1 C．2 D．12

4.（练习）已知经过点P(3,m)和点 Q(m,2)的直线的斜率等于 2，则 m的值为

A．

43 B．1 C．83 D．1

5.（例题）若直线𝑙的倾斜角的正弦是

6.（练习）若直线l的斜率是

1 ，则直线l的斜率为___________. 44，而直线m的倾斜角是直线l倾斜角的2倍，则直线m的斜3率是___________.

7.（例题）直线3xya0的倾斜角为( ) A．30 B．60 C．150 D．120

8.（练习）直线x3y10的倾斜角的大小为 ( ) A. 30∘

9.（练习）设直线axbyc0的倾斜角为，且sincos0，则a，b满足 ( ) A．ab1 B．ab1 C．ab0 D．ab0

B. 60∘

C. 120∘ D. 150∘

10.（例题）直线sinxy20的倾斜角的取值范围是（ ） A．0, B．0,

430,, C． D．,0,4244

11.（练习）直线2xcosy30，，的倾斜角的取值范围是 ( )

63 A.， B.， C.， D.，

63434243

12.（例题）如图，直线l1，l2，l3 的斜率为k1，k2，k3，则 (  ) A. k1k2k3 C. k1k3k2

B. k3k1k2 D. k3k2k1

2

13.（练习）若两条直线l1,l2的倾斜角分别为1，2，则下列命题中正确的是（ ） A．若12，则两条直线的斜率k1k2 B．若12，则两条直线的斜率k1k2 C．若k1k2，则两条直线的倾斜角12 D．若k1k2，则两条直线的倾斜角

12

14.（例题）直线𝑙过点 P1,2，且与以A2,3,B4,0为端点的线段相交，则l的

斜率的取值范围是 ( )

A. ,5 B. ,055C. ∞,5

220,5

25,∞ D. 2ππ,,5 52215.（练习）已知点A2,3 ，B3,2，若直线m过点P1,1与线段AB相交，则直线m的斜率k的取值范围是 (  )

A. k3 4B.

3k2 4C. k2或k3 4D. k2

16.（练习）经过点P0,1作直线l，若直线l与连接A1,2，B2,1 的线段没有公共

点，则直线l的斜率k的取值范围为___________.

17.（例题）已知实数x，y满足2xy8，当2x3时，则

y的最大值为____ ____；x最小值为____ ____．

1，4,2，2,6．18.（练习）在平面直角坐标系中，点A如果P(x，y)，B，C的坐标分别为0，是△ABC围成的区域（含边界）上的点，则

y的取值范围是 x1

19.（例题）根据下列条件分别写出直线方程，并化为一般式方程 （１）斜率是3，且经过点A(5,3)

（２）斜率是4，在y轴上的截距为2

（３）经过A(1,5),B(2,1)两点 （４）在x,y轴上截距分别是3,1

（5）求经过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程

20.（练习）求适合下列条件的直线方程，并化为一般式方程

（1）经过点A(1,4)，倾斜角等于直线y3x的倾斜角．

（2）直线过点4,0，倾斜角的正弦值为10；

10

（3）直线经过点(0,3)，斜率为2

（4）直线过点5,10，点1,4；

（5）经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等

（6）直线过点3,4，且在两坐标轴上的截距之和为12；

21.（例题）不论a为何值时，直线a3x2a1y70均过定点（ ） A.0,0 B.3, C.2,1 D.1,1

12

22.（练习）不论m为何值，直线mxy2m10恒过定点 ．

23.（练习）直线ykx12必经过定点（ ）。

24.（练习）已知点A2,3，B3,2，直线l:mxym10与线段AB相交，则

直线l的斜率k的范围是 ( ) A. kA.1,2 B.1,2 C.1,2 D.1,2

3或k4 415

B. 4k3 4C. k

D. 3k4 4课后作业

1. 下列两点确定的直线的斜率不存在的是 (  )

