数学建模排课

承 诺 书

我们仔细阅读了竞赛规则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果设置报名号的话）： A201267 所属院系（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3.

日期：2012年4月22 日

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滨州学院数学建模竞赛

编 号 专 用 页

评 阅 人 评 分 备 注 评阅编号（由组委会评阅前进行编号）：

评阅记录（可供评阅时使用）：

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高校教学任务的合理安排

【摘要】本文要解决的问题是在现有的教学资源下，有计划地安排高校教师工作，适

量安排合堂以便使学生和教师都满意。在对课表的编排上。其中涉及的关键要素很多, 包括教师、班级、教室和授课时段等，根据排课总体目标、约束条件、及优先级, 充分利用紧缺资源,分析2011-2012学年第一学期mks学院的信息，通过用各影响矩阵优化目标矩阵的方法，对课表进行了重排。在具体模型建立过程中采用了0-1矩阵法，矩阵的乘法等数学方法，建立优化类数学模型来求解有效矩阵，根据有效矩阵初排课表，结合多方面因素建立修正矩阵，对初排课表逐层修改，得出最优排课表，最后通过lingo软件加以实现。运用我们建立的数学模型，对mks学院课表进行重排，将所得新课表与现有的课表进行比较，显然新排的课表更加合理化、人性化。根据新课表中每节课对应的相关因素（课程名称、教室、老师、班级）进行分析整合，可衍生出新的安排表。我们以学校、教师和学生对所排课表满意度作为衡量标准，以所给课表为例，可得学校、教师和学生对我们所排课表的满意度主因素分别为学生上课人数、教师上课时间、在专业课排在早上，计算得评价指标分别为 0.88、1、1，可见对本模型使三方的满意度基本均衡且都超过80%，即做到了三者兼顾的满意最大化。最后，通过我们建立的模型，我们给教务处排课表问题给处了一些合理的、可行性的建议，给出2012-2013学年第一学期的新的排课方案。

关键词：多目标优化 排课问题 0-1矩阵 矩阵的乘法 优化目标矩阵 满意度

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一、 问题的重述

我校所面临的问题主要有：第一，学校近20个系院，学生人数上万人，教师，教学任务繁重，课表安排难度较大；第二，上课教室少，学生及教师的上课压力大，课表安排难度大；第三，基于学生的学习规律与习惯，应根据课程的难度与重要性进行课程时段的安排，若安排不当，会导致学生的学习效果不佳；第四。为此应根据教学计划和排课要求,综合考虑教师、课程、班级和授课时段等因素，协调合理的编排课表,制作一个系统模型，根据这个模型使老师、同学和学校尽可能满意，并且具有足够的可行性和可变动性。让老师满意，即让每位老师一周内前往渭水的乘车次数尽可能少，同时还要使每位老师在渭水逗留的时间尽可能少；让学生满意，即同一班级同一门课程在时间段上尽量间隔开来，另外相对重要的课程应尽量安排在较好的教学时段上；让学校满意，即节约学校开支，使每周派往渭水的车次尽可能少。

二、问题的分析

课表安排的主要任务是把各学院的课程汇总, 然后根据教学计划或教学环节制订全校各班级的课表。根据学校的实际情况和学校所面临的问题，可以将这类题归为以老师、学生和学校的满意情况为多目标的多约束的规划问题。为了使课表的编排准确、合理、快速、高效, 充分利用学校资源，根据已知条件提出以下可行性要求：

1、课程的优先级：将大学所有课程分为三类，1）公共必修课：多个学院开设的课程，课程重要且开设的班级数最多，这类课尽量安排在最好时段；2）专业必修课：少数学院或一个学院开设的课程，课程重要且开设的班级数较多，这类课尽量安排在较好时段；3）其他如专业选修课或公共选修课等：少数班级开设的课程，课程相对简单，可以任意安排时段授课。

2、课程时段的规定：将每天分为5个时段(上午两个,下午两个,晚上一个)，并规定为：1-2节课为第一时段，3-4节课为第二时段„„依此类推。根据学生的学习效果及课程难度与重要性，将课程时段按有利程度分为五个等级，即第一时段>第二时段>第三时段>第四时段>第五时段。

