第三讲期望效用函数和风险厌恶者的投资行为

第三讲：期望效用函数和风险厌恶者的投资行为

一、金融市场不确定性

（一）金融市场的重要特征：不确定性

1、不确定性何以存在

（1）政治因素：外交关系紧张、地区冲突等。

（2）经济因素

① 宏观经济状况

② 经济 如提高准备金率、公布国有股减持方案。

③ 微观主体运营状况等

3、意外事件：疾病、恐怖袭击等

其中政治因素和经济因素为既存风险。意外事件为突发危机。二者的影响有所不同。

2、金融市场的测不准原理

索罗斯：1997年亚洲金融危机时，马哈蒂尔称我为金融大鳄。其实，我只是很多投资者中的一个，世人对我有很多误解。在这一危机中，我也亏了很多钱，其实我也测不准，

我也被证明出错了。所以，我现在不预测短期的股市走向，因为这太容易被迅速证明是个错误。我什么也不害怕，也不害怕丢钱，但我害怕不确定性。

3、不确定性和风险

（1）观点一：确定性的实质就是风险

不确定性”的实质就是风险，风险积聚到一定程度就有可能演化为危机，风险为常态，危机则是偶发。

（2）观点二：风险是不确定性及暴露于不确定性的程度

风险是不确定性，以及暴露于不确定性的程度，是个人的，极大部分视你对某议题的了解程度及处理方式而定。

例：蹦级者

例：金融市场上的投资者：投资的种类和数量，投资者的技能。

4、“不确定性”对金融市场的影响

（1）不确定性情况下的非理性反应：恐慌

一是毫无根据的“非理性恐慌”。

例：1981年美国总统里根遇刺事件导致投资者大量拋售美元。

二是能够证明其合理性的恐慌或称“自我实现恐慌”。．

例：“羊群效应”导致的银行挤兑。 ）不确定性情况下的理性行为：谨慎投资（2 ①投资目标的确定 ② 投资决策准则 二、常用的投资决策准则

（一）收益最大准则： 、 适用性：确定性情况下的决策方法1 例：生产者的最优生产决策问题：利润最大化准则。(Q)=PQ-C(Q)

π(Q)

maxπ 例：金融投资者在确定性情况下的投资决策。 概率 收益率A 6 1

B 7 1

-6 0.25

C 0 0.5

50 0.25

-11 0.2

D 11 0.2

25 0.4

35 0.2

只能比较A和B，不能进行四者之间的比较。

2、缺陷：由于金融市场的重要特征之一就是不确定性，因此收益最大原则在金融经济学中不适用。

（二）最大期望收益准则

1、适用性：不确定性情况下的决策办法

2、 缺陷：可能导致悖论或者非理性决策

例：彼得堡悖论(Petersburg paradox)

尼古劳斯·贝努里在圣彼得堡提出的一个概率上的问题，后来被人们称作彼得堡悖论。这问题是：如果A第一次掷硬币出现正面尠，收入一个便士；到第二次才出现正面，x1便士。数学理论证明A次出现正面，收入2的数学期望是无穷。而实际上，X两便士；；第人们会拿多少钱进行？2-3元。这似乎是个矛盾的结果。

例：金融市场投资．

A 100 0.8

0 0.2

B 800 0.1

0 0.9

根据最大期望收益准则，这两个方案似乎没有区别，但大多数的投资者会选择方案A。 3、原因分析：忽略了各方案的风险状况。 （三）不确定情况下通常使用的决策准则 、 期望效用函数分析法1 例：彼得堡悖论的解决办法 将效用函数设为期望收益的函数，如对数函数、幂函数等形式来解决问题。 均值—方差分析法2、 套利分析法3、

三、期望效用函数分析法 （一）偏好的效用函数表示1、二元关系

（1）元素的同质性

（2）二元关系的性质

例：邻居关系 满足对称性

例：x位于y的左侧 满足非对称性、完全性、传递性等

2、偏好关系(preference relation)

（1） 偏好关系的定义：是指具有传递性、完全性和自返性的一个二元关系。

偏好

严格偏好

无差别关系~

（2）偏好关系满足的性质

传递性(transitivity)：

完全性(comparability)

