2008数学建模练习题目

1. 使用LINGO软件的Excel文件传递数据，计算6个发点8个收点的最小费用运输问题。产销单位运价如表1。

表1 运输费用表 单位运价 销地 产地 A1 A2 A3 A4 A5 A6 销量 B1 6 4 5 7 2 5 35 B2 2 9 2 6 3 5 37 B3 6 5 1 7 9 2 22 B4 7 3 9 3 5 2 32 B5 4 8 7 9 7 8 41 B6 2 5 4 2 2 1 32 B7 5 8 3 7 6 4 43 B8 9 2 3 1 5 3 38 产量 60 55 51 43 41 52

2. 使用MATLAB软件随机生成一个200200的矩阵，然后把矩阵的对角线元素修改成0，把所得到的矩阵作为TSP问题中的距离邻接矩阵。使用纯文本文件和Excel文件两种方法传递数据，用LINGO软件编程求最短Hamilton圈的长度。

3．求解下列数学规划

minixi

i1100 s.t.

xi1100100i1

ixi150i10

50

xi12i1x2i0

i1Axb

这里的A是随机生成的5100矩阵，b是随机生成的5维列向量，x(x1,,x100)T。 4．一架货机有三个货舱：前舱、中仓和后舱。三个货舱所能装载的货物的最大重量和体积有如表2所示。并且为了飞机的平衡，三个货舱装载的货物重量必须与其最大的容许量成比例。

表2 前舱 中仓 后舱 重量（吨） 15 16 10 体积（立方米） 6800 8700 5300

现有四类货物用该货机进行装运，货物的规格以及装运后获得的利润如表3。

表3

重量（吨） 空间（立方米/吨） 利润（元/吨） 货物1 18 480 3200 货物2 15 650 3900 货物3 23 580 3600 货物4 12 390 2950

假设：

（1）每种货物可以无限细分；

（2）每种货物可以分布在一个或者多个货舱内；

（3）不同的货物可以放在同一个货舱内，并且可以保证不留空隙。 问应如何装运，使货机飞行利润最大？

5. 某单位领导在考虑本单位职工的升级调资方案时，依次遵守以下规定： （1）不超过年工资总额60000元；

（2）每级的人数不超过定编规定的人数；

（3）II，III级的升级面尽可能达到现有人数的20％；

（4）III级不足编制的人数可录用新职工，又I级的职工中有10％要退休。 有关资料汇总于表4中，问该领导应如何拟定一个满意的方案。 表4 等级 I II III 合计 工资额（元/年） 2000 1500 1000 现有人数 10 12 15 37 编制人数 12 15 15 42 （要求建立模型，并用LINGO软件求解）

6. 用Matlab符号求解命令求微分方程的精确解，并用欧拉方法和龙格—库塔方法求微分方程数值解，画出解的图形，对结果进行分析比较。

12x2y''xy'(x2n2)y0,y2,y'（Bessel 方程，令n，精

222确解ysinx2）． x7．Lorenz方程是一个三阶的非线性系统，它是由描述大气动力系统的Navier-Stokes偏微分方程演化而来的。自由系统如下：

(yx)xxyxz yzzxy当系统参数,,在一定范围内，系统就出现混沌，如10，28，8/3时，出现混沌现象。求在初始条件[x(0),y(0),z(0)][5,13,17]时，方程组的数值解，并画出解的图形。

8．某商品前5年的销售量见表5。现希望根据前5年的统计数据预测第6年起该商品在各季度中的销售量。要求用差分方程和时间序列两种方法预测。

表5 年份 季度 1 2 3 4 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 11 12 13 15 16 16 18 20 24 25 25 26 27 30 32 12 14 15 15 17

9. 某地区山猫的数量在前连续114年的统计数据如表6所示。分析该数据，得出山猫的生长规律，并预测以后两个年度山猫的数量。

表6 山猫数据

269 184 6 2871 255 469 377 6313 674 485 321 279 1033 2119 473 736 1292 3794 71 662 585 409 2129 684 358 2042 4031 1836 80 1000 871 2285 2536 299 784 2811 3495 345 108 1520 1475 2685 957 236 1594 4431 537 382 229 2657 2821 3409 361 245 1676 2511 105 808 399 3396 3928 1824 377 552 2251 3 153 1388 1132 5943 409 225 1623 1426 73 387 2713 2432 4950 151 360 3311 756 39 758 3800 3575 2577 45 731 6721 299 49 1307 309 2935 523 68 1638 42 201 59 3465 2985 1537 98 213 2725 687 229 188 6991 3790 529 10．对于表7中的数据，求三次样条插值函数（要求写出具体的插值函数），并求插值函数与x1，x3及x轴所围曲边梯形的面积。