3、时间段的分配优先级：周一至周五的白天共20个时段用来安排公共必修课和专

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业必修课及部分选修课,每天晚上及周六、 周日安排其他课程；先安排公共必修课表,在剩余的时间段内安排各系专业课程，最后再安排选修课程；将相对重要的课程安排在较好时段。

4、时间段的有效性：1）同一班级同一门课的两次授课时间必须隔天，但相隔天数不宜超过两天；2）一个老师一天内的两节课应连排, 即尽量安排在同一天上午或同一天下午, 为教师上课提供方便，同时也减少了派往渭水的车次

5、应避免各种冲突:1）教室不冲突, 同一教室同一时间不能安排两门课程，人数不能超过教室的最大容量；2）学生不冲突, 同一班级学生不能在同一时间上两门或两门以上课程；3）课程不冲突, 同一班级同一课程不能同一时间在不同地点上课；4）教师不冲突, 同一教师不能同一时间在不同地点上课。 根据上述可行性要求，解决以下问题： 问题一：

要求建立排课表的数学模型，先确定公共基础课的课程数，并将这些课程数联系到教师和学生的满意程度，在优化满意程度的条件下，排出各个公共基础课的授课区域，指定老师在班级授课时间段的区域，并让老师在这个区域内对不同的班级的授课时间段进行排布。然后将专业课安插到未被占用的时间段上，最后是选修课。同时课程的安排原则是尽可能选择在较好时段。 问题二：

要求对渭水校区的课表进行重排，利用统计学知识，对学校所有班级进行抽样，随机抽取三个班级，并对这三个班级的课表重排，得到的课程与现有的课程进行比较。 问题三：

利用加权综合评判法，对老师满意度、学生满意度和学校满意度进行加权综合评价。其中老师满意度从老师的滞留时间和老师的乘车次数方面考虑，学生满意度以重要课程的安排的时间段好坏考虑，学校的满意度以校车的车次考虑。 问题四：

从学生的学习效率和老师的教学效果等方面，对学校的软件设施、教学设施及运输设施等提出一些可行性建议。 在学校的教务管理工作中，课程表的编排是一项十分复杂、棘手的工作。排课需要考虑时间、课程、教学区域、教室、院系、班级、教师等等因素。经优化的排课，可以在任意一段时间内，教师不冲突，授课不冲突，授课的班级不冲突，教室占用不冲突，且综合衡量全校课表在宏观上是合理的。如何利用有限的师资力量和

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有限教学资源，排出一个合理的课程安排结果，对稳定教学秩序、提高教学质量有着积极的意义。某大学mks学院2011-2012学年共开承担学校公共11门课程，编号为

c01~c11；教师共有53名，编号为t01~t53；教室221间，编号为r01~r221。具体属性及要求见附录3； 课表编排规则：每周以5天为单位进行编排；每天最多只能编排8节课，上午2节，下午2节，每门课程以2节课为单位进行编排，特殊情况下上午第2大节和下午第2大节可以安排3节课。同类课程尽可能不安排在同一时间；并且假设学校的公选全部安排在晚上，大教室和多媒体教室无人占用。从学生满意度看：比如安排尽量少出现像同一天同一位老师上1-2节，7-8节；让同学们满意，可从以下几方面考虑，比如，同一班级同一门课程，至少应隔一天上一次，另外对学生感到比较难学的课程尽量安排在最好的时段，另外安排合堂时最好是同专业、同年级。

本题的目标是将所有课程按照一定的约束条件安排到时间表中。 由于总周课时数为700，最少需要20张时间表。根据假设，学校要将其全部编排，则目标是排出20张课程表。假设20张表同时上课，那么要求教师不冲突、教室不冲突、课程全部排完以及所有软、硬约束。 由于目标是将所有课程排完，可以先将不同课程按照其时间要求随机分配至时间表中，形成“时间段-课程”组合；再建立该组合对教师的约束，通过“0-1规划”确定最优的“时间段-课程-教师”组合；同理，确定出“时间段-课程-教师-教室”的最优组合，最终得到所求课表。