自反性(reflexivity)

（3）偏好关系就是比较投资策略优劣的一种机制。 3、偏好的效用函数表示)?U(yx?y?U(x) 表示方法：1、 2、 存在性 定理：有限或可数集上的偏好关系可以用效用函数表示。当选择集存在不可数个元素时，存在很多不能用效用函数来刻划的偏好关[注1] 系。 注2]效用值的绝对值并不重要，重要的是相对次序，这也是序数效用论的思想[ 反例：字典序(dictionary order)偏好 （二）偏好的期望效用函数表示 、期望效用函数1)]U(y)]U(x?E[x?y?E[

)]U(xE[ 离散情况下：为效用乘以发生的概率)]U(xE[ 连续情况下：使用积分符号 、两类期望效用理论2 效用函数：主观概率Savage 效用函数：客观概率Von Neuman-Morgenstern

3、期望效用函数的存在性

概念：简单彩票和复合彩票

（1） 期望效用函数表示存在的前提条件

偏好关系的三个要求

性或替代公理（independent or substitute axiom）

)r()r1q,Ppq,0[,1](p1,p,qr

阿基米德公理(Archimedean axiom)

p,q,r?P,p?q?r??a,b?(0,1), rb)(1?bq?a)r?q??1使得ap?( 数学上的阿基米德公理[了解] 个有用的推论6保序性：?p,q?P,p?q,0?a?b?1?bp?(1?b)q?q?ap?(1?a)q

中值性:

p,q,r?P,p?q?r?存在唯一的a?(0,1),使得??)?rp?(q~1

其他：)s(1?)r??,a?(01)?qp?(1?rs?p,q,r,?P,p?q,?s,

)q1?p~(p?~pq,a?(0,1)??p,q?P,

)?rq?1?(?()r~,p,q,r?P,~q,a?(01),?1pp?

0,Z,使得?p?P?P?P??ZP Z00Z0 （2）期望效用函数存在性的证明

（三）期望效用函数表示法的异议

1、关于性公理：阿莱斯悖论（Allais paradox）

计划 可能性 回报

P1 100% 1万

P2 % 1万

10% 5万

1% 0

大多数人认为P1比P2好

P3 11% 1万

% 0

P4 10% 5万

90% 0

大多数人认为P4比P3好

这违背了性公理

2、偏好逆转（Preference Reversal）现象

卡尼曼通过实验证明，人们的偏好并不存在一个一致的顺序，在作决策时，往往存在一种矛盾的现象，即同一主体在A、B两事物中任选其一时，他若选择A，但在让他转让这两事物时，他却倾向于B的价格比A更高。例如，在一个实验中，向被试提供以下两中选择：

A 28/36的机会赢得10美元

B 3/36的机会赢得100美元

当让他们任意在两种机会中选择一种时，绝大多数的人都选择A，但当要求他们以卖的的定价更高一些。这就是说，B立场出现，即最低愿意以什么价格出售，他们绝大多数又对．

因“失去”抑或因而当对价值进行估计时，人们对“失去”的权重要大于“得到”的权重，）理论，Reversal“得到”的转换，偏好也发生逆转，这就是著名的偏好逆转（Preference

理论。简称PR ）者的投资行为四、风险厌恶（risk aversion （一） 公平博弈：0h(1p)ph 定义：期望收益为 0的博弈，1、21 2、数学表示 风险厌恶（二） 风险厌恶、严格风险厌恶的定义、1

风险厌恶和效用函数的凹性2、

风险态度（厌恶、爱好或中性）的几种表示法（三）

、定义法1 2、效用函数的二阶导数、效用函数形状及数学表示法

B

D

C

A

W0+h1

W0+h2

W0

CD. 图中的3、风险溢价（risk premium）的正负: 4、绝对风险厌恶的正负 金融市场上的投资者绝大多数是厌恶风险的，此类投资者是我们主要的研究对象。 （四）风险厌恶者的最优投资条件 1、前提假设 ）目标：期望效用的最大化（1 [注]：是期望效用的最大化，而不是期望收益或收益的最大化。 ）无摩擦市场（ 2 ①无交易费用，没有税收成本 ②资产可以无限分割．

