２０１７年１月 第４０卷第１期 四川师范大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｉｃｈｕａｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） Ｊａｎ．，２０１７ Ｖｏ１．４０．Ｎｏ．１ 具有阶段结构的周期ＳＥＩＲ传染病模型的动力学性态 杜燕飞， 肖 鹏， 曹 慧 （陕西科技大学数学系，陕西西安７１００２１） 摘要：假设总人口分为幼年和成年２个阶段，且只有成年个体染病，建立一类具有阶段结构的周期 ＳＥＩＲ传染病模型，得到无病周期解全局稳定性的条件；进一步讨论模型的一致持续生存，并用数值模拟验 证所得到的结论． 关键词：周期传染病模型；阶段结构；基本再生数；稳定性 中图分类号：０１７５ 文献标志码：Ａ 文章编号：１００１—８３９５（２０１７）Ｏｌ一００７３—０５ ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１—８３９５．２０１７．Ｏ１．０１２ 近年来，通过传染病模型研究传染病动力学受 到广泛关注．在传染病的研究过程中，人们发现很多 疾病只在某个特定的年龄阶段传播，如麻疹、水痘等 传染病多发于幼年阶段，而性病、伤寒、血吸虫病、白 喉等传染病多传播于成年阶段＿ｌＩ４ Ｊ．另一方面，人类 的活动会受到季节和气候影响，导致很多疾病的传 染和爆发也随季节显示出周期性波动＿５－９ Ｊ．因此，在 潜伏者的发病率和染病者的治愈率，采用非线性发 生率 （ｔ）Ｓ （ｔ）Ｉ（ｔ），并假设所有的参数函数均为 正的 周期函数． １ 预备知识 首先考虑系统（１）的无病周期解的存在性．考 察方程 刻画传染病模型时，考虑具有阶段结构的并且具有 周期系数的模型能更好地描述这类疾病的传播特 点，更具有现实意义．本文将建立一类具有阶段结构 的周期ＳＥＩＲ传染病模型，并研究其动力学性态． 假设总人口分为幼年、成年２个阶段，且只有 成年个体感染此病，构建系统（１）． ｄＸ（ｔ）＝以（ｆ）一 ｆ【 训 蝴 ）ｓ㈩， ＝ ，（２） 。。 的解． 满足初始条件（ （０），ｓ（ｏ））＝（ｘｏ，ｓｏ）∈ 利用文献［１０］的定理４．１中相似的证明方法，容易 （ｆ） ｔ）一 （ ） （ ）， （ｆ） ） 一验证系统（２）存在唯一的 周期解（ （ｔ），Ｓ （ｔ））， ∽， ＝ ） ） 且在 一中是全局渐近稳定的；因此系统（１）存在唯 的无病周期解（ （ｔ），Ｓ （ｔ），０，０，Ｒ （ｔ））． 将系统（１）中所有方程相加得 ≤／ｌ 一６Ⅳ， ｄＥ（ｔ）＝卢（ ） （￡） ）占（ ）Ｅ（ ）一ｌｘ（ｔ）Ｅ（ ），（１） （ｆ） ∽， ㈤ ｄＲ（ｔ）＝ （ ） ）一 其中 （ ） （ｆ）， Ａ ＝ｓｕ￣Ａ（ｔ），ｂ＝ｍｉｎ ｎｆ￣。（ ）， ｉ ｎｆ．（ｔ）｝， ．ｏ０ ｔ． ￡≥ 其中，用Ｘ（ｔ）表示ｔ时刻幼年个体的数量，并将成 容易得￣１］ｌｉｍＮ（ｔ）≤Ａ ／ｂ．进一步地，可证明系统（１） 的解是最终一致有界的以及系统（１）解的正性． 