三、模型的假设

1.假设学校教室资源足够，不考虑教室资源对课程安排的约束； 2.不考虑节日等因素对课程安排的影响；

3.对于上课班级较多且任课老师较少的课程，每位老师可为几组班级授课，每组班级由若干个班级组成。

4．假设专业课一周上3次，公共课一周上2次，选修课一周上1次； 5．假设晚上不排课；

6.假设小教室一次最多上2个班，大教室一次最多上4个班；

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四、 符号说明

si :课程表上时间段的编号 ;

stk :为ci课程的要求课时数 ; sci :为tk教师的要求课时数 ;

siyij,tk,ru :课程表上某一时间段的课程-教师-教室组合D：表示上课时间和教室之间的关系矩阵；

E：表示老师和教室之间的关系矩阵；

p1：学校满意度 p2：老师满意度

p3：学生满意度

h：表示班级数； l： 表示教室数；

x：表示单用教室；

y：表示公用教室；

m：表示课堂数； a：表示专业课门数；

b：表示公共课门数；

c：表示选修课门数；

p：专业课老师数；

q：公共课老师数；

r：选修课老师数；

Gi：表示课堂序号，i1,,m；

五、 模型建立求解

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通过对多张课表的研究，发现排课表过程中的主要影响因素间关系如下图

B 课程 时间 A C D 教室 E 老师

分别以单箭头左边的为行右边的为列建立两关系间的有效矩阵A、B、D，由AB得矩阵C，再由CD得矩阵E,确定其中的时间课程矩阵B为目标矩阵,以A、C、D影响矩阵为约束对目标矩阵进行修改即可得所求的最优目标矩阵B，以最优目标矩阵B初排课表，再根据修正矩阵E对初排课表进行修正即可得最优排课表。

问题一：假设某系某专业有h个班，n位代课老师，每个班每周m堂课（一堂课为两小

节），l间教室。

1.建立老师与课程之间的有效矩阵A

1.1将一周内的所有课按专业课（a门），公共课（b门），选修课（c门）依次排序，记为Gi（i1a,a1,2a,2a1,3a,3a1,3ab,3ab1,3a2b,

3a2b1,,3a2bc）其中m3a2bc，则i1,,m.

依此顺序对h个班的课进行排序可得此专业课堂序号为Gi，

i1,,m,m1,,2m,,hm，

1.2将n位代课老师按专业课（p位），公共课（q位）选修课（r位）依次排序，记为Tk（k1,,p,p1,,pq,,pq1,,pqr），其中pqrn，则k1n， 1.3以老师序号Tk为行，以课堂序号Gi为列，做老师与课堂之间的关系矩阵

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Anhmaki1a,k1,,n;i1,,hm.其中ik0akik老师上i课k老师不上i课

则所得的矩阵Anhm为老师与课堂之间的有效矩阵。 2.建立课程与时间之间的有效矩阵B

2.1给一周内的所有上课时间赋值 (表一) 课 时 星 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 1、2节 3、4节 5、6节 7、8节 1 10 11 20 2 9 12 19 3 8 13 18 4 7 14 17 5 6 15 16 ,,2，0)依此可得h个班的课时向量排序为通过上表可得课时向量v(1,2Juv(1,,20,21,,40,,20(h1)1,,20h).(u1,,h;v1,,20)

2.2以课堂序号Gi为行，以课时序号Juv为列，做课堂与上课时间之间的关系矩阵

1,i1,,hm;j1,,20h.其中bij0Bhm20hbijj时间上i课j时间不上i课

2.3以满足学生要求尽量把课程安排在每天你的最优时段列目标函数：minbijJ 再以下列要求作约束条件；

（1） 一个班在一个时间对应一堂课，则有：bij1

j120h（2） 本专业仅有l个教室，则有：bijhl

i1j1hm20h（3） 每班所有的20堂课必须在20个课时内上完，则有：

bi1j1m20hijm,2mim1j1b20hijm,,i(h1)m1j1bhm20hijm

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（4） 专业课放在最优时间，则有：

bJJ,bJJ,,ijiji1J1im1J21a10ma30(h1)ma20h10bijJi(h1)m1J20(h1)1J

依此建立一个优化类的数学模型，在lingo软件[1]中编程，运行后可得课堂与上课

（具体的程序见附录一）. 时间之间的效矩阵Bhm20hbij3,老师与时间之间的有效矩阵

从1中老师与课程间的有效矩阵Anhm中任选一个，从2中课程与上课时间之间的有效矩阵Bhm20h任选一个，两矩阵做乘积可得；Cn20hAnhmBhm20h,显然Cn20h表示老师与课程和时间之间的关系矩阵。 若所得矩阵Cn20hckjk1,,n;j1,,20h， 2hm1，其中ckj0k老师在j时间上课满意指数k老师在j时间不上课，

