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江西省南昌市第十中学2018-2019学年高二上学期第二次月
考数学（文）试题
评卷人 得分 一、单选题
1．“a1”是“
11”的（ ） aA． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】试题分析：当a1时可得分但不必要条件
考点：充分条件与必要条件
111，反之不成立，所以“a1”是“1” 的充aa2．表示的图形是( )
A． 一条线段 B． 一条直线 C． 一条射线 D． 圆 【答案】C 【解析】 【分析】
利用极坐标方差化为直角坐标方程即可得出． 【详解】
表表示的图形是一条射线：y=x（x≥0）．
故选：C． 【点睛】
本题考查了射线的极坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．点
在曲线：
为参数上，则
的最大值为
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 【答案】C 【解析】 【分析】
1
把参数方程代入x+y得到关于θ的三角函数，根据三角函数的性质求出最值． 【详解】
∴当sin（φ+θ）=1时，x+y取得最大值5， 【点睛】
本题考查了参数方程的应用，属于基础题． 4．用反证法证明“A． C．
，，
， B． D．
”，应假设为
，，
【答案】B 【解析】 【分析】
根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即可得出正确选项． 【详解】
根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，P（x0）成立的否定是使得P（x0）不成立，即用反证法证明“∀x∈R，2x＞0”，应假设为
故选：B． 【点睛】
本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定． 5．已知P为抛物线最小值为 A．
B． 5 C． 7 D． 11
上一点，F为该抛物线焦点，若A点坐标为
，则
，
.
【答案】B 【解析】 【分析】
利用抛物线的定义，转化为A到准线的距离就是|PA|+|PF|的最小值，即可得出结论． 【详解】
2
将x=3代入抛物线方程y2=8x，得∴A在抛物线内部．
设抛物线上的点P到准线l：x=-2的距离为d，
由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d，所以当PA⊥l时，|PA|+d最小，最小值为5． 故选：B． 【点睛】
本题考查抛物线的定义和性质的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题． 6．已知命题“A． C． 【答案】B 【解析】 略
7．已知命题若③
④
，则
；命题若
，则
．在命题①
；②
；
，如果，如果
，如果
，则，则
，则 B． D．
”，则它的否命题是 （ ）
，如果，如果
，则，则
中真命题的序号是（ ）．
A． ①③ B． ①④ C． ②③ D． ②④ 【答案】C 【解析】
是真命题，是假命题，是假命题，∴真命题是②③.
点睛：若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可.以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可.
8．在同一平面直角坐标系中，将直线按变换后得到的直线，若以
坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程为 A．
B．
3
C． 【答案】A 【解析】 【分析】
D．
根据直线直角坐标方程，将直线上的点按坐标变换得到直线的方程；利
用直角坐标与极坐标的互化公式，写出直线的极坐标的方程； 【详解】
将直线坐标方程为故选A. 【点睛】
按变换后得到的直线，.
