六、函数综合结论
1.（2019•岳阳）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（ ） A．c＜﹣3
B．c＜﹣2
C．c＜
D．c＜1
解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个实数根， 且x1＜1＜x2， 整理，得：x2+x+c＝0， 则
解得c＜﹣2， 故选：B．
2.（2019•常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），P是二次函数y＝x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y＝﹣1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是 ①④ ．（填序号）
解：①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确； ②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误； ③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误； ④设点P（m，m2），则Q（m，﹣1）， ∴MP＝
∵点P在第一象限， ∴m＞0， ∴MP＝
+1，
＝
，PQ＝
+1，
．
∴MP＝PQ，
- 1 -
又∵MN∥PQ，
∴四边形PMNQ是广义菱形． ④正确； 故答案为①④；
3.（2019•青岛）已知反比例函数y＝
的图象如图所示，则二次函数y＝ax2﹣2x和一次函数y＝bx+a在
同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
解：∵当x＝0时，y＝ax2﹣2x＝0，即抛物线y＝ax2﹣2x经过原点，故A错误； ∵反比例函数y＝
的图象在第一、三象限，
∴ab＞0，即a、b同号，
当a＜0时，抛物线y＝ax2﹣2x的对称轴x＝＜0，对称轴在y轴左边，故D错误； 当a＞0时，b＞0，直线y＝bx+a经过第一、二、三象限，故B错误，C正确． 故选：C．
4.（2019•潍坊）抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ） A．2≤t＜11
B．t≥2
C．6＜t＜11
D．2≤t＜6
解：∵y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1， ∴b＝﹣2， ∴y＝x2﹣2x+3，
∴一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看做y＝x2﹣2x+3与函数y＝t的有交点，
- 2 -
∵方程在﹣1＜x＜4的范围内有实数根， 当x＝﹣1时，y＝6； 当x＝4时，y＝11；
函数y＝x2﹣2x+3在x＝1时有最小值2； ∴2≤t＜11； 故选：A．
5.（2019•德州）在下列函数图象上任取不同两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），一定能使是（ ）
A．y＝3x﹣1（x＜0） C．y＝﹣
（x＞0）
B．y＝﹣x2+2x﹣1（x＞0） D．y＝x2﹣4x+1（x＜0）
＜0成立的
解：A、∵k＝3＞0
∴y随x的增大而增大，即当x1＞x2时，必有y1＞y2 ∴当x＜0时，故A选项不符合； B、∵对称轴为直线x＝1，
∴当0＜x＜1时y随x的增大而增大，当x＞1时y随x的增大而减小， ∴当0＜x＜1时：当x1＞x2时，必有y1＞y2 此时
＞0，
＞0，
故B选项不符合；
C、当x＞0时，y随x的增大而增大， 即当x1＞x2时，必有y1＞y2 此时
＞0，
故C选项不符合； D、∵对称轴为直线x＝2， ∴当x＜0时y随x的增大而减小， 即当x1＞x2时，必有y1＜y2
- 3 -
此时＜0，
故D选项符合； 故选：D．
6.（2019•济宁）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是 x＜﹣3或x＞1 ．
解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点， ∴﹣m+n＝p，3m+n＝q，
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（1，p），Q（﹣3，q）两点，
观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c的下方， ∴不等式ax2+mx+c＞n的解集为x＜﹣3或x＞1． 故答案为：x＜﹣3或x＞1．
7.（2019•临沂）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论： ①小球在空中经过的路程是40m； ②小球抛出3秒后，速度越来越快； ③小球抛出3秒时速度为0； ④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s． 其中正确的是（ ）
- 4 -
A．①④
B．①②
C．②③④
D．②③
解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①错误； ②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确； ③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确； ④设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，
把O（0，0）代入得0＝a（0﹣3）2+40，解得a＝﹣，
∴函数解析式为h＝﹣
（t﹣3）2+40，
把h＝30代入解析式得，30＝﹣（t﹣3）2+40，
解得：t＝4.5或t＝1.5，
∴小球的高度h＝30m时，t＝1.5s或4.5s，故④错误； 故选：D．
8.（2019•攀枝花）在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（A． B．
C．
D．
解：由方程组得ax2＝﹣a，
∵a≠0
∴x2＝﹣1，该方程无实数根，
故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．
- 5 -
）A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；
C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确； D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错． 故选：C．
9.（2019•泸州）已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7（其中x是自变量）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（ ） A．a＜2