满足：1)老师逗留是假尽可能的少

即：ckjj{21,23,25,27,29,31,,39,,20(h1)1,20(h1)3,,20(h1)9};

j120h2)所有非0的cij为相同的常数。

则以此矩阵为修正矩阵对B矩阵中相关元素作修改，根据B矩阵排出课表，此时课表中每一项中包括科目、代课老师。 4.建立上课时间与教室的有效矩阵D

已知l间教室中有单用教室（x间），公用教室（y间）对教室按由小到大依次排序，即为Wi（i1x,x1,xy）其中lxy，则i1,,l.

以课时序号Juv为行，以教室Wi为列，做上课时间与教室之间的关系矩阵

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D20hldij1i1,,20h;j1,,l，其中dij010x30xi时间在j教室上课i时间不在j教室上课20h10，

（1） 小教室上专业课，则：dij3a,dij3a,,i1j1i21j120(h1)1j1dxij3a

（2） 大教室上非专业课，一次两个班，则：20hi1jx1ldijh(m3a) 25.从3中所得老师与时间的有效矩阵Cn20hckj中任取一个，从4中所得的关系矩阵D20hldij中任取一个，两个矩阵做乘积可得：EnlCn20hD20hl，显然Enl表示师和教室之间的关系矩阵。若所得矩阵

i1,,n;j1,,l， Enleij2)所有非0的eij均为一个相等的常数。

则结合此矩阵在依据B矩阵排出的课表中加入相应的教室，即此时课表中每一项包括科目、代课老师、上课教室。

6.根据y间公用教室中包括不同班级间的公用，不同专业间的公用，不同年级间的公用，不同系间的公用对所排课表作微调，得出最优排课表。

问题二：以宝鸡文理学院数学系08级信息与计算科学专业为例，则可知：

h=2，（信1，信2）

n=8（p=（焦建民、冯录祥），q=4（李建卓、田慧芳、杨蕾、周晨立、），r=2（王红生、龚明）），

m=16（a=2（数学分析、高等代数），b=4（数据结构、大学英语、毛邓三、大学物理），c=2（大学语文、大学体育）），l=（x=2 ，y=3）

带入模型可得课表如下：

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原课表【2】参照附录2，可将新旧课表各相关元素分别作对比研究，通过多方位考虑得出新旧课表的优化度。

问题三，根据学校实际情况与表1，2中相关数据，研究学校、教师和学生对我们所排课表的满意度。

1，已知学校校车可能到达时刻为：8：00、10：00、12：00、14：30、16.：30、18：30。要使学校满意的校车到达时间为：8：00 、12：00、14：30、、18：30，即学校满意的校车到达次数为4，则学校满意度整合计算可得：p1学校满意的校车次数， 由表1，2中相关数据

实际校车次数10.80.80.810.88

52，已知老师在校时间由上课时间与逗留时间两部分组成， 则：老师满意度上课时间

上课时间逗留时间111111111；

8由表1，2中相关数据整合计算可得：p23，学生的满意度以专业课是否安排在早上来衡量， 则：学生满意度安排在早上的专业课门数，

所有专业课的门数111 2根据数据及图可以得出：利用模型建立的课表，根据统计学知识，抽样调查，调查的结果模型建立的课表的总满意度和各种满意度都略高于原课表。

由表1，2中相关数据整合计算可得：p3

问题四：学校的课表编排是关乎到学校的教学活动能否正常有效进行的关键，在课表编排时我们应该充分考虑老师，学生，学校三者的满意度，使教学活动更高效的进行。通过对现行课表的分析，我们可以看出现行课表中有许多重要的课程（专业课，重要的公共课）放在下午，不利于学生的学习，而且有些老师一天内上前一次课跟上下一次课之间的时间跨度太大，即老师在学校逗留时间太长，降低了工作效率，校车接送也不太方便。对于这些问题，我们通过研究找到了解决办法并建立了数学模型，重新对课表做出了编排，使得课程设置更加合理和人性化。希望教务处有关领导能够重视我们的建议。