，即，化为极
本题考查了坐标变换的应用，极坐标与直角坐标方程的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．已知椭圆的焦点分别是，，点M在该椭圆上，如果，那
么点M到y轴的距离是
A． B． C． D． 1
【答案】B 【解析】 【分析】
设M（x，y），则椭圆【详解】
…①，
，可得x2+y2=3…②，由①②可求解．
设M（x，y），则椭圆…①，
4
∵椭圆∵
的焦点分别是
，∴x2+y2=3…②
由①②得 ，
∴点M到y轴的距离为【点睛】
，故选：B．
本题考查了椭圆的方程及向量运算，属于中档题． 10．直线
分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆
上，则
面积的最大值是 A．
B． C．
D． 6
【答案】D 【解析】 【分析】
点P到直线AB的距离得最大值为圆心M到直线AB的距离加上半径．由此可求积的最大值. 【详解】
设点P到直线AB的距离为h，点M到直线AB的距离为d，
面
则 ，
∴故选：D． 【点睛】
本题考查了点到直线的距离、三角形面积公式．属中档题．
11．已知椭圆：
别为，的离心率，则 A．
与双曲线：的焦点重合，，分
且 B． 且
5
C． 且 D． 且
【答案】A 【解析】
根据椭圆与双曲线的基本性质知，所以，又
，所以
故选A．
，
点睛：本题考查椭圆和双曲线的标准方程及其简单几何性质，基本量之间的关系，属于中档题．处理此类问题注意分析
之间的关系，利用离心率
定义写出，为了判别其积是否大于1，可考察其平方，
根据条件转化为，从而大于1．
12．已知椭圆C：的左、右顶点分别为A、B，F为椭圆C的右焦点，圆
上有一动点P，P不同于A，B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，则 ．
的取值范围是
A． 【答案】D 【解析】 【分析】
B． C． D． （-∞，0）∪（0，1）．
椭圆C：
焦点在x轴上，由P在圆x2+y2=4上，则
，可得
设
则而得出．
，设t=cosθ，t∈（-1，1），则，进
6
【详解】
椭圆C：焦点在x轴上，，右焦点F（1，0），
由P在圆x2+y2=4上，则PA⊥PB，
则设
，则
，
则设
，
则
且不等于0．
故选D： 【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、三角函数求值、函数的性质、换元方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
7
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题
13．在极坐标系中，已知________________ ． 【答案】【解析】 【分析】
，则A，B两点之间的距离
先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，进行代换将极坐标化成直角坐标，再在直角坐标系中算出两点间的距离即可． 【详解】
根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，点，的直角坐标为： ，
故答案为：【点睛】
．
本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，本题解题的关键是能进行极坐标和直角坐标的互化．
14．设，q：，若p是q成立的充分不必要条件，则m的取值范围是
______________． 【答案】【解析】 【分析】
将条件关系转化为集合的包含关系；据集合的包含关系得到集合的端点的大小关系，列出不等式即可求出m的范围． 【详解】
8
不等式可得：0＜x＜2，
因为p是q成立的充分不必要条件，
所以集合{x|0＜x＜2}是集合{x|0＜x＜m}的真子集 ∴m＞2
故答案为：（2，+∞） 【点睛】
本题考查利用集合关系来判断条件关系．当A⊊B时，A是B的充分不必要条件是解决问题的关键，属基础题．
15．对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：
，
的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】
由前几个得出规律并归纳即可得出答案． 【详解】
∵23=3+5，是从3开始的2个奇数的和；
33=7+9+11，是从5的下一个奇数7开始的3个奇数的和； …；
而31之前除了1以外的奇数有15个，又2+3+4+5=14， ∴63=31+33+35+37+39+41． 故m的值应为6． 故答案为6． 【点睛】
本题考查归纳推理，掌握归纳归纳猜想的思想方法是解题的关键．
，，仿此，若
，
的“分裂数”中有一个是31，则m
x2y216．椭圆C:221(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2，上、下顶点分别为B1B2，
ab右顶点为A，直线AB1与B2F1交于点D.若2AB13B1D，则C的离心率等于__________．
9
【答案】
1 4AB13根据相似三角形得： AD5【解析】如图：设D(x0,y0)，由2AB13B1D，得
25xya3b1，将点D,求得x0a,y0b，又直线B2F1方程为：
33cbax05y025ab258133代入得： 1,1e
cb3e334
17．已知
，p：
：
若p是q的充分条件，求实数m的取值范围； 若
，“
“为真命题，“（Ⅱ）
“为假命题，求实数x的取值范围．
【答案】（I）【解析】 试题分析：（1）
，是的充分条件，是的子集，所以
；（2）由题意可知一真一假，当时，，分别求出真
假、假真时的取值范围，最后去并集就可以． 试题解析： （1）
，∵是的充分条件，∴
是
的子集，
，∴的取值范围是
（2）由题意可知
一真一假，当
时，
．
，
真假时，由假真时，由
；
或
．
10
所以实数的取值范围是
．
考点：含有逻辑联结词命题真假性． 评卷人 得分 三、解答题
18．若抛物线的焦点是，，求此抛物线的标准方程； 双曲线的右焦点是
，且以
为渐近线，求此双曲线的标准方程．
【答案】（1）；（2）.
