五年河南高考理科数学真题

2012年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注息事项:

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效.

3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效· 4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合A{1,2,3,4,5}，B{(x,y)|xA,yA,xyA}，则B中所含元素的个数为

（A）3 （B）6 (C) 8 （D）10

（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有

（A）12种 （B）10种 (C) 9种 （D）8种 （3）下面是关于复数z2的四个命题： 1ip1:|z|2， p2:z22i，

p3:z的共轭复数为1i， p4:z的虚部为1。其中的真命题为

（A）p2，p3 (B)p1，p2 (C)p2，p4 (D)p3，p4

3ax2y2（4）设F1、F2是椭圆E:22(ab0)的左、右焦点，P为直线x上一点，

2abF2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为

（A）

1234 （B） （C） （D） 2345（5）已知{an}为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10（） （A）7 （B）5 （C）5 （D）7

1

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（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N2)和市属a1,a2,...,aN，输出A,B，则 （A）AB为a1,a2,...,aN的和 （B）

AB为a1,a2,...,aN的算术平均数 2（C）A和B分别是a1,a2,...,aN中最大的数和最小的数 （D）A和B分别是a1,a2,...,aN中最小的数和最大的数

（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 （A）6 （B）9 （C）12 （D）18

（8）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y216x的准线交于A,B两点，|AB|43，则C的实轴长为

（A）2 （B）22 （C）4 （D）8

)在(,)单调递减，则的取值范围是

4215131（A）[,] （B）[,] （C）(0,] （D）(0,2]

22424（9）已知0，函数f(x)sin(x

 2

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(10) 已知函数f(x)

1，则yf(x)的图像大致为

ln(x1)x（11）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为 （A）

2322 （B） （C） （D） 66321x

e上，点Q在曲线yln(2x)上，则|PQ|的最小值为 2（12）设点P在曲线y（A）1ln2 （B）2(1ln2) （C）1ln2 （D）2(1ln2)

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答。 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）已知向量a,b夹角为45，且|a|1，|2ab|10，则|b| xy1,xy3,(14) 设x,y满足约束条件则zx2y的取值范围为

x0,y0,（15）某个部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3

正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布

N(1000,502)，且各个部件能否正常相互

，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为

元件1元件3元件2 3

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（16）数列{an}满足an1(1)nan2n1，则的前60项和为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，acosC3asinCbc0。 （Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若a2，ABC的面积为3，求b,c。

（18）（本小题满分12分）

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。

（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，nN）的函数解析式。

（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

14 15 16 17 18 19 日需求量n 频数 10 20 16 16 15 13 20 10 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。

（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差； （ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。

C1

（19）（本小题满分12分）

B11如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCAA1，D是棱AA1的

2中点，DC1BD。 （Ⅰ）证明：DC1BC

（Ⅱ）求二面角A1BDC1的大小。 （20）（本小题满分12分）

A1DCAB设抛物线C:x2py(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B,D两点。

（Ⅰ）若BFD90，ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；

2（Ⅱ）若A,B,F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共

点，求坐标原点到m，n距离的比值。

4

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（21）（本小题满分12分）

已知函数f(x)满足f(x)f'(1)ex1f(0)x12x 2（Ⅰ）求f(x)的解析式及单调区间； （Ⅱ）若f(x)

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 A如图，D,E分别为ABC边AB，AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于F,G两点。若CF//AB，证明： （Ⅰ）CDBC；

（Ⅱ）BCDGBD。

(23)(本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程

GDEF12xaxb，求(a1)b的最大值 2BCx2cos,(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正已知曲线C1的参数方程是C1y3sin,半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程是2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A,B,C,D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,（Ⅰ）求点A,B,C,D的直角坐标；

（Ⅱ）设P为C1上任意一点，求|PA||PB||PC||PD||的取值范围。

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数f(x)|xa||x2|。 （Ⅰ）当a3时，求不等式f(x)3的解集；