六、 模型推广

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优点：

1，用0-1规划解决相互约束问题。形成“时间段-课程-教师-教室“组合，科学合理； 2，逐步优化，层层递进，思路清晰，简单易懂；

3，本模型充分考虑教师、学生和学校的满意度要求，课表的设置更加合理和人性化； 4. 本模型在建立过程中对上课时间巧妙赋值，将实际问题数值化。 缺点：

本模型在建立时，未考虑单双周排课问题，若把此因素加以考虑，将使模型更加的完整。 模型推广：

对整个新校区所有课表进行综合分析，经过计算可以排出新校区校车接送的时刻表。

参考文献：

[1] 蒋启源，何青，高立。数学实验。北京：高等教育出版社，1999.

[2]《现代高校排课系统的设计与分析》河北廊坊师范学院数信学院 张春红 万里威 [3]《大学数学实验》 姜启源—清华大学出版社，2005.2 [4]《运筹学（上册）》 徐渝，贾涛—清华大学出版社，2005.2 [5]《系统工程》 汪应洛—机械工业出版社，2008.6

[6] 《大学课表安排问题的 PBIL 算法》 徐云青，陈建明—衢州职业技术学院323000；浙江师范大学 信息科学与工程学院321004

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附录

附录一：

课程、教师、教室（ c01~c50，t01~t48，r01~r26）分别为：

c01~c50 1，保险学原理 2，常微分方程 3，大学化学 4，大学物理 5，大学英语三 6，大学英语一 7，大学语文 8，电磁学 9，电力电子学 10，电子电路计算机辅助设计 11，泛函数分析 12，复变函数 13，复利数学 14，概率论 15，概率论与数理统计 16，高等数学一 17，高级语言程序设计 18，机械基础 19，机械制图及CAD初步 20，计算机应用基础 21，解析几何 22，近世代数 23，就业指导 24，科技文献 t01~t48 教师2 教师1 教师4 教师7 教师5 教师6 教师7 教师6 教师5 教师6 教师7 教师9 教师5 教师6 教师7 教师6 教师2 教师4 教师9 教师3 教师8 教师4 教师7 教师65 r01~r26 6-606 6-605 6-604 6-603 6-602 6-601 6-505 6-504 6-503 6-405 6-404 6-403 6-402 5-2楼 15-312 15-215 15-210 15-202 15-201 13-609 13-607 13-604 13-603 13-407 14

25，离散数学 26，理论力学 27，量子力学 28，毛邓 29，面向对象程序设计 30，模拟电路 31，模式识别与图像处理 32，热力学与统计物理 33，热学实验 34，实变函数 35，寿险精算原理 36，数分三 37，数据库系统应用 38，数理统计 39，数学模型 40，数学物理方程 41，数值分析 42，算法与数据结构 43，体育三 44，体育一 45，图论 46，微分几何 47，线性代数 48，原子物理学 49．证卷投资分析 50，中国近代史纲要 51，

教师6 教师4 教师6 教师9 教师2 教师4 教师5 教师8 教师3 教师8 教师7 教师6 教师3 教师5 教师4 教师5 教师9 教师5 教师3 教师5 教师7 教师6 教师85 教师9 教师1 教师2 13-401 12-102 15

附录二： 具体课表为：

星期一 ： 星期二; 星期三;

