2019年高考数学总复习：不等式的关系

1．(2018·北京大兴期末)若a<5，则一定有( ) 22

A．aln<5ln

3322C．|aln|<|5ln|

33答案 D

2．若a，b是任意实数，且a>b，则下列不等式成立的是( ) A．a2>b2 C．lg(a－b)>0 答案 D

解析 方法一：利用性质判断．

b

方法二(特值法)：令a＝－1，b＝－2，则a21，lg(a－b)＝0，可排除A，B，C三项．故

a选D.

1

3．设a∈R，则a>1是<1的( )

aA．充分不必要条件 C．充要条件 答案 A

111

解析 若a>1，则<1成立；反之，若<1，则a>1或a<0.即a>1⇒<1，故选A.

aaa11

4．若a，b为实数，则＜成立的一个充分而不必要的条件是( )

abA．b＜a＜0 C．b(a－b)＞0 答案 A

1111

解析 由a>b⇒＜成立的条件是ab＞0，即a，b同号时，若a＞b，则＜；a，b异号时，

abab11

若a>b，则＞. ab

5．(2017·广东东莞一模)设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式成立的是( ) A．a－b>0 C．a2－b2<0 答案 D

2019年高考数学总复习：不等式的关系

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22

B．|a|ln<5ln

3322

D．a|ln|<5|ln|

33

b

B.<1 a

11D．()a<()b

33

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

B．a＜b D．a＞b

B．a3＋b3>0 D．a＋b<0

1

6．设a，b为实数，则“0aA．充分不必要条件 C．充要条件 答案 D

111

解析 一方面，若0b>，∴b<不成立；另一方面，若b<，则当aaaa<0时，ab>1，∴07．已知00 C．2ab>2 答案 D

13

解析 方法一(特殊值法)：取a＝，b＝验证即可．

44

1

方法二：(直接法)由已知，048．设011

解析 方法一(特殊值法)：取b＝，a＝.

42方法二(单调性法)： 0y＝log1x在(0，＋∞)上为减函数，

2

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

B．2ab>1

－

D．log2(ab)<－2

B．log1b2

2

D．a2∴log1b>log1a，B不对；

2

2

a>b>0⇒a2>ab，D不对，故选C.

9．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，若两人步行速度、跑步速度均相同，则( ) A．甲先到教室 C．两人同时到教室 答案 B

s

解析 设步行速度与跑步速度分别为v1和v2显然0v1s4s，乙用时间为， v2v1＋v2

2019年高考数学总复习：不等式的关系

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B．乙先到教室 D．谁先到教室不确定

s（v1＋v2）2－4sv1v2s（v1－v2）2ss4s

而＋－＝＝>0， v1v2v1＋v2v1v2（v1＋v2）v1v2（v1＋v2）ss4s故＋>，故乙先到教室． v1v2v1＋v2

10．(2018·浙江台州一模)下列四个数中最大的是( ) A．lg2 C．(lg2)2 答案 A

解析 因为lg2∈(0，1)，所以lg(lg2)<0； 11

lg2－(lg2)2＝lg2(－lg2)>lg2(－lg10)＝0，

22即lg2>(lg2)2；

1

lg2－lg2＝lg2>0，即lg2>lg2.

2所以最大的是lg2.

11．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( ) A．c>b>a C．a>c>b 答案 D

解析 a＝log36＝1＋log32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72，则只要比较log32，log52，log72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图像，由三个图像的相对位置关系，可知a>b>c，故选D.

111

12．已知实数x，y，z满足x＋y＋z＝0，且xyz>0，设M＝＋＋，则( )

xyzA．M>0 C．M＝0 答案 B

111

解析 ∵xyz>0，∴x≠0，y≠0，z≠0.又∵x＋y＋z＝0，∴x＝－(y＋z)，M＝＋＋＝

xyzyz＋xz＋xyyz＋x（y＋z）yz－（y＋z）（y＋z）－y2－z2－yz

＝＝＝.∵－y2－z2－yz＝－

xyzxyzxyzxyz13

[(y＋z)2＋z2]<0，xyz>0，∴M<0.故选B.

24

ππ

13．(1)若角α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是________．

223ππ

答案 (－，)

22

B．M<0 D．M不确定 B．b>c>a D．a>b>c B．lg2 D．lg(lg2)

2019年高考数学总复习：不等式的关系 第 3 页 共 3 页

ππ3ππ

解析 ∵－<α<β<，∴－π<α－β<0.∵2α－β＝α＋α－β，∴－<2α－β<.