（Ⅱ）若f(x)|x4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围。

22223)。

5

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2011年普通高等学校招生全国统一考试（河南卷）

理科数学

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1)复数

2i的共轭复数是 12i（A）i （B）i （C）i （D）i

3535（0，+）（2）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是

（A）yx3 (B) yx1 （C）yx21 (D) y2x （3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的

p是

（A）120 （B）720 （C）1440 （D）5040

（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

1123（A） （B） （C） （D）

3234（5）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则

cos2=

4334（A） （B） （C） （D）

5555

6

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（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的俯视图可以为

（7）设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为

（A）2 （B）3 （C）2 （D）3

a1（8）x2x的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为

xx（A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40 （9）由曲线yx，直线yx2及y轴所围成的图形的面积为

（A）

1016 （B）4 （C） （D）6 335（10）已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题

2P:ab10,132 P:ab1, 23P3:ab10, P4:ab1,

33其中的真命题是

（A）P1,P3 （C）P1,P4 （B）P2,P3 （D）P2,P4

7

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x)(0,（11）设函数f(x)sin(x)cos(且f(x)f(x)，则

2)的最小正周期为，

3 （A）f(x)在0,单调递减 （B）f(x)在,244 （C）f(x)在0,单调递增

23（D）f(x)在,44单调递减 单调递增 (12)函数y之和等于

1的图像与函数y2sinx(2x4)的图像所有交点的横坐标x1 （A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

32xy9,（13）若变量x,y满足约束条件则zx2y的最小值为 。

6xy9,（14）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1,F2在x轴上，离心率为

2。过F1的直线L交C于A,B两点，且VABF2的周长为16，那么C的2方程为 。

（15）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB6,BC23,则棱锥OABCD的体积为 。

（16）在VABC中，B60,AC3，则AB2BC的最大值为 。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

等比数列an的各项均为正数，且2a13a21,a329a2a6.

（Ⅰ)求数列an的通项公式；

8

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1（Ⅱ）设 bnlog3a1log3a2......log3an,求数列的前n项和.

bn(18)(本小题满分12分)

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四

边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD；

(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

（19）（本小题满分12分）

某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；

（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为

从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学

期望.（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）

（20）（本小题满分12分）

uuuruur 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA，

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uuuruuuruuuruurMAABMBBA，M点的轨迹为曲线C。

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。

（21）（本小题满分12分）

已知函数f(x)alnxb，曲线yf(x)在点(1,f(1处))的切线方程为x1xx2y30。

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）如果当x0，且x1时，f(x)

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重合。已知AE的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x14xmn0的两个根。 （Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；

（Ⅱ）若A90，且m4,n6，求C，B，D，E所在圆的半径。

(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为

2lnxk，求k的取值范围。 x1xx2cos（为参数） y22sinuuuvuuuvM是C1上的动点，P点满足OP2OM,P点的轨迹为曲线C2

(Ⅰ)求C2的方程

(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线

3与C1的异于极点

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的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.

(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

设函数f(x)xa3x,其中a0。

（Ⅰ）当a1时，求不等式f(x)3x2的解集； （Ⅱ）若不等式f(x)0的解集为x|x1 ，求a的值。

2011参

一、选择题

（1）C （2）B （3）B （4）A （5）B （6）D （7）B （8）D （9）C （10）A （11）A （12）D 二、填空题

（13）-6 （14）

x2y21681 （15）83 （16）27三、解答题 （17）解：

（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a23239a2a6得a39a所以q2149。 由条件可知a>0,故q13。 由2a得2a113a2113a2q1，所以a13。 故数列{a1n}的通项式为an=

3n。 （Ⅱ ）bnlog3a1log3a2...log3an

11

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(12...n) n(n1)2故

12112() bnn(n1)nn1111111112n ...2((1)()...())b1b2bn223nn1n1所以数列{(18)解：

（Ⅰ）因为DAB60,AB2AD, 由余弦定理得BD3AD 从而BD+AD= AB，故BDAD 又PD底面ABCD，可得BDPD 所以BD平面PAD. 故 PABD

（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，则

2

2

2

2n1 }的前n项和为n1bnA1,0,0,B0，3,0,C1,3,0,P0,0,1。 uuuvuuvuuuvAB(1,3,0),PB(0,3,1),BC(1,0,0)

设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则{uuurnAB0,uuurnPB0,

即 x3y03yz0

因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC的法向量为m，则 {uuurmPB0,uuur mBC0,可取m=（0，-1，3） cosm,n427 727故二面角A-PB-C的余弦值为 （19）解

27 712

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（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。

由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为方生产的产品的优质品率的估计值为0.42

228=0.3，所以用A配10032100.42，所以用B配100（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间

90,94,94,102,102,110的频率分别为0.04，,0,0.42，因此

P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0., P(X=4)=0.42, 即X的分布列为

X的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.+4×0.42=2.68 (20）解：

(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).