引理１ 系统（１）具有初始条件 （０）＞０， ｓ（０）＞０，Ｅ（０）＞０，，（０）＞０，Ｒ（０）＞０的解 年个体分为４类：易感者Ｓ（ｔ）、潜伏者Ｅ（￡）、染病者 ，（ｔ）和恢复者Ｒ（ｔ）．Ａ（ｔ）是人口增长率函数， （ｔ） 为幼年个体到成年个体的转化率， （ｔ） （ｔ）分别 为幼年、成年的自然死亡率， （ｔ）和Ｏｌ（ｔ）分别表示 收稿日期：２０１６—０３—０３ （Ｘ（ｔ），Ｓ（ｔ），Ｅ（ｔ），，（ｔ），Ｒ（ｔ））在［０，＋∞）上存 基金项目：国家自然科学基金（１１３０１３１４）和陕西省自然科学基金（２０１４ＪＱ１０２５） 第一作者简介：杜燕飞（１９８４一），女，讲师，主要从事微分方程与生物数学的研究，Ｅ—ｍａｉｌ：ｄｕｙａｎ￣ｉ＠ｓｕｓｔ．ｅｄｕ．ｃｎ ７４ 四川师范大学学报（自然科学版） 厂 （，ＬＱ：Ｌ 第４０卷 在且为有界的正解． 由于模型（１）中的前４个方程中不含Ｒ（ｔ），且 关于Ｒ（ｔ）的方程是线性的，因此只须考虑前４个方 程构成的模型，即如下系统（３）的动力学性态． （ ）：ｆ＼ 舭ｆ １，１≤ｔ，，≤ ： ０ １ （ ）＋ （ｆ）０ ＼ 一 （ｔ） （ ）＋／ｘ（ｔ）／ ｆ ｄｘ（ｔ）＝以（ ）一 （ ） （ ）一ｕｏ（ ） （￡）， 记Ｙ（ｔ，ｓ）是如下系统的一个２ Ｘ ２的矩阵解 ＝一ｊＩ ） ∽ ）一 ） ）一 ） ），一 （ｃ） ）＿ ㈤，（３） ｖ（ｔ）ｙ（ ），Ｖ￡ Ｙ（ｓ，ｓ）＿，， 其中，是２ Ｘ ２的单位矩阵．显然文献［１０］中的条件 ｄＥ（ｔ）＝ 【 帆） （ｆ）一ｔｚ（ ㈤． 记 ：：｛（ ，ｓ，Ｅ，，）∈４： ＋Ｌｓ＋Ｅ＋，≤华｝Ｄ ． 由引理１可知，Ｘ是系统（３）的闭的正向不变集． 下面利用文献［１０］中积分算子谱半径的方法来 定义系统（３）的基本再生数．首先验证文献［１０］中 的条件（Ａ１）～（Ａ７）成 ． ：ｆＥ．，．Ｘ．Ｓ） ． （ ） （ ），（ ） ０ ０ ０ Ｖ（ｔ， ）＝Ｖ一（ｔ， ）一 （ｔ， ）＝ ＋ （ ）Ｅ（ ） ０ ＋ （ ），（ ） （ ）Ｅ（ ＋ｔＺｏ（ｔ）ｘ（ｔ） 以（ ） ）＋ （ ）Ｊｓ（ ） （ ） （ 容易看出系统（３）等价于如Ｆ系统 ｄｘ（ｔ）一Ｆ（￡ｄ， ￡（￡））一 （￡， （ 垒 ｆ， （ ））． 显然文献［１０］中的条件（Ａ１）～（Ａ５）成立．下面 验证文献［１０］中的条件（Ａ６）．令Ｍ（ｔ）＝ （ ）， ，≤４，其中 和 （ ， （ ））分别表 示 和 ｔ， （ｔ））的第ｉ个位置上的元素．由（４）式 可得 （￡）：ｆ一（ （ ）＋ （ ）） ０ １， 、 （ｆ） 一／ｚ（ｔ）， 显然Ｐ（ Ｍ（ ））＜１，即无病周期解 （ｔ）＝（０， ０，Ｘ （ｔ），Ｓ （ｔ））为线性渐近稳定的，于是，文献 ［１０］中的条件（Ａ６）成立．令 ，＝（ ） 。＝（： ）， （Ａ７）也成立． 令Ｃ 为从Ｒ到Ｒ 的所有（￡，周期函数的 Ｂａｎａｅｈ空间，其范数定义为Ｉｌ Ｉ ｌｓｕ ｐ］Ｉ （ｆ）ｌ・ ｆ∈ｌ考虑如下线性算子Ｃ 一Ｃ ， （，Ｊ咖）（ｔ）＝Ｉ ｌ，（ｆ，ｔ—ｎ）Ｆ（ｔ一 ）咖（ｔ—ｎ）ｄａ， ｔ∈Ｒ，ｑｂ∈Ｃ ． （５） 定义系统（３）的基本再生数为Ｒ。：Ｐ（Ｌ），其中Ｐ表 示算子 的谱半径． ２ 主要结果 下面研究系统（３）的全局动力学性态，结果表 明基本再生数Ｒ。