【解析】 【分析】
设抛物线的方程为
，由题意抛物线的焦点是，
求出p,即可得到抛物线的标准方程；
设双曲线的方程为 则由题意，联立解出，即可得到双曲线的标准方程． 【详解】
解：（1）设抛物线的方程为
，
可得， 解得
，
则抛物线的标准方程为
；
（2）设双曲线的方程为，，
则
，
由渐近线方程，
可得，
11
解得，，
则双曲线的方程为【点睛】
．
本题考查抛物线，双曲线的标准方程的求法，属基础题.
19．已知直线l的参数方程为求曲线C的直角坐标方程． 求直线l被曲线C截得的弦长． 【答案】（1）【解析】 【分析】 由方程．
得到
，将
；（2）
.
为参数，曲线C极坐标方程为．
代入上式中，即可得到曲线C的直角坐标
直线l的参数方程为代入【详解】 解：（1）由 将
，
，得
，
得到
为参数，消去t，得普通方程为
利用弦长公式可得直线l被曲线C截得的弦长．
代入上式中，得曲线C的普通方程为．
（2）由直线l的参数方程将式代入式中，整理得设直线l与曲线C相交于
，
，消去t，得普通方程为
， ，
，
12
由韦达定理得
又由式得直线l的斜率
， ，
所以直线l被曲线C截得的弦长为
．
【点睛】
本题考查了数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20．已知曲线：
为参数，：
为参数．
化，的方程为普通方程； 若Q是
的任意一点，求Q到直线：
为参数距离的最小值．
【答案】（1）【解析】 【分析】
，；（2）.
（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线C1表示一个圆；曲线C2表示一个椭圆；
（2）把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C2的参数方程设出Q的坐标，利用点到直线的距离公式表示出Q到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值． 【详解】
解：（1）把曲线：为参数化为普通方程得：，
把：为参数化为普通方程得：；
（2） 把直线：设Q的坐标为
为参数化为普通方程得：
，所以M到直线的距离
，
，其中
13
d的最小值
【点睛】
．
此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题，灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题．
21．已知，分别是双曲线E：
到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍， 求双曲线的渐近线方程； 当
时，
的面积为
的左、右焦点，P是双曲线上一点，
，求此双曲线的方程．
【答案】（1）【解析】
（2）
试题分析：（1）由到左顶点的距离等于它到渐近线距离的倍，根据点到直线距离公
式可得得
，从而可得双曲线的渐近线方程；（2）由余弦定理，结合双曲线的定义可
，再根据
的面积为
，可得
，得，从而可得结果.
试题解析：（1）因为双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线距离为
（其中c是双曲线的半焦距），所以由题意知故所求双曲线的渐近线方程是（2）因为即
，由余弦定理得
.
，又因为，解得，
，
，平方得。
。又由双曲线的定义得，相减得
根据三角形的面积公式得
，得。再
14
由上小题结论得，故所求双曲线方程是.
22．在平面直角坐标系椭圆的右顶点为.
中，已知椭圆的焦距为，离心率为，
（1）求该椭圆的方程； （2）过点定值.
作直线
交椭圆于两个不同点
，求证：直线
的斜率之和为
【答案】（1）（2）直线AP，AQ的斜率之和为定值1.
【解析】试题分析：（1）由题意可知即可求得椭圆的方程；（2）则直线
，，离心率，求得，则，
的方程：
，
，代入椭圆方程，由韦达
的斜率，即可证明直线
，
的率之和
定理及直线的斜率公式，分别求得直线为定值.
试题解析：（1）由题 所以，.
所以椭圆C的方程为
（2）当直线PQ的斜率不存在时，不合题意； 当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为代入设
，
得，则：
， ，
15
，，，
所以，，
又
=1.所以直线AP，AQ的斜率之和为定值1.
16
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