鲁教版初二数学上知识点

鲁教版初二上数学知识点梳理

第一章 三角形

⒈三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.

三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示. _ A注意：〔1〕三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；

〔2〕三角形是一个封闭的图形；

〔3〕△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义．

⒉三角形的分类：

(1)按边分类： (2)按角分类： 底边和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

三角形 等边三角形 不等边三角形 直角三象形

三角形 锐角三角形 斜三角形 钝角三角形

_ B_ C

⒊三角形的主要线段的定义：

〔1〕三角形的中线

三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：1.AD是△ABC的BC上的中线.

2.BD=DC=

A1BC. 2B注意：①三角形的中线是线段；

②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．

DC〔2〕三角形的角平分线

三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法：1.AD是△ABC的∠BAC的平分线.

2.∠1=∠2=

A211∠BAC. 2BDC注意：①三角形的角平分线是线段；

.

.

②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；

④用量角器画三角形的角平分线． 〔3〕三角形的高

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 表示法：1.AD是△ABC的BC上的高线.

2.AD⊥BC于D.

3.∠ADB=∠ADC=90°. B注意：①三角形的高是线段；

②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；

③三角形三条高所在直线交于一点．

如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三

角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.

ADC

图5

图6

图7

4．三角形的三边关系

三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边. 注意：〔1〕三边关系的依据是：两点之间线段是短；

〔2〕围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．

5.三角形的角与角之间的关系：

(1)三角形三个内角的和等于180;〔三角形的内角和定理〕 (2) 直角三角形的两个锐角互余.

6．三角形的稳定性：

三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性． 注意：〔1〕三角形具有稳定性；

〔2〕四边形没有稳定性.

图8

7．三角形全等：

全等形：能够完全重合的图形叫做全等形.

全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

.

.

对应顶点、对应边、对应角：把两个全等的三角形重合到一起.重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角.

全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等. 三角形全等的判定方法：

1. 三边对应相等的两个三角形全等〔可以简写成“边边边〞或“SSS〞〕.

2. 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等〔可以简写成“边角边〞或“SAS〞〕. 3. 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等〔可以简写成“角边角〞或“ASA〞〕. 4. 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等〔可以简写成“角角边〞或“AAS〞〕.

三角形全等的应用：测距离

第二章 轴对称

轴对称现象

1.轴对称图形:(1)如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫轴对称图形。这条直线叫对称轴。(注意:对称轴是一条直线,不是线段,也不是射线)。

(2)轴对称图形至少有一条对称轴,最多可达无数条。

例:①圆的对称轴是它的直径( × ) 直径是线段,而对称轴是直线(应说圆的对称轴是过圆心的直线或直径所在的直线);

②角的对称轴是它的角平分线( × ) 角平分线是射线而不是直线(应说角的对称轴是角平分线所在的直线);

③正方形的对角线是正方形的对称轴( × ) 对角线也是线段而不是直线。 2.轴对称:

(1)对于两个图形，如果沿一条直线折叠后，它们能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。(成轴对称的两图形本身可以不是轴对称图形)。 (2)轴对称图形与轴对称的关系:

①联系:都是沿一条直线折叠后能够互相重合;当把成轴对称的两个图形看成一个整体时,它是一个轴对称图形；

②区别:轴对称图形是一个图形,轴对称是两个图形之间的关系。

简单的轴对称图形

有两边相等的三角形叫等腰三角形。

1.三线合一定理:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合〔也称为“三线合一〞,它们所在的直线就是等腰三角形的对称轴〕。 注意:对于一般的等腰三角形,一定要说清哪边上的中线、高和哪个角的平分线;等边三角形有三组三线合一,任意一边上的中线和高与其所对的角的平分线。

.

.