1-2 3-4 5-6 7-8 9-10 1-2 3-4 5-6 7-8 9-11-2 3-4 5-6 7-8 9-10 0 07C C46 C11 C46 应T5 T31 T34 T31 数 R13 R13 R8 R13 07 C39 C31 C34 C31 信T5 T45 T43 T45 计 R6 R7 R1 R7 08C48 C18 C18 C40 C9 C32 C27 应T8 T18 T18 T17 T30 T42 T8 物 R8 R6 R6 R6 R13 R13 R7 08C9 C39 C22 C12 C14 C9 应T25 T5 T24 T31 T15 T25 数 R6 R6 R12 R12 R12 R6 08 C4 C41 C35 C13 C35 C4 C49 C49 统T25 T4 T13 T1 T13 T25 T8 T8 计 R8 R11 R11 R11 R11 R8 R7 R7 08C29 C2 C38 C22 C2 C29 C29 C41 信T11 T31 T22 T24 T31 T11 T11 T4 计 R8 R8 R13 R10 R8 R8 R9 R10 09C8 C8 C23 C23 C8 C8 C26 C5 C28 C15 C30 C28 应T37 T37 T16 T16 T37 T37 T25 T23 T29 T22 T22 T9 物 R11 R11 R11 R11 R14 R14 R6 R18 R6 R12 R6 R6 09C37 C37 C36 C23 C2 C5 C4 C28 C37 C36 C28 应T23 T23 T41 T16 T31 T23 T12 T9 T23 T41 T9 16

数 R9 R9 R3 R4 R3 R18 R3 R6 R9 R3 R6 09C36 C17 C28 C36 C14 C23 C23 C28 C17 C5 C3 C17 统T41 T11 T28 T41 T15 T6 T6 T28 T11 T3 T47 T11 计 R10 R10 R6 R10 R5 R10 R10 R6 R10 R4 R8 R10 09C5 C36 C17 C28 C17 C25 C4 C28 C36 C5 C23 C23 信T46 T41 T28 T28 T28 T36 T12 T28 T41 T46 T14 T14 计 R19 R5 R7 R6 R7 R4 R8 R6 R5 R19 R5 R5 10C47 C50 C7 C7 C16 C6 C20 C44 C19 C19 C3 C3 应T17 T44 T10 T10 T30 T2 T2 T18 T18 T19 T19 物 R5 R28 R5 R5 R5 R16 R7 R8 R8 R1 R1 10C6 C50 C51 C53 C21 C51 C6 应T20 T44 T39 T35 T40 T39 T20 数 R25 R26 R2 R2 R2 R2 R25 10C53 C6 C50 C51 C20 C44 C6 C51 CC3 C3 统T38 T20 T44 T5 T27 T20 T5 T19 T19 计 R4 R25 R26 R4 R8 R25 R4 R1 R1 10C20 C53 C6 C50 C51 C44 C51 C20 C6 信T45 T38 T20 TY T5 T5 T45 T20 计 R7 R8 R25 R25 R3 R R9 R25

星期四 ： 星期五;

1-2 3-4 5-6 7-8 9-10 1-2 3-4 5-6 7-8 07应C C11 数 T5 T34 R13 R8 07信C39 C34 C31 计 T5 T43 T45 R6 R1 R7 17

08应C10 C10 C32 C27 物 T33 T33 T42 T8 R8 R8 R13 R7 08应C39 C14 C22 C12 数 T5 T15 T24 T31 R6 R12 R12 R12 08统C13 C35 C41 计 T1 T13 T4 R11 R11 R11 08信 C38 C41 C22 计 T22 T4 T24 R13 R10 R10 09应C15 C43 C5 C30 C42 C33 C33 物 T22 T23 T48 T1 T7 T7 R12 R18 R6 R6 R14 R14 09应C5 C43 C2 C36 C4 数 T23 T31 T41 T12 R18 R3 R3 R3 09统C36 C43 C14 C3 C5 计 T41 T15 T47 T3 R10 R5 R8 R4 09信C17 C43 C25 C4 C36 计 T28 T36 T12 T41 R7 R4 R8 R5 10应C6 C16 C20 C5 物 T2 T31 T2 T18 R16 R5 R7 R13 10应C21 C53 C20 C20 C53 C51 数 T40 T35 T8 T8 T35 T39 18

R2 R2 R9 R9 R2 R2 10统C20 C53 C1 C1 C51 C53 计 T27 T38 Tg Tg T5 T38 R9 R4 R7 R7 R4 R4 10信C53 C24 C53 C51 计 T38 T29 T38 T5 R8 R7 R8 R 附录三 程序代码： model:

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