③没有卖空 ④可任意借贷无风险资产这是一个非常理想化的前提假设，现实中的市场往往不能满足上面的全部条] [注 件。 1种无风险资产（3）N种风险资产， j的资金。4（）初始财富W，a为投资于风险资产j0 2、命题一∶存在最优投资策略的充要条件 假设资本市场允许卖空，若投资者存在最优投资策略，则：~0r?r?｛(0,1) Prob｝∈fj 、命题二：投资于风险资产的条件3假设资本市场允许卖空，投资者买入风险资产的充要条件是：至少有一种风险资 产的收益率均值大于风险利率。4、命题三：风险资产投资额的

确定

：在只存在一个风险很小的风险资产和一个无风险资产的市场里，投资者对其全部初始财富

W，至少将γW

投资于风险资产的全充要条件是：

00(W(1?ruW))~~f002]r?r)r??[EE[(r]? ff?))?ru((W1f0 [注1] γ=1时，上述条件为投资者将其全部财富投资于风险资产的充要条件。

(W(1?r))uf0，上式取值取决于-这是我们将要讲到的绝对风险厌恶的概[注2] ?))1?ru((Wf0 念。

五、风险厌恶程度的衡量 比较：风险态度和风险厌恶程度的衡量。 马克维茨风险溢价 （一） 1、定义：是投资者为了避免不确定性而愿意放弃的财富或缴纳的罚金的最大数量。 ~~~?)]U[E(w()?(w?)]E[uw: 2、代数表示u3、风险溢价和风险厌恶程度