2.等角对等边,等边对等角:如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等; 如果一个三角形有两个边相等，那么它们所对的角也相等。

3.角平分线定理:角平分线上的任意一点到角的两边的距离(垂线段)相等。

4.中垂线定理(1)概念:既垂直又平分线段的直线叫垂直平分线,简称中垂线；

(2)定理:垂直平分线上的任一点到线段两端点的距离(与端点的连线)相等。 5. 30°所对直角边等于斜边的一半；

探索轴对称的性质

1.对应点所连的线段被对称轴垂直平分；

2.轴对称图形对应线段相等，对应角相等。

利用轴对称设计图案

1.画点A关于直线L的对应点A´:1、过点A作对称轴L的垂线，垂足为B 2、延长AB至A´，使得B A´=AB 3、点A´就是点A关于直线L的对应点

2.画线段AB关于L的对应线段A´B´:1、过点A作对称轴L的垂线A A´，使CA=C A´ 2、过点A作对称轴L的垂线B B´，使DB=DB´

3、连接A´B´，A´B´即是关于直线L的对应线段。

第三章 勾股定理

探索勾股定理

勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，那么a+b=c ,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。(一个直角三角形,以它的两直角边为边长所作的两正方形面积之和等于以它的斜边为边长所作的正方形的面积)

注意:电视机有多少英寸,指的是电视屏幕对角线的长度。

2

2

2

勾股数

1.勾股定理的逆定理:若三角形的三边长a，b，c满足a+b=c，则该三角形是直角三角形。 在∆ABC中, a，b，c为三边长,其中 c为最大边,

222

若a+b=c,则∆ABC为直角三角形；

222

若a+b>c,则∆ABC为锐角三角形；

222

若a+b222

2.勾股数:满足a+b=c 的三个正整数(即能构成一个直角三角形三边的一组正整数)，称为勾股数(勾股数是正整数)。

规律:一组能构成直角三角形的三边的数,同时扩大或缩小同一倍数(即同乘以或除以同一个正数),仍能够成直角三角形。

一组勾股数的倍数不一定是勾股数,因为其倍数可能是小数,只有整数倍数才仍是勾股数。 常用勾股数:3,4,5(三四五) 9,12,15(3,4,5的三倍) 5,12,13(5.12记一生)

8,15,17(八月十五在一起) 6,8,10(3,4,5的两倍) 7,24,25(企鹅是二百五)

勾股数须知:连续的勾股数只有3,4,5； 连续的偶数勾股数只有6,8,10。

2

2

2

第四章 实数

无理数

.

.

有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。

1.无理数的概念:无限不循环小数叫做无理数(两个条件:①无限②不循环)。 2.无理数: (1)特定意义的数，如∏；

(2)特定结构的数；如2.02002000200002…

(3)带有根号的数，但根号下的数字开不尽方，如

3.分类:正无理数和负无理数。

平方根

1.定义:如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根〔也叫做二次方根〕。

2.表示方法: 正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根；另一个是－，它们是一对互为相反数，合起来是

3.开平方:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方(其中,a叫被开方数,且a为非负数)。开平方与乘方是互为逆运算。

小结: 一个正数有两个平方根,它们互为相反数； 0只有一个平方根,它是0本身； 负数没有平方根。

立方根

1.定义: 如果一个数x的立方等于a，即x=a, 那么这个数x叫做a的立方根(三次方根)。 2.性质: 正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0。

3.开立方: 求一个数a的立方根的运算，叫做开立方(其中,a叫被开方数)。 4.平方根与立方根的联系与区别:

(1)联系:①0的平方根、立方根都有一个是0；

②平方根、立方根都是开方的结果。

(2)区别:①定义不同；②个数不同；③表示方法不同；④被开方数的取值X围不同。

3

方根的估算

1.估算无理数的方法是〔1〕通过平方运算，采用“夹逼法〞，确定真值所在X围；〔2〕根据问题中误差允许的X围，在真值的X围内取出近似值。

2.“精确到〞与“误差小于〞意义不同。如精确到1m是四舍五入到个位，答案惟一；误差小于1m，答案在真值左右1m都符合题意，答案不惟一。在本章中误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位。

用计算器开方 实数

1.实数:有理数和无理数统称为实数(正实数,0和负实数)。

2.在实数X围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数X围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。

3.每一个实数都可以用数轴上的点来表示,反过来,数轴上的每一点都表示一个实数,即实数和数轴上的点是一一对应的。

.

.