所以uMAuur=（-x,-1-y）, uuuMBr=(0,-3-y), uuABur=(x,-2).

再由题意可知（uMAuur+uuuMBr）• uuABur=0, 即（-x,-4-2y）• (x,-2)=0.

所以曲线C的方程式为y=14x2-2. (Ⅱ)设P(x,y12'1100)为曲线C：y=4x-2上一点，因为y=2x,所以l的斜率为2x0 因此直线l的方程为yy1202x0(xx0)，即x0x2y2y0x00。

|2y2则O点到l的距离d0x0|.又x20104y4x202，所以 1x204d2x241(x2404x)2,

02204当x20=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.

（21）解：

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(（Ⅰ）f'(x)x1lnx)bx

(x1)2x2

f(1)1,1由于直线x2y30的斜率为，且过点(1,1)，故1即

2f'(1),2b1,a1

b,22

解得a1，b1。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)lnx1，所以 x1x

lnxk1(k1)(x21)f(x)()(2lnx)。 2x1x1xx(k1)(x21)(x0)，则 考虑函数h(x)2lnxx(k1)(x21)2xh'(x)。

x2k(x21)(x1)2(i)设k0，由h'(x)知，当x1时，h'(x)0。而h(1)0，故 2x1h(x)0； 1x21当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0 21xlnxklnxk从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.

x1xx1x12 '（ii）设00,故h (x）>0,而

1k11h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。

1k1x2当x(0,1)时，h(x)0，可得

（iii）设k1.此时h（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得

'1 h（x）<0,与题设矛盾。 1x2 综合得，k的取值范围为（-，0] （22）解：

（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，

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AD×AB=mn=AE×AC, 即

ADAE.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB ACAB因此∠ADE=∠ACB

所以C,B,D,E四点共圆。

（Ⅱ）m=4, n=6时，方程x-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.

故 AD=2，AB=12.

取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.

由于∠A=90，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF= 故C,B,D,E四点所在圆的半径为52 （23）解：

（I）设P(x,y),则由条件知M(

0

2

1(12-2)=5. 2XY

,).由于M点在C1上，所以 22

x2cos,x4cos2 即  yy44sin22sin2从而C2的参数方程为

x4cos（为参数） y44sin（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为4sin，曲线C2的极坐标方程为8sin。 射线射线3与C1的交点A的极径为14sin与C2的交点B的极径为28sin3， 。

33所以|AB||21|23. （24）解：

（Ⅰ）当a1时，f(x)3x2可化为

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|x1|2。

由此可得 x3或x1。 故不等式f(x)3x2的解集为

{x|x3或x1}。

( Ⅱ) 由f(x)0 得 xa3x0 此不等式化为不等式组

xaxaxa3x0 或 ax3x0xaxa即 xa 或4aa 2因为a0，所以不等式组的解集为x|xa2

由题设可得a2= 1，故a2

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2010年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修II）

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式

PABPAPB

S4R2

如果事件A、B相互，那么 其中R表示球的半径 PABPAPB 球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 v4R3 3n 次重复试验中事件A恰好发生K次的概率 其中R表示球的半径

C10,1,2, ,一． 选择题

32i（1）复数=

23i （A）．i （B）.-i （C）.12—13i （D）.12+13i （2） 记cos（-80°）=k，那么tan100°=

1k2 （A）． （B）. —

k（C.）

1k2 k

k1k2 （D）.—k1k2（3）若变量x，y满足约束条件则z=x—2y的最大值为

（A）．4 （B）3 （C）2 （D）1

(4) 已知各项均为正数比数列{an}中，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6= (A) 52 (5) (1+2(B) 7

(C) 6

(D) 42 x)3(1-3x)5的展开式中x的系数是

(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4

(6) 某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从选3门。若要求两类课程中各至少一门，则不同的选法共有