＝１是区分疾病一致持续或消除 的一个阀值． 定理１ 若Ｒ。＜１，则无病周期解（Ｘ （ｔ）， Ｊｓ （ｔ），０，０）是全局渐近稳定的；若Ｒ ＞１，它是不 稳定的． 证明 由文献［１Ｏ］中的定理２．２可知，当 ＜１时，（Ｘ （ｔ），Ｓ （ ），０，０）是局部稳定的．于是 Ｖ叼＞０，总存在 ＞０使得当ｔ＞ 时， （ｔ）≤ （ｔ）＋７７．进一步地，可叼＞０足够小，使 Ｓ （ ）≤Ｓ （￡）＋田．于是系统（３）当ｔ＞Ｔ时有 ａＥ（ ｔ）≤卢（ｆ）（ｓ （ ）＋叼） ）一 （ｔ）Ｅ（ｔ）一 （ｔ）Ｅ（ｔ）， ｌ ｄＩ（ ｔ）：占（￡）Ｅ（ ）一 （ｆ） ）一 （￡） ）． 现在考虑如下辅助系统 ≤ ）（Ｓ ¨ ㈤一 （ｆ） （ｔ）一 （ｔ） （ｔ）， （６） ｄＩ（ｔ）＝ｓ（ｆ） （ ）一 （ｔ）７（￡）一 （￡）７（￡）． 令 （ ）＝（： ），则系统（６）可以等价地写成 第１期 杜燕飞，等：具有阶段结构的周期ＳＥＩＲ传染病模型的动力学性态 ７５ 蔷（ ）：（Ｆ（ ）一 （ｔ）＋叩 （ ））（ ），（７） 由文献［１１］中的引理２．１知，存在一个正∞周期函数 ｆ）＝（ （ｔ）， （￡）），使彳导ｍ（ｔ）≤Ｖ（ｔ）ｅｘｐ（ｐ１ｔ）是 系统（７）的—个解，其中Ｐ ＝２－ＩｎＰ（ ＦＶ＋ （ ））．选 』 ｄＸ（ｔ） ｌ ＝ ） ） ｔ， ２） －ＩＺｏ（ｔ）Ｘ￣（ｔ）， ）： 取 ＞ 和一个实数 ＞０使得 （ ）≤ａＶ，（０），７（ ） ≤ａ （０），则Ｅ（ｔ）≤ａｅｘｐ（ｐ１（ｔ— ）） （ｔ— ）， ７（ｔ）≤ａｅｘｐ（ｐ （ｔ— ）） （ｔ一 ）．由比较定理可得 Ｅ（ｔ）≤ａｅｘｐ（ｐ１（ｔ一 ）） （ｔ一 ），，（ｔ）≤ ａｅｘｐ（ｐ１（ｔ一 ）） （ｔ一 ），ｔ≥ 取充分小的７１＞０， 使得Ｐ（ Ｆ－Ｖ＋ （ ））＜１，于是Ｐ。＜０，］ｉｌＪｌｌｉｍ Ｅ（ｔ） ＝０，ｌｉｍ，（￡）＝０．相应地对于系统（３），有ｌｉａｒ （ｔ） ＝ （ｔ），ｌｉｍ．ｓ（￡）＝Ｓ’（￡）；因此，无病周期解 （ ’（ｔ），Ｓ （ｔ），０，０）是全局渐近稳定的． 定理２ 如果Ｒ。＞１，则存在 ＞０，使得 系统（３）具有初值（ｘ（ｏ），Ｓ（０），Ｅ（０），Ｉ（０））＝ （ ，｜ｓｏ， ， ）∈｛（ ，｜ｓ， ，，）∈ ：Ｅ＞０，，＞０｝ 的任意解（ （￡），Ｊｓ（ｔ），Ｅ（ｔ），，（ｔ））满足 ｌｉａｒ ｉｎｆ （ ）≥ ，ｌｉｍ ｉｎｆ，（ｔ）≥Ｂ 证明 定义Ｘ：＝｛（ ，ｓ，Ｅ，，）∈Ｒ：： ＋Ｊｓ＋ Ｅ＋，≤Ａ肘／ｂ｝，Ｘｏ：＝｛（ ，Ｊｓ，Ｅ，，）∈Ｘ：Ｅ＞０，，＞ ０｝，ＯＸｏ：＝ ＼Ｘｏ．由引理１， 是系统（３）的闭的正 向不变集， 是正不变的，且ＯＸｏ是 的相对闭集． 令Ｐ： ＿ 是系统（３）的Ｐ０ｉｎｃａｒ６映射，即Ｐ（ 。） ＝ （∞， 。）， 。∈Ｘ，其中咖（ｔ， 。）是系统（３）具有 初值西（０， 。）＝ 。的唯一解．记 Ｍ ＝｛（ ，Ｉｓ。， ， ）∈ＯＸｏ： Ｐ （ｘｏ，Ｓ。， ，Ｊ『０）∈ＯＸｏ，Ｖｍ≥０｝． 容易证明 Ｍ ＝｛（ ，Ｓ，０，０）： ≥０，Ｓ≥０｝． （８） 显然｛（ ，Ｓ，０，０）：Ｘ≥０，Ｓ≥０｝ ．