第五章 平面直角坐标系

5.1确定位置

引例:电影票、角、教室座位、经纬度

在平面上确定物体的位置一般需要两个数据a 和b 记作〔a ，b〕， a表示:排、行、经度、角度…… b表示:号、列、纬度、距离……

生活中还有哪些确定位置的其他方法？

(1)如果全班同学站成一列做早操，现在教师想找某个同学，是否还需要用2个数据呢？ (2)多层电影院确定座位位置用两个数据够用吗？

必须有三个数据〔a，b，c〕，其中a表示层数，b表示排号，c表示座号，即“a层b排c号〞。

(3)确定小区中住户的位置必须有四个数据，分别为楼号a，单元号b，层数c和住户号d，即“a楼b单元c层d号。〞

(4)区域定位法：绘出所在区域代号如B3，D5等。排球比赛队员场上的位置等。 准确定位需几个数据？

(1)已知在某列或某行上,只需一个数据定位； (2)在一个平面内确定物体位置,需两个数据； (3)在空间中确定物体位置,需要三个数据。

5.2平面直角坐标系

1.平面直角坐标系:平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系。 坐标原点(0,0),第一二三四象限,注意:坐标轴上的点不属于任何象限。

2.坐标:在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置；反之，任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示。这样的有序实数对叫做点的坐标。 规律1:

⑴点P〔x，y〕在第一象限←→x＞0，y＞0；点P〔x，y〕在第二象限←→x＜0，y＞0； 点P〔x，y〕在第三象限←→x＜0，y＜0；点P〔x，y〕在第四象限←→x＞0，y＜0。 ⑵x轴上的点的纵坐标为0，表示为〔x，0〕,y轴上的点的横坐标为0，表示为〔0，y) 点P〔x，y〕到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|,到原点的距离是 。 规律2:

⑴关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数； ⑵关于y轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数； ⑶关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数。

⑷平行于x轴的直线上的点，其纵坐标相同，两点间的距离= ； ⑸平行于y轴的直线上的点，其横坐标相同，两点间的距离= ； ⑹一、三象限的角平分线上的点横坐标等于纵坐标，可记作：〔m，m〕；

⑺二、四象限的角平分线上的点横坐标与纵坐标互为相反数,可记作：〔m，-m〕。 点拨:同一点在不同的平面直角坐标系中，其坐标不同；

根据实际需要，可以建适当的平面直角坐标系。

.

.

第六章 一次函数

6.1函数

常量:在变化过程中，保持不变取值的量叫常量。 变量:在变化过程中，可以不断变化取值的量叫变量。

函数:一般地，设在一个变化的过程中有两个变量x和y。如果对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，我们称y是x的函数。其中，x是自变量，y是因变量。

6.2一次函数

若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k不为零)的形式,则称y是x的一次函数。x为自变量,y为因变量。特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数(正比例函数是特殊的一次函数)。

6.3一次函数的图像 1.一次函数的性质:

(1)当k＞0时,y随x的增大而增大； (2)当k＜0时,y随x的增大而减小； (3)函数图象经过定点〔0，b〕。 2.正比例函数的性质:

(1)当k＞0时,图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大； (2)当k＜0时,图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小； (3)函数图象经过定点〔0，0〕。 3.作正比例函数图像:

对于正比例函数y=kx,通常取两个点(0,0),(1,k),两点的连线就是其图象(两点确定一条直线),所以正比例函数的图象是一条直线。 4.作一次函数图像:

通常取直线与坐标轴的交点来画它的图象。在x轴上的交点(-b／k,0),y轴上的交点(0,b) 5.一次函数y=kx+b的图像的位置与k,b符号的关系: (1)k﹥0,b﹥0时，图象经过第一、二、三象限； (2)k﹥0,b﹤0时，图象经过第一、三、四象限； (3)k< 0,b﹥0时，图象经过第一、二、四象限； (4)k< 0,b﹤0时, 图像经过第二、三、四象限； (5)k﹥0,b= 0时，图象经过第一、三象限； (6)k< 0,b= 0时，图象经过第二、四象限。 6.一元一次方程与一次函数:

议一议:一元一次方程0.5x+1=0与一次函数y=0.5x+1有什么联系？

从〞数〞的方面看,当一次函数 y=0.5x+1 的函数值为0时,相应的自变量的值即为方程0.5x+1=0 的解；从“形〞的方面看,函数 y=0.5x+1 与 x 轴交点的横坐标即为方程 0.5x+1=0 的解。

.