Holder不等式的证明及其在大学数学教学中的应用初探

数学教学中的应用初探黄鹏展，韩亚洲，马小玲(大学，乌鲁木齐830046)【摘要】Holder不等式作为揭示高等数学基本函数空间——Lp空间内函数相互关系的基本不等式，在基本数学理

论和教学研究中都发挥了重要的作用。为了帮助学生更好地理解掌握Holder不等式，基于教学实践，主要从不等式的

介绍、证明以及应用三个方面进行探讨。【关键词】 Holder■不等式;H&ldeT不等式的证明;Hiildei■不等式的应用Exploration on Proof and Applications in Teaching

Process of Holder InequalityHUANG Peng-zhan, HAN Ya-zhou, MA Xiao-ling(Xinjiang University, Urumqi 830046, China)[Abstract] The Holder inequality is a very important inequality in Lp Space which is a basic functional space in Advanced

Mathematics, especially in areas of research of theory and teaching. To help students better understand the Holder inequality, based on author's personal teaching practices, the paper discusses the teaching methods about Holder inequality mainly from

introduction, proof and applications.[Key words] Holder inequality; proof of Holder inequality; applications of Holder inequality〔中图分类号〕G2.41

〔文献标识码〕A

〔文章编号〕1674 - 3229(2019)03- 0005 - 030引言著名的Holder不等式是大学数学经常使用的 一个数学工具，它最初是以数列形式给出的，后来

式的推广与改进“期。我们知道,现在的高中教材中就介绍了利用函 数导数求最值的方法，学生基本在高中时代就接触

数学家Riesz将其推广成一个积分形式。随后，这个

不等式又和Minkowski不等式一起成为建立高等数 学基本函数空间——Lp空间的基本工具。Holder不等式自19世纪80年代产生以来，在数

到了导数。文献［9］也给出基于导数证明不等式的

五种基本方法，从而可以帮助学生更好地拓展解题

思路。因此，本文结合笔者在教学过程中的实践和 体会，主要从以下三个方面对Holder不等式进行教 学探讨。首先，引入在大学数学学习过程中学生常

见的一个Holder不等式形式，即最基本的数列形 式;其次，介绍学生较易理解的该不等式的一个初

学领域的许多分支中都有重要的作用。特别是在

数学分析、泛函分析、Sobolev空间、有限元方法以及 偏微分方程等课程的教学研究和科学研究中都起

等证明方法,这是一个基于导数的初等证明方法，

该方法能揭示相关结果的本质所在;最后,给出了

到了重要作用。由于数学家Hardy等人—再强 调Holder不等式“极为重要”和“到处都要用到”，故

该不等式的一些在大学数学教学过程中经常出现

的应用和推广。而Holder不等式已经有许多学者对其做了众多形［收稿日期］2019-03-07［基金项目］大学\"21世纪高等教育教学改革工程”四期项目(XJU20⑸GY15)［作者简介］黄鹏展(1983-)，男，博士，大学数学与系统科学学院副教授，研究方向:偏微分方程。• 5 •2019年9月廊坊师范学院学报(自然科学版)第19卷•第3期1 Holder不等式的一个证明Holder 不等式：设 a” , bk>0 , k=l ,2, ,n ,

卡+寺=1，若p>l，贝!)n tbl y

(1)k= 1 k= 1

k= 1若0或仮｝为零数列，或存在两个不同时为零的非负常 数q , c2，使得qa：之2圧时,k=l,2, •••,«，⑴式

中等号成立。为了证明上述Holder不等式,我们先来证明三

个有用的引理。引理 1 设 x>0, 0对于00;对于x>l ,有 /(x)<0o由求函数极值定理可知，/'(X)在处

取其最大值。因此，/(x)xa-ax0将其代入不等式屮-axWl-a,可得，,即琴-a•的。因此，ba~

a£ = £ W a • a +/ •九最终得到不等式成立。 ba\" bP弓I理3 设。>0 , b>0 , p>0 , q>0且丄+ 丄=

p q1,有血W丄亍+丄戻。p q证明 在引理2中，将d换作/，将b换作胪，

并令a=— , 0=丄，将其代入不等式

p q(fbP 将所得不等式累加如下：=i,由此⑵式成立。其次,我们考虑一般情况。对一般情况而言，只要 用下面的数代换勺，鉞，即总可以化为上面的特殊情况。所以，有不等式瓦‘W1成立。即有n ( n