（A）30种 （B）35种 （C）42种 （D）48种 （7）正方体ABCDA1BC11D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为

17

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（A）

2236 （B） （C） （D） 333312（8）设a10g32,b1n2,c5则

（A）abc （B）bca （C）cab （D）cba

22（9）已知F右焦点，点在P在C上，F1、F2为双曲线C:1的左、1PF260°，

则P到轴的距离为

（A）

36 （B） （C）3 （D）6 22（10）已知函数f()|1g|，若0ab，且f(a)f(b)，则a2b的取值范围是

[3,) （A）(22,) （B）[22,) （C）(3,) （D）（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PA〃PB

的最小值为

（A）-4+2 （B）-3+2 （C）-4+22 （D）-3+22 （12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的

最大值

(A)234383 (B) (C)23 (D) 333第Ⅱ卷

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

（13）不等式2x21x≤1的解集是 。 （14）已知a为第三象限的角，cos2a，则tan(3542a) 。

2（15）直线y＝1与曲线yxxa有四个交点，则a的取值范围是 。

（16）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，

且BF2FD，则C的离心率为 。

三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效）

．．．．．．．．．．．．

已知△ABC的内角A,B及其对边a,b满足abacotAbcotB，求内角C。

18

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（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

．．．．．．．．．．．．

投到某杂志的稿件，先由两位专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用。设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3。各专家评审。

（Ⅰ）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

（Ⅱ）记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望。 （19） （本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效）

．．．．．．．．．

如图，四棱锥S-ABCD 中，SD底面ABCD，ABDC，ADDC，AB=AD=1,DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC.

(Ⅰ) 证明：SE=2EB

(Ⅱ) 求二面角A-DE-C的大小。

（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无．．．．．．．．效） ．

已知函数f（x）=（x+1）Inx-x+1.

(Ⅰ)若xf（x）≤x+ax+1，求a的取值范围； (Ⅱ)证明：（x-1）f(x)≥0

`2（21）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

已知抛物线C y2=4x的焦点为F，过点K（-1,0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D.

(Ⅰ)证明：点F在直线BD上；

8(Ⅱ)设FAFB=，求△BDK的内切圆M,的方程.

9（22）（求本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

已知数列a中 a11,an1c1 an(Ⅰ)设c=

511,bnbn,求数列bn的通项公式； 2an2an2(Ⅱ)求使不等式anan13成立的c的取值范围。

19

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2009年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修Ⅱ）

本试卷分第错误！未找到引用源。卷（选择题）和第错误！未找到引用源。卷（非选择题）两部分．第错误！未找到引用源。卷1至2页，第错误！未找到引用源。卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

考生注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．

．．．．．．．．．

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

参考公式： 如果事件A，B互斥，那么 球的表面积公式

P(AB)P(A)P(B)

S4πR2

如果事件A，B相互，那么 其中R表示球的半径

20

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P(AB)P(A)P(B)

球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V43πR 3n次重复试验中恰好发生k次的概率

kknkP(k01，,2，，n) n(k)CnP(1P)

其中R表示球的半径

一、选择题

(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合[u（AB）中的元素共有

（A）3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个 （2）已知

Z=2+I,则复数z= 1＋i（A）-1+3i (B)1-3i (C)3+I (D)3-i (3) 不等式

X1

＜1的解集为 X1

（A）｛x0x1xx1 (B)x0x1

（C）x1x0 (D)xx0

x2y22

(4)设双曲线221（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x+1相切，则该双曲线的离心

ab率等于

（A）3 （B）2 （C）5 （D）6

(5) 甲组有5名同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有 （A）150种 （B）180种 （C）300种 (D)345种 （6）设a、b、c是单位向量，且a·b＝0，则（A）2（B）22 （C）1 (D)12 （7）已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为

acbc的最小值为

（A）3357（B） （C） (D)

4444 21

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（8）如果函数y＝3cos2x＋的图像关于点（A）

4，0中心对称，那么的最小值为 3 （B） （C） (D) 32 (9) 已知直线y=x+1与曲线yln(xa)相切，则α的值为 (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2

