山西省右玉一中2014-2015学年高二数学下学期期中试题 理

高二数学（理）

满分：150分 时间：120分 第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：(每小题5分，共60分) 1．函数f(x)＝(2πx)2

的导数是( )

A．f′(x)＝4πx B．f′(x)＝4π2

x C．f′(x)＝8π2x

D．f′(x)＝16πx

2．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝( )

A．e2

B．e C．

ln 2

2

D．ln 2 3．若曲线f(x)＝x4

－2x在点P处的切线垂直于直线x＋2y＋1＝0，则点P的坐标为( A．(1,1) B．(1，－1) C．(－1,1) D．(－1，－1)

4．若f(n)＝1＋1112＋3＋…＋2n＋1

(n∈N*

)，则当n＝2时，f(n)是( )

A．1＋1

2

B.15

C．1＋11112＋3＋4＋5

D．非以上答案

5．在△ABC中，sin Asin C＞cos Acos C，则△ABC一定是( )

A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形 D．不确定 6．已知C7

7

8

*

n＋1－Cn＝Cn(n∈N)，则n等于( )

A．14

B．12 C．13

D．15

7．若复数a3i

12i

（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为

A．－2

B．4

C．－6

D．6

)

1

8复数z34i，则z等于 （ ） 43iA．3i B．3i C．4i D．4i

39.

 2 1(ex22)dx（ ） x2A．e2ln2 B. ee2ln2 C. ee2ln2 D. ee2ln2 10．如图，阴影部分的面积是( ) A．23 B．－23

3532C． D．

33

11．从4位男教师和3位女教师中选出3位教师，派往郊区3所学校支教，每校1人，要求这3位教师中男、女教师都要有，则不同的选派方案有

A．210种 B．186种 C．180种 D．90种

12．若A，B，C，D，E，F六个不同元素排成一列，要求A不排在两端，且B、C相邻，则不同的排法共有 A．72种 B．96种 C．120种 D．144种

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡指定位置上． 13．已知集合A{x|xx60}，B{x|(x4)(x2)0}，则AB______； 1

14．过点(2,0)且与曲线y＝相切的直线的方程为________

222x15．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示___________种不同的信号．

2x116．fx2xx0，若fx10，则x = .

x0三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 已知a，b，c，d∈(0，＋∞)，

求证ac＋bd≤a＋bc＋d.

2

222218.(本小题满分10分)从4名男生和5名女生中任选5人参加数学课外小组，求在下列条件下各有多少种不同的选法?

(1)选2名男生和3名女生，且女生甲必须入选； (2)至多选4名女生，且男生甲和女生乙不同时入选.

42

19．（本小题满分12分）若函数f(x)＝ax＋2x－ln x在x＝1处取得极值．

3

(1)求a的值；

(2)求函数f(x)的单调区间及极值．

20．(本小题满分12分)已知数列{(1)求数列{(2)设

21．（(本小题满分12分)四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PA=PC=2a， （1）求证：PD⊥平面ABCD； （2）求证，直线PB与AC垂直；

22．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝xln(1＋x)－a(x＋1)，其中a为实常数．

(1)当x∈[1，＋∞)时，f′(x)＞0恒成立，求a的取值范围；

an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且a2, a3, a4＋1成等比数列．

an}的通项公式；

sn2n(an2)，求数列{

bn}的前n项和

sn

(2)求函数g(x)＝f′(x)－的单调区间．

1＋x

ax 3

右玉一中2015年5月期中考试答题卡

高二数学（理） 姓名： 准 考 证 号 学校： 班级： 0 0 0 0 0 0 0 0 0 正确填涂： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 错误填涂 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 缺考 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 违纪 9 9 9 9 9 9 9 9 9 填涂要求 填涂时用2B铅笔将选中项涂满涂黑，黑度以盖过框内字母为准。修改时用橡皮擦干净。注意题号顺序。保持答题卡整洁，不要折叠、污损。缺考标记与作弊标记由监考老师填涂。 一. 客观题 1 abcd 5 abcd 9 abcd 2 abcd 6 abcd 10 abcd 3 abcd 7 abcd 11 abcd 4 abcd 8 abcd 12 abcd 二. 主观题 13. 14. 15. 16. 17.（10分）