\\pk=l

1，证明类似。jt=l \\Jc=l J V=1 J2 Holder不等式的应用Holder不等式的重要性主要体现在它有很多重

要的应用,特别是在大学数学教学过程中的一些应

用。下面给出几个简单的应用加以说明。(1)当 p = q = 2 时，就得到 Cauchy-Schwarz 不

等式(2)利用Holder不等式证明Minkowski不等式

成立。首先给出Minkowski不等式如下:设ak>0 ,

—>0 ,丘=1,2,…，〃，p>l ,有证明因为有恒等式”=£畋(畋+砌小++研\\k=l

k=l k=l并且由舟+ * = i,因为知道9_i)q=p，所以对上述恒等式右边两个和式应用Holder不等式，可得,第19卷•第3期黄鹏展等:H&lder不等式的证明及其在大学数学教学中的应用初探2019年9月£仏+嘟丄

14常丫.伦(畋+犷呼+141 )+4)&£=1 4+)上式两边同除以上+，可得,+v=l故有Minkowski不等式成立o⑶利用Holder不等式可以证明李亚普诺夫不

等式成立。首先给出李亚普诺夫不等式，若

0李亚普诺夫不等式有如下形式：z \\a1 -a刃皿<|£昭;| •IEV; k=l再利用Holder不等式即可得证。(4)直接利用上面的Holder不等式，还可得到

下面两个不等式。①设正整数Q2 ,

2, n)，并且有 + + + H+----…1- + = 1 ,若勺》0(Z = 1, 2,…;1,2,…，加)，有下列不等式m ( m

\\丄

为“厂・讣工砖

Pl1 1J=1

V = 1 丿正整数n>2 ,at>0(i=l, 2,“)，则有, 丄］\"1 + (aia2 •・a”)\" + ai)(l + a2>- 0 + a„)。3结语本文结合笔者的教学经历,对Holder不等式进

行了教学探讨。通过实际教学，发现学生可以通过

数列形式Holder不等式的证明，加深对积分形式的

Holder不等式的理解，有助于学生对Lp空间的掌

握。另外,Holder不等式的初等证明,也使得此不等

式能在初等数学阶段就给予介绍,有利于Holder不 等式传播和使用。同时，通过充分发掘利用此不等

式，能使许多问题得到新的简单直接的解决，体现

数学的魅力。通过训练使用这些知识的技巧和能

力，还能为学生以后的发展奠定思维基础。[参考文献][1] 贝肯.E,贝尔曼.R,文丽译.不等式入门[M].北京:

北京大学出版社,1985.[2] Hardy, G.H., Littlewood, J.E., Polya, G.Inequalities [M].北

京:科学出版社,1965.[3] 匡继昌.常用不等式(第4版)[M].济南:山东科学技术出

版社,2010.[4] 陈奕俊.关于Holder不等式的几点注记[J].华南师范大学

学报(自然科学版),2002,34 (4): -60.[5] 刘证.关于Holder不等式[J].数学的实践与认识,1998,

28(4):302-308.[6] 何瑞强.关于Holder不等式[J].甘肃联合大学学报,2012,

26(3):19-21.[7] 吴树宏.Holder不等式和Minkowski不等式的推广[J].数

学学报,2006,49(6):1267- 1274.[8] 智婕.利用一些函数证明不等式[J].廊坊师范学院学报

(自然科学版),2011,11 (6):19- 20.[9] 全梅花，张雪梅.浅议利用导数证明不等式的几种方法[J].

廊坊师范学院学报(自然科学版)，2015,15(1)： 15-17.• 7 •