（10）已知二面角α-l-β为600 ，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为3，Q到α的距离为23，则P、Q两点之间距离的最小值为 (A)2 (B)2 (C) 23 (D)4

（11）函数f(x)的定义域为R，若f(x1)与f(x1)都是奇函数，则 (A) f(x)是偶函数 (B) f(x)是奇函数 (C) f(x)f(x2) (D) f(x3)是奇函数

x2y21的又焦点为F，右准线为L，点AL,线段AF 交C与点B。（12）已知椭圆C: 2若FA3FB,则AF=

(A)2 (B)2 (C)

3 (D)3 第Ⅱ卷

注意事项：

1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．

2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，

在试题卷上作答无效． ．．．．．．．．．

3．本卷共10小题，共90分．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

22

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(13) (xy)10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 . (14)设等差数列an的前n项和为sn.若s9=72,则a2a4a9= . (15)直三棱柱ABC-A1B1C1各顶点都在同一球面上.若ABACAA12,∠

BAC=120，则此球的表面积等于 .

(16)若

4＜X＜2,则函数ytan2xtan3x的最大值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） （注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．． 在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c ，已知

ac2b，且

sinAcosC3cosAsinC，求b.

18．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

如图，四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=2，DC=SD=2.点M在侧棱SC上，∠ABM=60.

0(Ⅰ)证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S—AM—B的大小。

(19)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）

．．．．．．．．．

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设

在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互。已知前2局中，甲、乙各胜1局。

（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；

（2）设 表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求 的分布列及数学期望。（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

．．．．．．．．．

1n＋1. a＋’n2n在数列an中， a1＝1’an＋1＝1＋ 23

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设bn＝nn，求数列bn的通项公式； 求数列an的前n项和sn.

21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

如图，已知抛物线E:y2x与圆M:(x4)2y2r2(r＞0）相交于A、B、C、D四个点。

a（I）求r的取值范围： (II)当四边形ABCD的面积最大时，求对角线

A、B、C、D的交点p的坐标。

22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

设函数f(x)x33bx23cx有两个极值点x1，x21，0，且x21,2. （Ⅰ）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）和区域；

(Ⅱ)证明：10≤f(x2)≤-1 2

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2008年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）

理科数学（必修+选修Ⅱ）

一、选择题 1．函数yx(x1)x的定义域为（ ）

A．x|x≥0 B．x|x≥1 C．x|x≥10 解：C. 由xx10,x0,得x1,或x0;