对于任意 （ ，Ｓ。， ，ｉｏ）∈ＯＸｏ＼｛（ ，Ｓ，０，０）： ≥０，Ｓ≥０｝， 如果Ｅ。＞ｏ，户：０，由于 Ｉ ：。： （０）Ｅ。＞０， 则有：当ｔ＞０时，，（ｔ）＞０．类似地，可以证明当 ＝０，，０＞０时，Ｅ（ｔ）＞０．所以，对充分小的ｔ＞０， 有（Ｘ（ｔ），Ｓ（ｔ），Ｅ（ｔ），，（ｔ））隹ＯＸｏ，这意味着Ｍ ＝ ｛（ ，Ｓ，０，０）： ≥０，Ｓ≥０｝．注意到，Ｐ在 上有 唯一的不动点 （ ，Ｓ ，０，０）． 由于Ｒ。＞１当且仅当Ｐ（ ，一 （ ））＞１，可选 ｄＸ —（ｔ）＝以（ｆ）一 （￡） （ ）一 。（￡） （ ）， —ａｓ （ ｔ）≥（￡，（￡）ｘ（￡）一／３（ｔ）ｓ （ｔ） 一 （ｔ）ｓ（￡）． ７６ 四川师范大学学报（自然科学版） 第４０卷 ≥ ）（ｓ ㈤一 （ｔ）Ｅ（ｔ）一 （ｔ）Ｅ（ｔ）， ＝ ） ）一 ） ）一 ） ）． 因为Ｐ（ Ｆ－Ｖ－ｎＭ（ｔｏ））＞１，由文献［１１］中的引理２．１和 标准比较定理可得： ｌｉｍ Ｅ（ｔ）＝∞，ｌｉｍ，（ｔ）＝∞． 这与０≤Ｅ（ｔ）≤Ｏｔ，０≤，（￡）≤Ｏ／矛盾．于是 （ ）ｎ Ｘ０＝ ． 因为在 的每一条轨道都收敛于 。，且 在 中是非循环的．由一致持续的非循环定理知，Ｐ关 于（Ｘ０，ＯＸｏ）是一致持续的．又由于 在 中是孤立 的；因此，由文献［１２］中的定理３．１．１知，系统（３）关 于（Ｘｏ，ＯＸｏ）是一致持续的． ３ 比较 下面讨论在周期ＳＥＩＲ模型中引入阶段结构对 基本再生数的影响．考虑系统（３）当接触率 （ｔ）＝ ／３［１＋ｂｃｏｓ（２ｗｔ）］为周期函数，其他参数为正常数 的情形． ｆ ｄＸ（ｔ）＝Ａ一 （ｔ）一 。 （ ）， 』ｌ ｄＥ（ ｔ）～ ㈩ｍ）－删，…） ＝／３（ （ｆ） ）一 Ｅ㈤一ｇＥ（ ｌ ｄＩ（ ｔ）＝ Ｅ（ｆ）一 ）一ｌｘＩ（ 尺。一 （ ｆ ｄＳ（ ｔ）＝以一／３（ ）ｓ （￡） ）一 ｓ（ ）， ｛ ｄＥ（ ｔ）＝／３（ ㈩ ）一 ）一 ㈩，（１２） ｌ ｄｌ（ｔ）＝ｓＥ（ ）一 ）一 ）． Ｒ。一 （会） × ｒ １一 （曼± ２（ ± ２鱼三－、 ４１ｒ ＋（２ ＋ ＋ ） ２ ’ 比较系统（１１）和（１２）的基本再生数，可以得 出结论：当研究成人病的传染病模型时，如果忽略 阶段结构，将会高估基本再生数；从而高估传染病 的传播风险． ４ 数值模拟 下面，利用数值模拟来验证所得的结论．对于 模型（３），令参数Ａ＝０．０９， ＝０．０１， （ｆ）＝ ２．１［１＋０．６ｃｏｓ（２，ｒｒｔ）］， ＝０．１８， ＝ ｏ＝０．０７， ＝０．５， ＝０．２４，则基本再生数Ｒ０＝０．７５８＜１． 在图１中，模拟了系统（３）具有初始条件ｘ０＝０．２，Ｓ。 ＝０．２，Ｅｏ＝０２，／ｏ＝０．．２的解的渐近性态，表明无病 周期解是全局渐近稳定的，传染病将最终消除 图１模型（３）无病周期解的渐近性态，疾病最终消除 Ｆｉｇ．１ Ｔｈｅ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｓｅａｓｅ—ｆｒｅｅ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ ｓｙｓｔｅｍ（３），ａｎｄ ｔｈｅ ｄｉ，ｑｅａＦ．