2222(2)若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________． 答案 (－3，3)

解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4.∴－4<－|β|≤0.又∵1<α<3，∴－3<α－|β|<3.

1

14．(2017·《高考调研》原创题)设α∈(0，)，T1＝cos(1＋α)，T2＝cos(1－α)，则T1与T2

2的大小关系为________． 答案 T1解析 T1－T2＝(cos1cosα－sin1sinα)－(cos1cosα＋sin1sinα)＝－2sin1sinα<0. 15．(1)若a>1，b<1，则下列两式的大小关系为ab＋1________a＋b. 答案 <

解析 (ab＋1)－(a＋b) ＝1－a－b＋ab＝(1－a)(1－b)， ∵a>1，b<1，∴1－a<0，1－b>0， ∴(1－a)(1－b)<0，∴ab＋11

(2)若a>0，b>0，则不等式－b<x11

答案 (－∞，－)∪(，＋∞)

ba解析 由已知，－b<0，a>0，

1

∴∈(－b，a)＝(－b，0)∪{0}∪(0，a)． x11

∴x∈(－∞，－)∪(，＋∞)．

ba

16．设a>b>c>0，x＝a2＋（b＋c）2，y＝b2＋（c＋a）2，z＝c2＋（a＋b）2，则x，y，z的大小顺序是________． 答案 z>y>x

解析 方法一(特值法)：取a＝3，b＝2，c＝1验证即可．

方法二(比较法)：∵a>b>c>0，∴y2－x2＝b2＋(c＋a)2－a2－(b＋c)2＝2c(a－b)>0，∴y2>x2，即y>x.

z2－y2＝c2＋(a＋b)2－b2－(c＋a)2＝2a(b－c)>0， 故z2>y2，即z>y，故z>y>x.

ab11

17．已知a＋b>0，比较2＋2与＋的大小．

baab答案

ab11＋≥＋ b2a2ab

2019年高考数学总复习：不等式的关系 第 4 页 共 4 页

解析

ab11a－bb－a＋－＋＝2＋2＝ b2a2abba

2

11（a＋b）（a－b）(a－b). b2－a2＝a2b2（a＋b）（a－b）2∵a＋b>0，(a－b)≥0，∴≥0.

a2b22

ab11∴2＋2≥＋. baab

18．已知a>0且a≠1，比较loga(a3＋1)和loga(a2＋1)的大小． 答案 loga(a3＋1)>loga(a2＋1)

解析 当a>1时，a3>a2，a3＋1>a2＋1. 又y＝logax为增函数， 所以loga(a3＋1)>loga(a2＋1)； 当0loga(a2＋1)．

综上，对a>0且a≠1，总有loga(a3＋1)>loga(a2＋1)．

1．(2016·山东)已知实数x，y满足axln(y2＋1) C．x3>y3 答案 C

解析 方法一：因为实数x，y满足axy. 对于A，取x＝1，y＝－3，不成立； 对于B，取x＝π，y＝－π，不成立；

对于C，由于f(x)＝x3在R上单调递增，故x3>y3成立； 对于D，取x＝2，y＝－1，不成立．选C.

方法二：根据指数函数的性质得x>y，此时x2，y2的大小不确定，故选项A、D中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项B中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项C中的不等式成立．

2．(2017·北京平谷区质检)已知a，b，c，d均为实数，有下列命题： cd

①若ab>0，bc－ad>0，则－>0；

abcd

②若ab>0，－>0，则bc－ad>0；

ab

B．sinx>siny 11D.2>2 x＋1y＋1

2019年高考数学总复习：不等式的关系 第 5 页 共 5 页

cd

③若bc－ad>0，－>0，则ab>0.

ab其中正确命题的个数是( ) A．0 C．2 答案 D

cdbc－adcd

解析 对于①，∵ab>0，bc－ad>0，－＝>0，∴①正确；对于②，∵ab>0，又－>0，

abababbc－adbc－adcd

即>0，∴②正确；对于③，∵bc－ad>0，又－>0，即>0，∴ab>0，∴③正确．

ababab3．(2017·浙江温州质检)设a，b∈R，则“a>1，b>1”是“ab>1”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 A

解析 a>1，b>1⇒ab>1；但ab>1，则a>1，b>1不一定成立，如a＝－2，b＝－2时，ab＝4>1.故选A.

4．(2017·湖北黄冈质检)已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中成立的是( ) A．xy>yz C．xy>xz 答案 C

5．下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是( ) A．a>b＋1 C．a2>b2 答案 A

解析 ①由a>b＋1，得a>b＋1>b，即a>b.而由a>b不能得出a>b＋1，因此，使a>b成立的充分不必要条件是a>b＋1；②B是非充分必要条件；③C是非充分也非必要条件；④D是充要条件，故选A.