D．x|0≤x≤1

2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是（ ） s

s

s

s

O A．

t O B．

t O C．

t O D．

t

解：A． 根据汽车加速行驶s

121at，匀速行驶svt，减速行驶svtat2结合函数2225

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图像可知；

3．在△ABC中，ABc，ACb．若点D满足BD2DC，则AD（ ）

21522112bc B．cb C．bc D．bc 3333333312解：A. 由ADAB2ACAD，3ADAB2ACc2b，ADcb；

33A．

4．设aR，且(ai)2i为正实数，则a（ ） A．2

B．1

2

2C．0

D．1

解：D.aiia2ai1i2aa1i0,a1

25．已知等差数列an满足a2a44，a3a510，则它的前10项的和S10（ ） A．138

B．135

C．95

D．23

解：C. 由a2a44,a3a510a14,d3,S1010a145d95；

6．若函数yf(x1)的图像与函数ylnx1的图像关于直线yx对称，则f(x)（ ） A．e2x1

B．e

2xC．e2x1

D．e2x2

解：B.由ylnx1xe7．设曲线yA．2

2y1,fx1e2x1,fxe2x；

x12)处的切线与直线axy10垂直，则a（ ） 在点(3，x111B． C． D．2

22解：D. 由yx12211,y',y'|,a2,a2； x32x1x12x1π的图像，只需将函数ysin2x的图像（ ） 3

8．为得到函数ycos2x5π个长度单位 125πC．向左平移个长度单位

6A．向左平移解：A. ycos2x5π个长度单位 125π D．向右平移个长度单位

6

B．向右平移

5sin2x365sin2x,

12 26

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只需将函数ysin2x的图像向左平移

5ππ个单位得到函数ycos2x的图像. 123f(x)f(x)0的解

x)上为增函数，且f(1)0，则不等式9．设奇函数f(x)在(0，集为（ ）

，0)(1，) B．(，1)(0，1) C．(，1)(1，) A．(1，0)(01)， D．(1解：D 由奇函数f(x)可知

f(x)f(x)2f(x)0，而f(1)xx0则，

f(1)f(1，)当x0时，f(x)0f(1)；当x0时，f(x)0f(1)，又f(x))上为增函数，则奇函数f(x)在(,0)上为增函数，0x1,或1x0. 在(0，xy1通过点M(cos，sin)，则（ ） ab112222A．ab≤1 B．ab≥1 C．22≤1

ab10．若直线

解：D．由题意知直线

D．

11≥1 a2b2xy1与圆x2y21有交点，则ab11ab111a2b2≤1,112≥1. 2ab另解：设向量m=(cos,sin),n=(,)，由题意知

cossin1 ab由mn≤mn可得1cossin11≤2 2ababABC内的射影为11．已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（ ）

A．

1 3 B．

2 3 C．

3 3D．

2 3解：B．由题意知三棱锥A1ABC为正四面体， 设棱长为a，则AB13a，棱柱的高AO12326a2AO2a2(a)a（等

323于点B1到底面ABC的距离B1D），故AB1与底面ABC所成角的正弦值为

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B1DAO2. 1AB1AB13060另解：设AB,AC,AA为空间向量的一组基底，的两两间的夹角为， AB,AC,AA1111长度均为a，平面ABC的法向量为OA1AA1ABAC,AB1ABAA1

33226OA1AB1a,OA1,AB13，则AB1与底面ABC所成角的正弦值为

33OA1AB12. 3AOAB1112．如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A．96

B．84

C．60

D．48

A B D C 23解：B.分三类：种两种花有A4种种法；种三种花有2A4种种法； 2344种四种花有A4种种法.共有A42A4A484.

另解：按ABCD顺序种花，可分A、C同色与不同色有43(1322)84 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

xy≥0，13若x，y满足约束条件xy3≥0，则z2xy的最大值为 ．答案：9

0≤x≤3，解：可行域如图, z2x-y的最大值对应直线y2xz截距的最小值. 所以在顶点B(3,3)处取最大值zmax23(3)9

14．已知抛物线yax1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．答案：2.

21111)为坐标原点得，a，则yx21 4a441与坐标轴的交点为(0,1),(2,0),(2,0)，则以这三点围成的三角形的面积为412

2715．在△ABC中，ABBC，cosB．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该

182解：由抛物线yax1的焦点坐标为 (0, 28

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椭圆的离心率e ．答案：解：设ABBC1，cosB3 8725222则ACABBC2ABBCcosB 15582c3AC，2a1,2c1,e.

3332a816．等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角CABD的余弦值为

3，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于 答案：31． 6OHAB，则CHAB，解：设AB2，作CO面ABDE， CHO为二面角CABD的平面角，

CH3,OHCHcosCHO1，结合等边三角形ABC

与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥， 则ANEMCH3 11111AN(ACAB),EMACAE,ANEM(ABAC)(ACAE)

22222ANEM1故EM，AN所成角的余弦值

ANEM6

另解：以O为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则点A(1,1,0),B(1,1,0),E(1,1,0),C(0,0,2),

112112M(,,),N(,,),

2222223121321),EM(,,),ANEM,ANEM3, 则AN(,,2222222ANEM1故EM，AN所成角的余弦值.

ANEM6

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）

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设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosBbcosA（Ⅰ）求tanAcotB的值； （Ⅱ）求tan(AB)的最大值．

解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理及acosBbcosA可得sinAcosBsinBcosA3c． 53c 53333sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB 5555即sinAcosB4cosAsinB，则tanAcotB4； （Ⅱ）由tanAcotB4得tanA4tanB0

tanAtanB3tanB33≤

1tanAtanB14tan2BcotB4tanB41当且仅当4tanBcotB,tanB,tanA2时，等号成立，

213故当tanA2,tanB时，tan(AB)的最大值为.