￣ｉｓ ｅｘｔｉｎｃｔ 下面取Ａ＝０．５，其他参数同图１，则基本再生 数Ｒ。＝２．９３７＞１，图２的模拟结果说明了系统的 一致持续生存． 图２模型（３）的一致持续生存 Ｆｉｇ．２ Ｔｈｅ ｕｎｉｆｏｒｍ ｐｅｒｓｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｓｙｓｔｅｍ（３） 第１期 杜燕飞，等：具有阶段结构的周期ＳＥＩＲ传染病模型的动力学性态 ７７ ５ 讨论 本文将总人口分为幼年和成年２个阶段，且假 设只有成年个体染病，建立并研究了一类具有阶段 结构的周期ＳＥＩＲ传染病模型，得到了模型无病周 期解的稳定性和系统持久性的结论，并通过数值模 拟验证了结论的正确性．证明了基本再生数是传染 病最终消除和一致持久生存的阀值条件，若Ｒ。＜ １，无病周期解是全局渐近稳定的，即疾病将最终消 本文所研究的模型与文献［８—９］中所讨论的 不具有阶段结构的周期传染病模型相比，动力学性 态大致相同．可以得出结论，在周期ＳＥＩＲ模型中引 入阶段结构在某种程度上不会改变系统的动力学 性态；但另一方面，通过比较具有周期传染率的传 染病模型与相应的引入阶段结构的模型发现，研究 成人病时如果忽略阶段结构，将会高估基本再生 数，从而高估传染病的传播风险 除；若Ｒ。＞１，疾病一致持续生存． 参考文献 ［１］ＡＩＥＬＬＯ Ｗ Ｇ，ＦＲＥＥＤＭＡＮ Ｈ Ｉ．Ａ ｔｉｍｅ—ｄｅｌａｙ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｓｉｎｇｌｅ—ｓｐｅｃｉｅｓ ｇｒｏｗｔｈ ｗｉｔｈ ｓｔａｇｅ ｓｔｒｕｅｔｕｒｅ［Ｊ］．Ｍａｔｈ Ｂｉｏｓ，１９９０， １０１（２）：１３９—１５３． ［２］胡宝安，陈博文，原存德．具有阶段结构的ｓＩ传染病模型［Ｊ］．生物数学学报，２００５，２０（１）：５８—６４． ［３］ＳＡＴｒＥＮＳＰＩＥＬ Ｌ，ＤＩＥＴＺ Ｋ．Ａ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｄ ｅｐｉｄｅｍｉｃ ｍｏｄｅｌ ｉｎｃｏｒｐｏｒａｔｉｎｇ ｇｅｏｇｒａｐｈｉｃ ｍｏｂｉｌｉｔｙ ａｍｏｎｇ ｒｅｇｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｍａｔｈ Ｂｉｏｓ，１９９５， １２８（Ｓ１／ｓ２）：７１—９１． ［４］ＷＡＮＧ Ｗ，ＺＨＡＯ Ｘ Ｑ．Ａｎ ａｇｅ—ｓｔｕｃｒｔｕｒｅｄ ｅｐｉｄｅｍｉｃ ｍｏｄｅｌ ｉｎ ａ ｐａｔｃｈｙ ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ［Ｊ］．ＳＩＡＭ Ｊ Ａｐｐｌ Ｍａｔｈ，２００５，６５（５）： １５９７—１６１４． ［５］ＺＨＡＮＧ Ｔ Ｌ，ＴＥＮＧ Ｚ Ｄ．Ｏｎ ａ ｎｏｎａｕｔｏｎｏｍｏｕｓ ＳＥＩＲＳ ｍｏｄｅｌ ｉｎ ｅｐｉｄｅｍｉｏｌｏｇｙ［Ｊ］．Ｂｕｌｌ Ｍａｔｈ Ｂｉｏｌ，２００７，６９（８）：２５３７—５９． ［６］胡新利，周义仓．