B．a＞﹣1
C．﹣1＜a≤2
D．﹣1≤a＜2
解：y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7＝x2﹣2ax+a2﹣3a+6， ∵抛物线与x轴没有公共点，
∴△＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣3a+6）＜0，解得a＜2， ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣
＝a，抛物线开口向上，
而当x＜﹣1时，y随x的增大而减小， ∴a≥﹣1，
∴实数a的取值范围是﹣1≤a＜2． 故选：D．
10.（2019•广元）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0），（0，2），且顶点在第一象限，设M＝4a+2b+c，则M的取值范围是 ﹣6＜M＜6 ．
解：将（﹣1，0）与（0，2）代入y＝ax2+bx+c， ∴0＝a﹣b+c，2＝c， ∴b＝a+2， ∵
＞0，a＜0，
∴b＞0， ∴a＞﹣2， ∴﹣2＜a＜0，
- 6 -
∴M＝4a+2（a+2）+2 ＝6a+6 ＝6（a+1） ∴﹣6＜M＜6， 故答案为：﹣6＜M＜6；
11.（2019•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段OA上一点，将△OCG沿CG翻折，O点恰好落在对角线AC上的点P处，反比例函数y＝
经过点B．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过C（0，3）、G、A三点，
x+3 ．（填一般式）
则该二次函数的解析式为 y＝x2﹣
解：点C（0，3），反比例函数y＝则OC＝3，OA＝4， ∴AC＝5，
设OG＝PG＝x，则GA＝4﹣x，PA＝AC﹣CP＝AC﹣OC＝5﹣3＝2， 由勾股定理得：（4﹣x）2＝4+x2， 解得：x＝，故点G（，0），
经过点B，则点B（4，3），
将点C、G、A坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故答案为：y＝x2﹣
x+3．
12.（2019•南充）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a＞0，顶点坐标为（，m），给出下列结论：①若点（n，y1）与（﹣2n，y2）在该抛物线上，当n＜时，则y1＜y2；②关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0无实数解，那么（ ） A．①正确，②正确 C．①错误，②正确
B．①正确，②错误 D．①错误，②错误
- 7 -
解：①∵顶点坐标为（，m），n＜，
∴点（n，y1）关于抛物线的对称轴x＝的对称点为（1﹣n，y1）， ∴点（1﹣n，y1）与（﹣2n，y2）在该抛物线上， ∵（1﹣n）﹣（﹣2n）＝n﹣＜0， ∴1﹣n＜﹣2n， ∵a＞0，
∴当x＞时，y随x的增大而增大， ∴y1＜y2，故此小题结论正确；
②把（，m）代入y＝ax2+bx+c中，得m＝a+b+c，
∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0中，△＝b2﹣4ac+4am﹣4a＝b2﹣4ac+4a（a+b+c）﹣4a＝（a+b）
2
﹣4a＜0，
∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0无实数解，故此小题正确； 故选：A．
13.（2019•宜宾）已知抛物线y＝x2﹣1与y轴交于点A，与直线y＝kx（k为任意实数）相交于B，C两点，则下列结论不正确的是（ ）
A．存在实数k，使得△ABC为等腰三角形
B．存在实数k，使得△ABC的内角中有两角分别为30°和60° C．任意实数k，使得△ABC都为直角三角形 D．存在实数k，使得△ABC为等边三角形
解：A、如图1，可以得△ABC为等腰三角形，正确；
- 8 -
B、如图3，∠ACB＝30°，∠ABC＝60°，可以得△ABC的内角中有两角分别为30°和60°，正确；
C、如图2和3，∠BAC＝90°，可以得△ABC为直角三角形，正确；
D、不存在实数k，使得△ABC为等边三角形，不正确； 本题选择结论不正确的， 故选：D．
14.（2019•资阳）如图是函数y＝x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象，直线l∥x轴且过点（0，m），将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1
B．m≤0
C．0≤m≤1
D．m≥1或m≤0
解：如图1所示，当t等于0时， ∵y＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点坐标为（1，﹣4）， 当x＝0时，y＝﹣3， ∴A（0，﹣3），
- 9 -
当x＝4时，y＝5， ∴C（4，5）， ∴当m＝0时， D（4，﹣5），
∴此时最大值为0，最小值为﹣5； 如图2所示，当m＝1时， 此时最小值为﹣4，最大值为1． 综上所述：0≤m≤1， 故选：C．
15.（2019•达州）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；
②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m； ④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为
+
．
其中正确判断的序号是 ①③④ ．
解：①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，得x2﹣2x+1＝0，∵△＝4﹣4＝0，∴此方程两个相等的实数根，则抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故此小题结论正确；
②∵抛物线的对称轴为x＝1，∴点P（2，y3）关于x＝1的对称点为P′（0，y3），∵a＝﹣1＜0，∴
- 10 -
当x＜1时，y随x增大而减小，又∵﹣2＜0＜，点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P′（0，y3）在该函数图象上，∴y2＜y3＜y1，故此小题结论错误；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+2（x+2）x+m+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2+m，故此小题结论正确；