6．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( ) A．a2>b2 11C.< ab答案 D

解析 方法一：(特殊值法)

令a＝1，b＝－2，c＝0，代入A，B，C，D中，可知A，B，C均错，故选D. 方法二：(直接法)

B．a|c|>b|c| abD.2>2 c＋1c＋1B．a>b－1 D．a3>b3 B．xz>yz D．x|y|>z|y| B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 B．1 D．3

2019年高考数学总复习：不等式的关系 第 6 页 共 6 页

ab

∵a>b，c2＋1>0，∴2>2，故选D.

c＋1c＋1

7．如果a，b，c满足cac C．cb2解析 由题意知c<0，a>0，则A，B，D一定正确，若b＝0，则cb2＝ab2.故选C. 2

8．已知a>b>0，且ab＝1，设c＝，P＝logca，N＝logcb，M＝logc(ab)，则有( )

a＋bA．P解析 因为a>b>0，且ab＝1，所以a>1，02ab＝2，0ab

9．已知有三个条件：①ac2>bc2；②>；③a2>b2，其中能成为a>b的充分条件的是________．

cc答案 ①

解析 由ac2>bc2可知c2>0，即a>b，故“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件；②当c<0时，ab的充分条件．

10．(2017·皖南七校联考)若a abC．|a|>|b| 答案 B

1111

解析 由a0，因此a·成立；由a－b>0，因此|a|>|b|>0

ababab111

成立；又y＝()x是减函数，所以()a>()b成立．

222

11．已知m>1，a＝m＋1－m，b＝m－m－1，则以下结论正确的是( ) A．a>b C．a解析 a＝m＋1－m＝

11

，b＝m－m－1＝，因为m＋1＋

m＋1＋mm＋m－1

B．a＝b

D．a，b的大小不确定 B．2a>2b 11

D．()a>()b

22

2

<1，所以a＋b

B．M0 D．ac(c－a)>0

m>m＋m－1，所以a2019年高考数学总复习：不等式的关系 第 7 页 共 7 页

12．已知a<0，－1解析 ∵a－ab＝a(1－b)<0，∴a0，∴ab>ab2.∵a－ab2＝a(1－b2)<0，∴a11

①若a2－b2＝1，则a－b<1；②若－＝1，则a－b<1；③若|a－b|＝1，则|a－b|<1；④

ba若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.

其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号) 答案 ①④

解析 对于①，a2－b2＝(a－b)(a＋b)＝1，若a－b≥1，又a>0，b>0，则a＋b>a－b≥1，此时(a＋b)·(a－b)>1，这与“a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝1”相矛盾，因此a－b<1，①正确．对于211

②，取a＝2，b＝，有－＝1，此时a－b>1，因此②不正确．对于③，取a＝9，b＝4，

3ba有|a－b|＝1，但此时|a－b|＝5>1，因此③不正确．对于④，由|a3－b3|＝1，得|a－b|(a2＋ab＋b2)＝1，|a－b|(a2＋ab＋b2)>|a－b|·(a2－2ab＋b2)＝|a－b|3，于是有|a－b|3<1，|a－b|<1，因此④正确．

综上所述，其中的真命题有①④.

14．(2018·吉林一中期末)若0A. 2C．2ab 答案 D

1

解析 方法一：0a，所以2a<1，所以0211

所以b>，所以0.可排

2231

除C项．再对B，D两项作差有a2＋b2－b＝(1－b)2＋b2－b＝2b2－3b＋1＝2(b－)2－.把结

481

果视为关于b的函数，定义域b∈(，1)，得a2＋b2－b<0，所以a2＋b22方法二：用特殊值法．根据题目条件04

4

4

B．a2＋b2 D．b

A．2b>2a>2c C．2c>2b>2a 答案 A

2019年高考数学总复习：不等式的关系

B．2a>2b>2c D．2c>2a>2b

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解析 因为log1ba>c，又因为指

4

4

4

4

数函数y＝2x是单调增函数，所以2b>2a>2c，故选A. 16．已知2b<2a<1，则下列结论错误的是( ) A．a2解析 因为函数h(x)＝2x在R上单调递增，由2b<2a<1，即2b<2a<20，可得b可得a20，>0，a≠b，可得＋>2，排除B，选D.

abab

ba

B.＋>2 ab11D.> ab

2019年高考数学总复习：不等式的关系 第 9 页 共 9 页