具有周期传染率的ＳＩＲ传染病模型的周期解［Ｊ］．生物数学学报，２００８，２３（１）：９１—１００． ［７］ＢＡＣＡＥＲ Ｎ．Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｒｅｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｎｕｍｂｅｒ ｆｏｒ ｖｅｃｔｏｒ—ｂｏｒｎｅ ｄｉｓｅａｓｅ ｗｉｔｈ ａ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｖｅｃｔｏｒ ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ［Ｊ］． Ｂｕｌｌ Ｍａｔｈ Ｂｉｏｌ，２００７，６９（３）：１０６７—１０９１． ［８］ＢＡＩ ｚ Ｇ，ＺＨＯＵ Ｙ Ｃ．Ｇｌｏｂａｌ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｏｆ ａｎ ＳＥＩＲＳ ｅｐｉｄｅｍｉｃ ｍｏｄｅｌ ｗｉｔｈ ｐｅｉｒｏｄｉｃ ｖａｃｃｉｎａｔｉｏｎ ａｎｄ ｓｅａｓｏｎａｌ ｃｏｎｔａｃｔ ｒａｔｅ［Ｊ］． Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ａｎａｌ：ＲＷＡ，２０１２，１３（３）：１０６０—１０６８． ［９］ＮＡＫＡＴＡ Ｙ，ＫＵＮＩＹＡ Ｔ，ＴＯＳＨＩＫＡＺＵ Ｋ．Ｇｌｏｂａｌ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｏｆ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ＳＥＩＲＳ ｅｐｉｄｅｍｉｃ ｍｏｄｅｌｓ ｉｎ ａ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ［Ｊ］． Ｊ Ｍａｔｈ Ａｎａｌ Ａｐｐｌ，２０１０，３６３（１）：２３０—２３７． ［１０］ＷＡＮＧ Ｗ，ＺＨＡＯ Ｘ Ｑ．Ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｏｒｆ ｃｏｍｐａｒｔｍｅｎｔａｌ ｅｐｉｄｅｍｉｃ ｍｏｄｅｌｓ ｉｎ ｐｅｉｒｏｄｉｃ ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔｓ［Ｊ］．Ｊ Ｄｙｎ Ｄｉｆ Ｅｑｎｓ， ２００８，２０（３）：６９９—７１７． ［１１］ＺＨＡＮＧ Ｆ，ＺＨＡＯ Ｘ Ｑ．Ａ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｅｐｉｄｅｍｉｃ ｍｏｄｅｌ ｉｎ ａ ｐａｔｃｈｙ ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ［Ｊ］．Ｊ Ｍａｔｈ Ａｎａｌ Ａｐｐｌ，２００７，３２５（１）：４９６—５１６． ［１２］ＺＨＡＯ Ｘ Ｑ．