风险溢价越大，投资者愿意缴纳的罚金就越多，投资者越厌恶风险。

4、例1：保险，保险费相当于这里的风险溢价。

U(z)=lnz

：2例

5 ＄ 0.8

＄10

0.2 ＄30

求马克维茨风险溢价。

（二） 普拉特-阿罗风险溢价

1、 可由马科维茨风险溢价的定义式推出，前提是（投资计划）的风险很小，投资者的效用函数二次可微。

~)W( 推导：对等式两边，在E进行泰勒展开。点 2、

~??(E(W1u))2??[??] ~ hPA2?(E(Wu))3、 两种溢价的相同点和不同点

4、 例2.3.3：求例2.3.2中的普拉特-阿罗风险溢价

例2.3.4：U(z)=lnz

0.5 ＄9.9

＄10

0.5 ＄10.1

求马克维茨和普拉特-阿罗风险溢价。

根据上述两个例子理解两种溢价的区别和相同之处。

（三） 绝对风险厌恶

~??(E(Wu))1、 定义式：- ~ ?(E(Wu))??(uW)? 简记为： ?(Wu)2、

绝对风险厌恶和普拉特-阿罗风险溢价的换算关系

3、 绝对风险厌恶的符号和风险态度：

绝对风险厌恶为正，风险厌恶

绝对风险厌恶为零，风险中性

绝对风险厌恶为负，风险喜爱

4、 绝对风险厌恶的大小和风险厌恶程度

绝对风险厌恶越大，投资者越厌恶风险

5、 绝对风险厌恶的几何含义

表示效用函数曲线或者曲面的弯曲程度

绝对风险厌恶和风险资产投资额的变化（数学表示） 、6．

（1） 递增的绝对风险厌恶 风险资产为劣等品，财富增加时，投资者减少对风险资产的投资。

（2） 常绝对风险厌恶，财富增加时，投资者对风险资产的投资额不变，增加的财富全部用于无风险资产的投资。

（3） 递减的绝对风险厌恶 风险资产为正常品，财富增加时，投资者增加对风险资产的投资。

以上结论可以通过数学方法进行严格的证明。

7、 绝对风险厌恶衡量法的缺陷：

~（1） E(W) 是对局部风险厌恶的衡量，依赖于财富水平（2） 衡量财富变化时风险投资绝对量的变化，不能衡量相对量的变化。

8、 全局性的风险厌恶衡量

普拉特定理： 投资者i比k更厌恶风险的三个等价的充分必要条件。

（四） 相对风险厌恶

1、 加和和倍乘

（1） 二者的概念

（2） 前三种指标刻画加和，用相对风险厌恶刻画倍乘

2、 相对风险厌恶的来源

（1） 写出倍乘的马科维茨风险溢价定义式

（2） 对上式两边在期望收益这一点上进行泰勒展开，求出普拉特-阿罗风险溢价。

（3） 从普拉特-阿罗风险溢价的表示式中定义相对风险厌恶。

~~??(E(W))*E(uW)3~

、 相对风险厌恶的定义式：-

?(E(Wu))??(W)*uW简单记做：- ?(W)u4、相对风险厌恶

和风险投资相对量的变化（数学表示）

（1） 递增的相对风险厌恶，财富增加时，投资者的财富中用于风险资产投资的比例变小。

（2） 常相对风险厌恶，财富增加时，投资者的财富中用于风险资产投资的比例不变。

（3） 递减的相对风险厌恶，财富增加时，投资者的财富中用于风险资产投资的比例变大。

以上结论可以通过数学方法进行严格的证明。．

5、通常情况下，投资者为： ）递减的绝对风险厌恶。（1 ）常相对风险厌恶。（2

六、金融经济学中常用的效用函数 （一）凹的二次效用函数b2,zU(z)?z?0b? 2 1、风险回避系数b?)R(z

Abz?1bz?z()R

Rbz1? 、性质2 图形形状①

递增的绝对风险厌恶②2)zdR(bA0?? 2dz)?bz(1 递增的相对风险

厌恶③

)(dRzbR0?? 足性（财富越多越好）④

2dz)bz(1? 效用函数不能很好的刻划投资者的非满

（二）负指数的效用函数bz?,eU(z)??0b?

1、风险回避系数b?R(z) Abz?)R(z R 2、性质 图形形状① 常绝对风险厌恶 ②．

)zdR(A0? dz 递增的相对风险厌恶③

)zdR(R0??b dz （三）狭义的幂效用函数1B?1 ,?z(z)U0?0,B?zB 1B? 1、风险回避系数11??)zR(z AB1?(z)R RB 、性质2 递减的绝对风险厌恶①)(zdR1A0 2dzBz 常相对风险厌恶②)(zdRR0? dz （四）广义的幂效用函数1BA?1 ,?Bz)(z)?(AU],?z?max[0?A?0,B0,B 1?BB 1、风险回避系数1?z)(R ABzA?z?(z)R RBzA? 2、性质① 递减的绝对风险厌恶

dR(z)BA0 2dz)Bz?A(

② 相对风险厌恶

dR(z)AR? 2dz)BzA?( 分A>0,A=0,A<0三种情况进行讨论

（五）双曲线绝对风险厌恶效用函数

az?az1?,b?0,??b)bU(z)??0( 111、风险回避系数

1Wb?? ?a?)1R(zA2、几种特殊情形

1 线性效用函数

2 二次效用函数

b?1 ，指数效用函数

1b?0 幂效用函数 ，??b?1， 对数效用函数

七、两基金货币分离（two fund monetary separation）

一、两基金货币分离现象

（一）定义

在资本市场存在多种风险资产时，如果投资者投资于各种风险资产的资金比例不因初始财富的变化而变化，这种现象称作两基金货币分离。此时投资者持有的风险资产刚好构成一个固定比例的风险资产的线性组合，这个组合类似于一个共同基金（相当于一个风险资产），它刚好满足任何初始财富的投资者对风险资产的投资要求。

（二）经济意义

在存在两基金货币分离现象时，前面对一种风险资产、一种无风险资产情况的分析就

可 以运用于一种无风险资产、多种风险资产情况的分析．

二、两基金货币分离的充要条件 （一）充要条件则存在两基金货币分离现象的充要条件是效用函数满假定资本市场具有多种风险资产， 足下面的条件：c?)?Bz)(z?(uA

AA]或A?0,B?0,C,zC?0,?0,?max[0?0,0?z??B 其中 BBBz?Ae?)u(z or

0?,0?,0?ABz 其中 ]注[可以通过积分求出具体的函数形式 （二）证明（略）