人教版高中数学必修一《基本初等函数》章末复习学案

基本初等函数(Ⅰ)

本章概述 学习内容

1.指数函数

(1)通过具体实例(如细胞的分裂，考古中所用的C的衰减，药物在人体内残留量的变化等)，了解指数函数模型的实际背景．

(2)理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． (3)理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．

(4)在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型． 2．对数函数

(1)理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用．

(2)通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．

(3)了解指数函数y＝a(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．

3．幂函数

1α通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y＝xα＝1，2，3，，－1的图象，了解

2

它们的变化情况．

4．学习指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数要注意的问题

(1)指数幂的学习，应在回顾整数指数幂的概念及其运算性质的基础上，结合具体实例，理解有理指数幂及其运算性质，了解实数指数幂的意义及其运算性质，体会“用有理数逼近

x14

无理数”的思想，可以利用计算器或计算机进行实际操作，感受“逼近”过程． (2)关于反函数，可通过比较同底的指数函数和对数函数，了解指数函数y＝a(a＞0，

且a≠1)和对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．

(3)学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数，应结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理

解和处理现实生活和社会中的简单问题.

知识结构

x

2.1 指 数 函 数

2．1.1 指数与指数幂的运算(一)

►基础达标

1．化简下列各式：

(1)

6

3－π

6

＝______________；

答案：π－3

(2) 5a10

＝______________. 答案：a2

答案：C

2

解析：＝2

1－2n＋6

n＋1

12n＋1·2n＋2－2n＋1

22

＝ n－22n－6

4·82

2

＝2

7－2n

12n－7

＝. 2

答案：D

36pmp*

5．设a≥0，化简：a＝____________ ，由此推广可得：a＝________(m，n，p∈N)． 答案：a a2

m ►巩固提高 6

．

若

8

＜

x<12，则x－8

2

＋x－12

2

＝

_______________________________________________________.

解析：答案：4

7．设a，b∈R，下列各式总能成立的是( ) 666

A．(a－b)＝a－b B.8

x－8

2

＋x－12

2

(∵8＜x＜12)＝x－8＋12－x＝4.

a2＋b2

8

＝a＋b

22

4444

C.a－b＝a－b D.10

a＋b10

＝a＋b 答案：B

►巩固提高

10．已知0<2x－1<3，化简1－4x＋4x＋2|x－2|. 1

解析：由0<2x－1<3，得2∴1－4x＋4x＋2|x－2|＝

2

2

2x－1

2

＋2|x－2|＝2x－1－2(x－2)＝3.

1．熟记整数幂的运算性质． 2．理解n次方根与根式的概念．

3．掌握根式运算性质．进行指数幂的运算时，一般将指数化为正指数，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则．

2.1.2 指数与指数幂的运算(二)

►基础达标

1．化简[(－3)2]－1

2的值等于( )

A.3 B．－3 C.33 D．－33

解析：[(－3)2]－1132＝3－2＝3. 答案：C 2.

x－2x－1＝x－2

x－1

成立的条件是( ) A．x＜1 B．x≠1 C.x－2x－1

≥0 D．x≥2 解析：x－2≥0，x≥2，⇒x－1＞0 ∴x≥2. x＞1，

答案：D

3．(－2)100＋(－2)101等于( ) A．－1 B．2100 C．(－2)100 D．－2100 解析：(－2)100＋(－2)101 ＝(－2)100＋(－2)(－2)100 ＝(－2)100[1＋(－2)] ＝－(－2)100＝－2100. 答案：D 4．若

x2＝9，则

x＝________；若

x3＝8，则

________________________________________________________________________.

答案：±3 2

5．已知a12＋a－12

＝3，则a2＋a－

2＝

x＝

________________________________________________________________________.

6．设b＞0，用分数指数幂表示下列各式： (1)b2·b＝________； 3(2)

4

bb＝________.

答案：

1－401

7．计算2－＋＋－1－50的结果是( )

222－11

A．1 B．22 C.2 D．2－

2

►巩固提高

36

8．求值：23×1.5×12＝________.

9．化简下列各式：

解

析

.

解析：

10．已知x∈R，a＞0，设ax＋a－

x＝u，将下列各式分别用u表示：

1．进行指数幂运算时，要将指数化为正指数，还要善于利用幂的运算法则． 2．注意根式运算与有理数指数幂的相互转化．

3．利用指数幂的运算性质进行化简变化时，要注意次序．

：

4．含有绝对值或偶次方根的运算，必要时需要分类讨论.