2. 若直线 (𝑎2+2𝑎)𝑥−𝑦+1=0 的倾斜角为钝角，则实数 𝑎 的取值范围是 ．

3. 过两点 𝐴(𝑚2+2,𝑚2−3)，𝐵(3−𝑚−𝑚2,2𝑚) 的直线的倾斜角为 45∘，则 𝑚= ．

4.已知一直线经过点 𝑃(3,6)，Q(1,2)，求这条直线方程．

5. 求过点 𝐴(6,−4)，斜率为 −3 的直线方程的斜截式．

4

A. (4,2)，(−4,1) C. (3,−1)，(2,−1)

B. (0,3)，(3,0) D. (−2,2)，(−2,5)

6. 求适合下列条件的直线方程：

（1）经过点 𝑃(3,2) 且在两坐标轴上的截距相等；

（2） 过点 𝐴(−1,−3)，斜率是直线 𝑦=3𝑥 的斜率的 −4 倍；

7. 若直线 𝑙:𝑎𝑥+𝑦+2=0 与连接点 𝐴(−2,3)，和 𝐵(3,2) 点的线段有公共点，求实数 𝑎 的取值范围．

8. 设直线 𝑙 的方程为 (𝑎+1)𝑥+𝑦+2−𝑎=0(𝑎∈𝐑)． （1）若 𝑙 在两坐标轴上的截距相等，求 𝑙 的方程．

1

（2）若 𝑙 不经过第二象限，求实数 𝑎 的取值范围．

答案

1. D

【解析】选项D中两点的横坐标相同，所以这两点确定的直线与 𝑥 轴垂直，斜率

不存在．

2. (−2,0)

【解析】由题意知，𝑘=𝑎2+2𝑎<0，解得 −2<𝑎<0． 3. −2 4．y=2x

5. 由于直线的斜率 𝑘=−，且过点 𝐴(6,−4)，

34

根据直线方程的点斜式得直线方程为 𝑦+4=−3(𝑥−6)， 化为斜截式为 𝑦=−3𝑥+4．

6• (1) 设直线 𝑙 在 𝑥，𝑦 轴上的截距均为 𝑎， 若 𝑎=0，即 𝑙 过点 (0,0) 和 (3,2)， 所以 𝑙 的方程为 𝑦=𝑥，即 2𝑥−3𝑦=0．

324

4

若 𝑎≠0，则设 𝑙 的方程为 𝑎+𝑎=1， 因为 𝑙 过点 (3,2)， 所以 𝑎+𝑎=1， 所以 𝑎=5，

所以 𝑙 的方程为 𝑥+𝑦−5=0，

综上可知，直线 𝑙 的方程为 2𝑥−3𝑦=0 或 𝑥+𝑦−5=0． (2) 设所求直线的斜率为 𝑘，依题意 𝑘=−×3=−．

4

4

1

3

3

2

𝑥𝑦

又直线经过点 𝐴(−1,−3)，

因此所求直线方程为 𝑦+3=−4(𝑥+1)， 即 3𝑥+4𝑦+15=0．

3

7. 从几何的特征来看，点 𝐴(−2,3)，和点 𝐵(3,2) 分别在直线 𝑙 所划分的平面区域的两侧或落在直线 𝑙 上．

因此，相对应的代数化就是将点 𝐴(−2,3)，和点 𝐵(3,2) 的坐标代入到 𝑙:𝑎𝑥+𝑦+2=0 的左侧式子，得到的两个数值的乘积小于等于零， 即 (−2𝑎+3+2)⋅(3𝑎+2+2)≤0， 由此解得 𝑎≤−3 或 𝑎≥2．

故 𝑎 的取值范围是 (−∞,−3]∪[2,+∞)．

4

5

4

5

8. （1） 令 𝑥=0，得 𝑦=𝑎−2，令 𝑦=0 得 𝑥=𝑎+1，所以 𝑎−2=𝑎+1，解得 𝑎=2 或 𝑎=0，直线的方程为 3𝑥+𝑦=0，或 𝑥+𝑦+2=0． （2） 𝑎≤−1．

【解析】直线 𝑙 的方程可变为 𝑦=−(𝑎+1)𝑥+𝑎−2，

①当 −(𝑎+1)=0 时，即 𝑎=−1 时，直线的方程为 𝑦=−2，符合题意， ②当 −(𝑎+1)<0 时，直线必过第二象限，不合题意．

③当 −(𝑎+1)>0 时，要使直线不过第二象限，必有 𝑎−2≤0，这时 𝑎<−1． 综上所述，实数 𝑎 的取值范围是 𝑎≤−1．

𝑎−2𝑎−2