Ｄｙｎａｍｉｃａｌ Ｓｙｓｔｅｍｓ ｉｎ Ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ Ｂｉｏｌｏｇｙ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒｌａｇ，２００３． Ｄｙｎａｍｉｃ Ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ａ Ｐｅｒｉｏｄｉｃ ＳＥＩＲ Ｅｐｉｄｅｍｉｃ Ｍｏｄｅｌ ｗｉｔｈ Ｓｔａｇｅ—ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ＤＵ Ｙａｎｆｅｉ，ＸＩＡＯ Ｐｅｎｇ， ＣＡＯ Ｈｕｉ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｓｈａａｒｔｘｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆＳｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｘｉ’ａｎ ７１￣２１，Ｓｈａａｎｘｉ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ。ｗｅ ｄｉｖｉｄｅ ａ ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ ｉｎｔｏ ｔｗｏ ｓｔａｇｅｓ：ｉｍｍａｔｕｒｅ ｓｔａｇｅ ａｎｄ ｍａｔｕｒｅ ｓｔａｇｅ，ａｎｄ ａｓｓｕｍｅ ｔｈａｔ ｄｉｓｅａｓｅ ｔｒａｎｓ— ｍｉｓｓｉｏｎ ｏｃｃｕｒｓ ｏｎｌｙ ｉｎ ｍａｔｕｒｅ ｉｎｄｉｖｉｄｕａｌｓ．Ｔｈｅｎ ｗｅ ｅｓｔａｂｌｉｓｈ ａ ｐｅｒｉｏｄｃ ＳＥＩＲ ｅｐｉｄｅｍｉｃ ｍｏｄｅｌ ｗｉｔｈ ｓｔａｇｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ．Ｗｅ ｅｓｔａｂｌｉｓｈ ｔｈｅ ｇｌｏｂａｌ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｆｏｒ ｄｉｓｅａｓｅ—ｆｒｅｅ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ａｎｄ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｅ ｕｎｉｆｏｒｍ ｐｅｒｓｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｒｅｓｕｌｔ ｉＳ ｃｏｒｒｅｃｔ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｅｐｉｄｅｍｉｃ ｍｏｄｅｌ；ｓｔａｇｅ—ｓｔｕｃｔｕｒｅｄ；ｔｒｈｅ ｂａｓｉｃ ｒｅｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｎｕｍｂｅｒ；ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ２０１０ ＭＳＣ：３７Ｎ２５ （编辑余毅）