4

18.（10分） 5

19.（12分） 20.（12分）

6

21.（12分） 22.（14分）

7

8

右玉一中高二数学（理）期中考试试题答案

一、CBBCD ACBBD CD

二、13、2三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）

证明：法一：(分析法)

欲证ac＋bd≤a2

＋b2

c2

＋d2

，只需证(ac＋bd)2

≤(a2

＋b2

)(c2

＋d2

)， 即证a2c2

＋2abcd＋b2d2

≤a2c2

＋b2d2

＋a2d2

＋b2c2

，即证2abcd≤a2d2

＋b2c2

， 即证0≤(bc－ad)2

，而a，b，c，d∈(0，＋∞)，0≤(bc－ad)2

显然成立， 故原不等式成立．

法二：(综合法)(a2

＋b2

)(c2

＋d2

)＝a2c2

＋b2d2

＋a2d2

＋b2c2

≥a2c2

＋b2d2

＋2abcd ＝(ac＋bd)2

，所以a2

＋b2

c2

＋d2

≥ac＋bD． 18.(本小题满分10分) (1) 36 (2) 90

19.（本小题满分12分) 解：(1)f′(x)＝2ax＋2－4213x，由f′(1)＝2a＋3＝0，得a＝－3

.

(2)f(x)＝－13x2＋2x－43ln x(x＞0)．f′(x)＝－23x＋2－4－2x－1x－2

3x＝3x. 由f′(x)＝0，得x＝1或x＝2.

①当f′(x)＞0时1＜x＜2；②当f′(x)＜0时0＜x＜1或x＞2. 当x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x (0,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) ↘ 583 ↗ 3－43ln 2 ↘ 因此，f(x)的单调递增区间是(1,2)，单调递减区间是(0,1)，(2，＋∞)． 函数的极小值为f(1)＝53，极大值为f(2)＝84

3－3ln 2.

20．(本小题满分12分)

[解析] (1)设数列{an}的公差为d，

由a1＝2和a2，a3，a4＋1成等比数列，得 (2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)解得d＝－1或d＝2.

当d＝－1时，a3＝0，这与a2，a3，a4＋1成等比数列矛盾舍去．所以d＝2.

9

∴an＝a1＋(n－1)d＝2n，

即数列{an}的通项公式为an＝2n，(n∈N*)．

22111

(2)bn＝＝＝＝－.

nan＋2n2n＋2nn＋1nn＋1

111111n

∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝. 223nn＋1n＋1n＋121．(本小题满分12分)

解： ⑴证明：∵PD=a，AD=a，PA=2a，∴PD+DA=PA，同理∴∠PDA=90°.

2

2

2

即PD⊥DA，PD⊥DC，∵AO∩DC=D，∴PD⊥平面ABCD.

⑵解：连结BD，∵ABCD是正方形∴BD⊥AC ∵PD⊥平面ABCD∴PD⊥AC ∵PD∩BD=D ∴AC⊥平面PDB∵PB平面PDB ∴AC⊥PB ∴PB与AC所成的角为90° 22．(本小题满分12分)．

解析： (1)由题意，知f′(x)＝ln(1＋x)＋－a＞0，

1＋xx则a＜ln (1＋x)＋在x∈[1，＋∞)时恒成立．

1＋xxx11x＋2

令h(x)＝ln(1＋x)＋，则h′(x)＝＋2＝2. 1＋x1＋x1＋x1＋x

∵x∈[1，＋∞)，∴h′(x)＞0，即h(x)在[1，＋∞)上单调递增， 11∴h(x)≥h(1)＝＋ln 2，∴a的取值范围是－∞，＋ln 2.

22

1－ax(2)由(1)知，函数g(x)＝ln(1＋x)＋－a，其定义域为(－1，＋∞)．

1＋x11－ax＋2－a则g′(x)＝＋2＝2.

1＋x1＋x1＋x

①当a＞1时，若x∈(－1，a－2)，则g′(x)＜0，g(x)在(－1，a－2)上单调递减；若x∈(a－2，＋∞)，则g′(x)＞0，g(x)在(a－2，＋∞)上单调递增．

②当a≤1时，g′(x)＞0，g(x)在(－1，＋∞)上单调递增．

综上，当a＞1时，g(x)的单调递增区间为(a－2，＋∞)， 递减区间为(－1，a－2)；

10

当a≤1时，g(x)的单调递增区间为(－1，＋∞)．

11