④当m＝1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+2，∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），作点B关于y轴的对称点B′（﹣1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2，﹣2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，
则BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度一定，∴此时，四边形BCDE周长＝B′C′+BC最小，为：
，故此小题结论正确；
故答案为：①③④．
- 11 -
16.（2019•杭州）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
解：A、由①可知：a＞0，b＞0．
∴直线②经过一、二、三象限，故A正确； B、由①可知：a＜0，b＞0．
∴直线②经过一、二、三象限，故B错误； C、由①可知：a＜0，b＞0．
∴直线②经过一、二、四象限，交点不对，故C错误； D、由①可知：a＜0，b＜0，
∴直线②经过二、三、四象限，故D错误． 故选：A．
17.（2019•杭州）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（ ） A．M＝N﹣1或M＝N+1 C．M＝N或M＝N+1
B．M＝N﹣1或M＝N+2 D．M＝N或M＝N﹣1
解：∵y＝（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab， ∴△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，
∴函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点， ∴M＝2，
∵函数y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，
∴当ab≠0时，△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N；
- 12 -
当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝（ax+1）（bx+1）＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1； 综上可知，M＝N或M＝N+1． 故选：C．
18.（2019•嘉兴）小飞研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时如下结论： ①这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上；
②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形； ③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2； ④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2． 其中错误结论的序号是（ ） A．①
B．②
C．③
D．④
解：二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数） ①∵顶点坐标为（m，﹣m+1）且当x＝m时，y＝﹣m+1 ∴这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上 故结论①正确；
②假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形 令y＝0，得﹣（x﹣m）2﹣m+1＝0，其中m≤1 解得：x＝m﹣
，x＝m+
∵顶点坐标为（m，﹣m+1），且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形 ∴|﹣m+1|＝|m﹣（m﹣）|
解得：m＝0或1
∴存在m＝0或1，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形 故结论②正确； ③∵x1+x2＞2m ∴
∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）的对称轴为直线x＝m ∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离 ∵x1＜x2，且﹣1＜0 ∴y1＞y2 故结论③错误；
④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，且﹣1＜0
- 13 -
∴m的取值范围为m≥2． 故结论④正确． 故选：C．
19.（2019•台州）已知某函数的图象C与函数y＝的图象关于直线y＝2对称．下列命题：①图象C与函数y＝的图象交于点（，2）；②点（，﹣2）在图象C上；③图象C上的点的纵坐标都小于4；④A（x1，y1），B（x2，y2）是图象C上任意两点，若x1＞x2，则y1＞y2．其中真命题是（ ） A．①②
B．①③④
C．②③④
D．①②③④
解：∵函数y＝的图象在第一、三象限，
则关于直线y＝2对称，点（，2）是图象C与函数y＝的图象交于点； ∴①正确；
点（，﹣2）关于y＝2对称的点为点（，6）， ∵（，6）在函数y＝上， ∴点（，﹣2）在图象C上； ∴②正确；
∵y＝中y≠0，x≠0， 取y＝上任意一点为（x，y），
则点（x，y）与y＝2对称点的纵坐标为4﹣； ∴③错误；
A（x1，y1），B（x2，y2）关于y＝2对称点为（x1，4﹣y1），B（x2，4﹣y2）在函数y＝上， ∴4﹣y1＝
，4﹣y2＝
，
∵x1＞x2＞0或0＞x1＞x2， ∴4﹣y1＜4﹣y2， ∴y1＞y2； ∴④不正确； 故选：A．
20.（2019•湖州）已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（ ）
- 14 -
A． B．
C．解：
解得
或
．
D．
故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上为（0，﹣）或点（1，a+b）．
在A中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0，﹣＜0，a+b＞0，故选项A错误；
在B中，由一次函数图象可知a＞0，b＜0，二次函数图象可知，a＞0，b＜0，由|a|＞|b|，则a+b＞0，故选项B错误；
在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，a+b＜0，故选项C错误； 在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项D正确； 故选：D．
- 15 -
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