24tan(AB)

18．（本小题满分12分）

四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC底面BCDE，

A

BC2，CD2，ABAC．

B （Ⅰ）证明：ADCE；

（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45，求二面角CADE的大小． 解：（1）取BC中点F，连接DF交CE于点O，

E D

C

ABAC，AFBC，

又面ABC面BCDE，AF面BCDE，

AFCE．tanCEDtanFDC2， 2A OEDODE90，DOE90，即CEDF，

CE面ADF，CEAD．

（2）在面ACD内过C点作AD的垂线，垂足为G．

B F G E CGAD，CEAD，AD面CEG，EGAD， 则CGE即为所求二面角的平面角．

C O D 18题图 30

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CG630ACCD2322，DG，EGDEDG， 33AD3CG2GE2CE210， CE6，则cosCGE2CGGE101010CADECGEπarccosπarccos，即二面角的大小1010．



19．（本小题满分12分）

已知函数f(x)x3ax2x1，aR． （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）设函数f(x)在区间，内是减函数，求a的取值范围． 解：（1）f(x)x3ax2x1求导：f(x)3x22ax1 当a22313≤3时，≤0，f(x)≥0，f(x)在R上递增

aa23当a3，f(x)0求得两根为x

32aa23aa23aa23，即f(x)在，递增，递减，

333aa23，递增 3a（2）a

20．（本小题满分12分）

已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．

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a232≤33a31≥332，且a23解得：a≥2

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方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．

（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，求的期望．

解：（Ⅰ）分别用Ai、Bi表示依甲、乙方案需要化验i次，则： P(A1)141143114322,P(A2),P(A3),P(A4)。 553535次数 概率 1 0.2 2 0.2 3 0.2 4 0.4 32121C4C4C1C4C223132P(B2)3310.6，P(B3)310.4

C5C5C3553C5C353次数 概率 2 0.6 3 0.4 P(A)P(甲2乙2）P(甲3次及以上）0.20.60.60.72．

（Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，的期望为E20.630.42.4．

21．（本小题满分12分）

双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1AB、OB成等差数列，且BF与FA同向． 的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知OA、（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 解：（Ⅰ）设OAmd，ABm，OBmd 由勾股定理可得：(md)m(md) 得：d2221bAB4m，tanAOF，tanAOBtan2AOF 4aOA3 32

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ba4，解得b1,则离心率e5． 由倍角公式2a232b1a2ax2y2（Ⅱ）过F直线方程为y(xc),与双曲线方程221联立

bab将a2b，c5b代入，化简有

15285xx210 4b2b2a2a2 41x1x21(xx)4x1x212bb325b228b2,解得b3 将数值代入，有454515x2y21。 故所求的双曲线方程为

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22．（本小题满分12分）

设函数f(x)xxlnx．数列an满足0a11，an1f(an)．

1)是增函数； （Ⅰ）证明：函数f(x)在区间(0，（Ⅱ）证明：anan11； （Ⅲ）设b(a1，1)，整数k≥a1b．证明：ak1b． a1lnb解：（Ⅰ）证明：f(x)xxlnx，f'xlnx,当x0,1时，f'xlnx0 故函数fx在区间(0,1)上是增函数；

（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，0a11，a1lna10，

a2f(a1)a1a1lna1a1

1)是增函数，且函数f(x)在x1处连续，则f(x)在区间(0，1]是增由函数f(x)在区间(0，函数，a2f(a1)a1a1lna11，即a1a21成立；

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（ⅱ）假设当xk(kN*)时，akak11成立，即0a1≤akak11 那么当nk1时，由f(x)在区间(0，1]是增函数，0a1≤akak11得

f(ak)f(ak1)f(1).而an1f(an)，则ak1f(ak),ak2f(ak1)，

ak1ak21，也就是说当nk1时，anan11也成立；

根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n，anan11恒成立. （Ⅲ）证明：由f(x)xxlnx．an1f(an)可得

kak1bakbaklnaka1bailnai i11， 若存在某i≤k满足ai≤b，则由⑵知：ak1baib≥0 2， 若对任意i≤k都有aib，则ak1bakbaklnak kkka1bailnaia1bailnba1b(ai)lnba1bka1lnb i1i1i1a1bka1lnba1b(a1b)0，即ak1b成立.

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