2.1.3

指数函数及其性质(一)

►基础达标

x1．函数f(x)＝1－2的定义域是( ) A．(－∞，0) B．[0，＋∞) C．(－∞，0] D．(－∞，＋∞)

xxx解析：由1－2≥0，得2≤1，由指数函数y＝2的性质可知x≤0. 答案：C

2．一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个，……每天分裂一次，现在将一个该细胞放入一个容器，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器的一半时需要的天数是( )

A．5天 B．6天 C．8天 D．9天 答案：D

x3．若0＜a＜1，b＜－2，则函数y＝a＋b的图象一定不经过( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：A

13x－1－1的定义域是________．

4．函数＝y28

6．某厂去年生产某种规格的电子元件a个，计划从今年开始的m年内，每年生产此种元件的产量比上一年增长p%，此种规格电子元件年产量y随年数x变化的函数关系是____________________．

x答案：y＝a(1＋p%)(0≤x≤m) ►巩固提高

xx7．已知a，b＞1，f(x)＝a，g(x)＝b，当f(x1)＝g(x2)＝2时， 有x1＞x2，则a，b的大小关系是( )

A．a＝b B．a＞b C．a＜b D．不能确定 解析：∵a＞1，b＞1， 由图示知b＞a.

答案：C

.

9．若函数f(x)＝a＋3恒过定点P，试求点P的坐标．

xx－1

分析：研究f(x)＝a的图象和f(x)＝a＋3图象的关系，由指数函数恒过(0,1)点推导．

x解析：将指数函数y＝a(a＞0，且a≠1)的图象沿x轴右移一个单位，再沿y轴向上平

x－1xx－1

移3个单位，即可得到y＝a＋3的图象，因为y＝a的图象恒过(0,1)，故相应的y＝a＋3恒过定点(1,4)．

x－1

1．熟记指数函数的图象和性质．

2．研究与指数函数相关的函数性质时，要用好指数函数的图象和性质，有时需要把一些式子当成一个整体．

3．在实际问题中，抽象出指数函数的模型后，需注意定义域以及函数的性质．

2.1.4 指数函数及其性质(二)

►基础达标

x1．已知指数函数y＝a(a＞0，且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a等于( )

1

A. B．2 2

1

C．4 D.

4

解析：∵指数函数在其定义域内是单调函数， ∴端点处取得最大、小值， 0

∴a＋a＝3，故a＝2. 答案：B

2．下列不等关系中，正确的是( ) 12111112A.＜1＜ B.＜＜1 23232323

11121211C．1＜＜ D.＜＜1

23232323

3．函数f(x)＝a(a>0且a≠1)，对于任意实数x，y都有( ) A．f(xy)＝f(x)f(y) B．f(xy)＝f(x)＋f(y) C．f(x＋y)＝f(x)f(y) D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)

x＋yxy解析：f(x＋y)＝a＝aa＝f(x)f(y)．故选C. 答案：C

x4．将函数y＝2的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位可得到函数__________的图象．

x－1

答案：y＝2＋2

1xx5．函数y＝－2在区间[－1, 1]上的最大值为________．

3

51xx解析：∵y＝－2在区间[－1,1]上是单调减函数，∴当x＝－1时，有最大值为.

23

5答案：

2

x

►巩固提高

－x7．函数y＝|2－2|的图象是( )

答案：D

2x21－x8．已知(a＋a＋2)＞(a＋a＋2)，则x的取值范围为( )

1A．(－∞，1) B.，＋∞ 2

C．(0,2) D．R

1272

解析：∵a＋a＋2＝a＋＋＞1，

24

1

∴由题设知x＞1－x，解得x＞.

2

答案：B

1

9．已知函数f(x)＝a－x，若f(x)为奇函数，则a＝__________.

2＋1

x12

解析：∵f(－x)＝a－－x＝a－x，

2＋11＋2

∵f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)，

x211

∴a－－a⇒2a＝1⇒a＝. x＝x1＋22＋121答案：

2

解析：令t＝x－4x＋3，则y＝3.

2t(1)当x∈[2，＋∞)时，t＝x－4x＋3是x的增函数，而y＝3是t的增函数 ，故y＝2

3x－4x＋3的单调递增区间是[2，＋∞)．

2t(2)当x∈(－∞，2]时，t＝x－4x＋3是x的减函数，而y＝3是t的增函数，故y＝

2

t

3x－4x＋3的单调递减区间是(－∞，2]．

1．比较指数式的大小，多用指数函数的单调性． 2．注意函数图象由简单到复杂的变换过程．

3．研究较复杂的函数性质时，首先要搞清它是由哪些简单函数复合而成的，这样容易理解整体性质．

4．解决综合性问题，应分步分类逐步解决.

2