复数教学设计(省优质课)

§5.1 数系的扩大与复数的引入

XX省永新县任弼时中学 文辉

【教学目标】

（1） 了解引进复数的必要性，理解复数的根本概念，了解复数的代数法表示，

理解虚数单位，理解复数相等的充要条件.

（2） 了解复数的几何意义，理解复数模的概念，了解复数与复平面内的点的

对应关系.

（3） 体会实际需求与数学内部的矛盾在数学扩大过程中的作用，感受人类理

性思维在数系的扩大过程的作用以及数与现实世界的联系。

（4） 通过复数与复平面内的点的对应关系，体会二维空间中数与形之间的内

在联系.

【教学重难点】

重点：引进虚数单位i的必要性，对i的规定，复数的有关概念. 难点：实数系扩大到复数系的过程的理解，复数的概念的理解. 教学方法：1.启发式教学法. 2.鼓励---探索---讨论---发现. 教具准备：多媒体，投影仪.

教学过程

Ⅰ.课题导入

㈠引导学生回忆数的变化开展过程

数的概念是从实践中产生和开展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没

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有〞的数0.自然数的全体构成自然数集N. 随着生产和科学的开展，数的概念也得到开展. 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进展等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩大到有理数集Q.显然NQ.如果把自然数集(含正整数和零)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，那么有ZQ、NZ.如果把整数看作分母为1的分数，那么﹛有理数﹜=﹛分数﹜=﹛循环小数﹜.

有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以﹛实数﹜=﹛小数﹜.

㈡设置问题情境，探究实践

问题①：请类比引进2，就可以解决方程x220在有理数集中无解的问题，怎么解决方程x210在实数集中无解的问题？

意图通过类比，使学生了解扩大数系要从引入新数开场. 问题②： 引入的新数i是个什么数呢？它有什么特征？

引入虚数单位的概念及性质 i2 =－1 ，强调i不同于任何实数，它是一种新的数。此时学生解决了方程无解问题.

Ⅱ.新课讲授

研习点〔1〕

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1.请同学们阅读课本相关内容，自主完成填空题.

⑴虚数单位：数____________叫做虚数单位，具有下面的性质： ①_______________________,

②实数可以与i进展四那么运算，进展四那么运算时，原有的加、乘运算律_______.〔填成立或不成立〕

⑵复数：形如______________________________叫做复数，常用字母________表示，即复数的代数形式为___________________，其中______叫做复数的实部, ___叫做复数的虚部，复数的实部和虚部都___数．全体复数构成的集合叫做________，常用字母____表示． 2.探讨

⑴复数集C与数集N、Z、Q、R之间有什么关系?

⑵如何对复数a+bi(a,b∈R)进展分类?

实数（b=0）复数abi纯虚数（a=0）虚数(b0) 非纯虚数（a0）

⑶复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可以用图表示出来吗？

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⑷你认为两个复数a+bi与c+di相等的充要条件是什么？

a+bi=c+di(a,b,c,d∈R)当且仅当a=c且b=d. 特别地，a+bi=0 (a,b∈R)当且仅当a=b=0.

两个不全是实数的复数不可以比拟大小，只有相等与不相等之分.

3.稳固练习：说出以下三个复数的实部与虚部，并指出它们是实数还是虚数，如果是虚数指出是否为纯虚数：

(1)4+3i; (2)-5i (3)

2i2 例1、当实数x分别取什么值时，复数z=x1x1i是1实数;2虚数;3纯虚数. 分析与探究：因为xR，所以x1、x-1都是实数，由复数z=a+bi是实数、虚数、纯虚数的条件可以确定实数x.要使z是实数，x需满足x-1=0，解得x=1.1解： 2要使z是虚数，x需满足x-10，解得x1. 3要使z是纯虚数，x需满足x+1=0且x-10，解得x=-1.

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21、若复数z(x1)(x1)i为纯虚数，练习

则实数x的值为 ( )

A.-1 B.0 C.1 D.-1或1

答案：A

例2、设x,ｙR，并且(x+2)-2xi=-3y+(y-1)i，求x,y

的值.分析与探究：根据复数相等的充要条件 a+bi=c+di(a,b,c,d∈R)当且仅当a=c,b=d

x23y 解 由复数相等的充要条件，得2xy1 x1，解这个方程组，得y1.

稳固练习：求适合以下方程中实数x,y的值： (1)(-2x+3)+(y-4)i=0; (2)(3x-2y)-(x+2y)i=3-6i.

研习点(2)〔目的：掌握复数的几何意义〕

1、复平面的概念

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把建立的直角坐标系来表示复 数的平面叫做复平面，x轴称为实 轴，y轴称为虚轴。实轴上的点都 表示实数；虚轴上的点除原点外都 表示纯虚数。

2练习：在复平面内表示以下复数，并分别求出它们的模：

1z123i； 2z132=2+2i; 3z3=-3-i ;4z412i

y 10 8 6 4 2 105 0510x 2 4 6 2、小结：复数的几何意义 1复数z=a+bi， 复平面内的点Z(a,b) 和平面向量 oz=(a,b) 之间 的关系如图： - word.zl-

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2点Z(a,b)到原点的距离OZ叫作复数z的模或绝对值，

22 记作z,zabiab.

(3)两个复数一般不能比较大小，但可以比较它们的模的大小.Ⅲ.变式体验〔触类旁通，学以致用，让我们一起来吧！〕 拓展*变式

当实数m满足何条件时，复数zlgm22m2



m23m2i分别是：1z>0；2对应的点在复平面内的第四象限内 .分析：复数z=a+bi(a,b∈R)的在复平面的位置完全取决于 它的实部与虚部所满足的要求条件.

m22m21解：（1）2m3m20m3或m1m2，m2或m1即当m2时，z0.m22m21（2）2m1,2m3m20即当2m1时，z对应的点在复平面的第四象限内.Ⅳ.课堂小结：

1、了解数的概念开展和数系扩大的过程，了解引进虚数单位i的必要性和作用，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、开展的客观需求；

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2、理解复数的根本概念以及复数相等的充要条件； 3、理解并掌握复数的代数形式和了解复数的几何意义。 Ⅴ.布置作业： 1.以下类比推理 2.

Ⅵ.教学反思

要使学生真正参与到学习中来，发挥他们在学习中的主体作用，教学应从学生的已有认知根底出发，同时注意到他们的生活经历和情感需求，在设计时要充分地运用学生对已有的数的扩大规律，可以启发学生的思维。

“若a、bR,则ab0ab”类比推出1“若a、bC,则ab0ab”；“若a、bR,则a2b20ab0”2类比推出“若a、bC,则a2b20ab0”;“若a、bR,则ab0ab”类比推出3“若a、bC,则ab0ab”.其中类比结论正确的是_____________________. 当实数m满足何条件时，复数zlgm22m2m23m2i分别是：1零；2纯虚数；3对应的点在复平面的实轴上；4在实轴下方（不包括实轴）.- word.zl-

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为了使学习层层深入，突出用数学知识求解问题的原那么，我们用到了类比的方法引导学生从实数集到复数系的扩大，彰显了用数学思考问题的方法。

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