表7 x １ ２ ３ y 1.5 1 2.5

11. 用最小二乘法求一形如yae的经验公式拟合表8中的数据。

表8

bxxi 1 2 3 4 5 6 7 8 yi 15.3 20.5 27.4 36.6 49.1 65.6 87.87 117.6

12. 对某种商品的销量y进行调查，并考虑有关的四个因素：x1－居民可支配收入，x2－该商品的平均价格指数，x3－该商品的社会保有量，x4－其它消费品平均价格指数。表9是调查数据。利用主成分方法建立y与x1,x2,x3,x4的回归方程。

表9

序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x1 x2 x3 x4 y 82.9 88.0 99.9 105.3 117.7 131.0 148.2 161.8 174.2 184.7 92 93 96 94 100 101 105 112 112 112 17.1 21.3 25.1 29.0 34.0 40.0 44.0 49.0 51.0 53.0 94 96 97 97 100 101 104 109 111 111 8.4 9.6 10.4 11.4 12.2 14.2 15.8 17.9 19.6 20.8 13. （三因素方差分析）某集团为了研究商品销售点所在的地理位置、销售点处的广告和销售点的装潢这三个因素对商品的影响程度，选了三个位置（如市中心黄金地段、非中心的地段、城乡结合部），两种广告形式，两种装潢档次在四个城市进行了搭配试验。表10中是销售量的数据，试在显著水平0.05下，检验不同地理位置、不同广告、不同装潢下的销售量是否有显著差异？

表10 三因素方差数据

城市号 水平组合 1 955 2 967 3 960 4 980 A1B1C1 A1B1C2 A1B2C1 A1B2C2 A2B1C1 927 949 950 930 905 930 910 920 855 860 880 875 880 0 5 900 A2B1C2 A2B2C1 A2B2C2 860 840 850 830 870 865 850 860 830 850 840 830 A3B1C1 875 888 900 2 A3B1C2 A3B2C1 A3B2C2 870 850 847 965 870 863 845 855 821 842 832 848 14. 某商品的生产需要甲、乙两种原料，产品利润以及甲、乙两种原料的市场供给等数据如表11所示，试预测2004年甲的供应量为400千克，乙的供应量为500千克时的产品利润。（要求建立灰色GM(1,N)和GM(0,N)）。

表11 原始数据表 年度 i 甲原料（千克） 乙原料（千克）

15．表12是1999年中国省、自治区的城市规模结构特征的一些数据，试通过聚类分析将这些省、自治区进行分类。

表12 城市规模结构特征数据 省、自治区 京津冀 山西 内蒙古 辽宁 吉林 黑龙江 苏沪 浙江 安徽 福建 江西 山东 河南 湖北 湖南 广东 广西 海南 川渝 云南 城市规模 （万人） 699.70 179.46 111.13 3.60 211.34 259.00 923.19 139.29 102.78 108.50 129.20 173.35 151. 434.46 139.29 336. 96.12 45.43 365.01 146.00 城市首位度 1.4371 1.82 1.4180 1.9182 1.7880 2.3059 3.7350 1.8712 1.2333 1.7291 3.24 1.0018 1.4927 7.1328 2.3501 3.07 1.2288 2.1915 1.6801 6.6333 城市指数 0.93 1.0006 0.6772 0.81 1.0798 0.3417 2.0572 0.8858 0.5326 0.9325 1.1935 0.4296 0.6775 2.4413 0.8360 1.3863 0.6382 0.88 1.1486 2.3785 基尼系数 0.7804 0.5870 0.5158 0.5762 0.4569 0.5076 0.6208 0.4536 0.3798 0.4687 0.4519 0.4503 0.4738 0.5282 0.40 0.4020 0.5000 0.4136 0.5720 0.5359 城市规模中位值（万人） 10.880 11.780 17.775 26.320 19.705 23.480 22.160 12.670 27.375 11.120 17.080 21.215 13.940 19.190 14.250 22.195 14.340 8.730 18.615 12.250 1990 2000 1 83 146 2 131 212 2001 3 180 233 2002 4 195 259 2003 5 306 404 产品利润（元） 4383 7625 10500 11316 17818 贵州 陕西 甘肃 青海 宁夏 136.22 11.79 244.04 145.49 61.36 47.60 128.67 2.8279 4.1514 5.1194 4.7515 8.2695 1.5078 3.8535 1.2918 1.1798 1.9682 1.9366 0.8598 0.9587 1.6216 0.5984 0.6118 0.6287 0.5806 0.8098 0.4843 0.4901 10.470 7.315 17.800 11.650 7.420 9.730 14.470