中考二次函数难题压轴题中考

1、41、（2009年枣庄市）如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；

（3）连结OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由． y A 2、（2009年株洲市）已知ABC为直角三角形，ACB90，ACBC,点A、C在xO B 轴上，点B坐标为（3，m）（m0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶

x 点的抛物线过点B、D． （1）求点A的坐标（用m表示）； 第24题图 （2）求抛物线的解析式； （3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结

BQ并延长交AC于点F，试证明：FC(ACEC)为定值． y3、（2009年重庆市江津区）某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保B持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。 （1）请建立销售价格y（元）与周次x之间的函数关系； （2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z（元）与周次x之间的关系为1z(x8)212， 1≤ x ≤11，且x为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每Q8件获得利润最大？并求最大利润为多少？

2EDAOPFC4、（2009年重庆市江津区）抛物线yxbxc与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由. 5、（2009年滨州） 如图①，某产品标志的截面图形由一个等腰梯形和抛物线的一部分组成，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB20cm，DC30cm，ADC45°．对于抛物线部分，其顶点为CD的中点O，且过A、B两点，开口终端的连线MN平行且等于DC．

x0)， （1）如图①所示，在以点O为原点，直线OC为x轴的坐标系内，点C的坐标为(15，试求A、B两点的坐标；

（2）求标志的高度（即标志的最高点到梯形下底所在直线的距离）；

（3）现根据实际情况，需在标志截面图形的梯形部分的外围均匀镀上一层厚度为3cm的保护膜，如图②，请在图中补充完整镀膜部分的示意图，并求出镀膜的外围周长．

M A D y N B C x A 45° 30cm 20cm B O （第4题图①）

D （第4题图②）

C 6、（2009年常德市）已知二次函数过点A （0，2），B（1，0），C（，）． （1）求此二次函数的解析式； （2）判断点M（1， （3）过点M（1，

59481）是否在直线AC上？ 21）作一条直线l与二次函数的图象交于E、F两点（不同于A，B，C2三点），请自已给出E点的坐标，并证明△BEF是直角三角形．

7、(2009年陕西省) 如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，点A的坐标是(－1，2)．

（1）求点B的坐标；

（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；

（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得S△ABP＝S△ABO．

8、(2009年黄冈市)新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线．由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上．该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线y5x205x1230的一部分，且点A，B，C的横坐标分别为4，10，12

（1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；

（2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；

（3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？

9、(2009武汉)某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？

2，0)、C(0，4)两点，与x轴交于10、(2009武汉)如图，抛物线yaxbx4a经过A(1另一点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点D(m，m1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且DBP45°，求点P的坐标．

2y C A O B x

11、(2009年安顺)如图，已知抛物线与x交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)。

（1） 求抛物线的解析式；

（2） 设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；

（3） △AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。 12、（2009山西省太原市）已知，二次函数的表达式为y4x8x．写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标，并求图象与x轴的交点的坐标． 13、（2009湖北省荆门市） 一开口向上的抛物线与x轴交于A（m2，0），B（m＋2，0）两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC． （1）若m为常数，求抛物线的解析式；

（2）若m为小于0的常数，那么（1）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？

（3）设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BCD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

2y D O A C B x

14、（2009年淄博市）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长是2．O为坐标原点，点A在x的正半轴上，点C在y的正半轴上．一条抛物线经过A点，顶点D是OC的中点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）正方形OABC的对角线OB与抛物线交于E点，线段FG过点E与x轴垂直，分别交x轴和线段BC于F，G点，试比较线段OE与EG的长度；

（3）点H是抛物线上在正方形内部的任意一点，线段IJ过点H与x轴垂直，分别交x轴和线段BC于I、J点，点K在y轴的正半轴上，且OK=OH，请证明△OHI≌△JKC．

y 15、（2009年贵州省黔东南州）凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每G J B 20元，则减少10间包间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高C 房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种K 方法变化下去。 D E H O F I A x 第25题图

（1）设每间包房收费提高x（元），则每间包房的收入为y1（元），但会减少y2间包房租出，请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式。

（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y（元），请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由。

16、（2009年贵州省黔东南州）已知二次函数yxaxa2。 （1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。

（2）设a<0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为13时，求出此二次函数的解析式。 （3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为

2313，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由。 2217、（2009年江苏省）如图，已知二次函数yx2x1的图象的顶点为A．二次函数2yax2bx的图象与x轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数yx2x1的图象的对称轴上．

（1）求点A与点C的坐标；

（2）当四边形AOBC为菱形时，求函数yaxbx的关系式． 18、（2009年深圳市）已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式。（4分） （2）如图，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m>0，n>0），连接DP交BC于点E。

①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标。 ．．．．②又连接CD、CP，△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由。

19、（2009河池） 如图12，已知抛物线yx4x3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，•抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（1，0）． （1）求抛物线的对称轴及点A的坐标； （2）在平面直角坐标系xoy中是否存在点P，

与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在， 请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在 点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？

22C D A E B O 图12 若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．

20、（2009柳州）如图11，已知抛物线yax2axb（a0）与x轴的一个交点为

2B(1，0)，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．

（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点A的坐标； （2）以AD为直径的圆经过点C． ①求抛物线的解析式；

②点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，

且以B，A，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标．

2y B O C D 图11

A x ，B两点，21、(2009烟台市) 如图，抛物线yaxbx3与x轴交于A与y轴交于C点，

且经过点(2，3a)，对称轴是直线x1，顶点是M．

（1） 求抛物线对应的函数表达式；

（2） 经过C,M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使

以点P，A请求出点P的坐标；，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，若不存在，请说明理由； （3） 设直线yx3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重

合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说

明理由；

（4） 当E是直线yx3上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出

结论）．

y A O 1 C M B x

22、（2009恩施市）如图，在△ABC中，A90°，BC10，△ABC的面积为25，点D为AB边上的任意一点（D不与A、B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E．设

，DEx，以DE为折线将△ADE翻折（使△ADE落在四边形DBCE所在的平面内）所得的△ADE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y． （1）用x表示△ADE的面积；

（2）求出0x≤5时y与x的函数关系式； （3）求出5x10时y与x的函数关系式；

23、1．（2009年甘肃白银）［12分+附加4分］如图14（1），抛物线yx2xk与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3）．［图14（2）、图14（3）为解答备用图］ （1）k ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； （2）设抛物线yx2xk的顶点为M，求四边形ABMC的面积；

（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）在抛物线yx2xk上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．

222图14（1） 图14（2） 图14（3）

24、（2009年甘肃庆阳）（10分）图19是二次函数y

12x2的图象在x轴上方的一部2分，若这段图象与x轴所围成的阴影部分面积为S，试求出S取值的一个范围．

图19

25（2009年甘肃庆阳）如图18，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（1，0），点B在抛物线

yax2ax2上．

（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； （2）抛物线的关系式为 ；

（3）设（2）中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积； （4）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达△ABC的位置．请判断点B、C是否在（2）中的抛物线上，并说明理由．

图18

26.（2009年广西南宁）如图14，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x米． （1）用含x的式子表示横向甬道的面积；

（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；

（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？

图14

27（2009年河南）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，

20）、D（8，8）.抛物线y=ax+bx过A、C两点.

(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD 向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E

①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?

②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形? 请直接写出相应的t值.

28、如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y3xm与x轴交于点E。 3（1） 求点E的坐标； （2） 求过 A、O、E三点的抛物线解析式； （3） 若点P是（2）中求出的抛物线AE段上一动点（不与A、E重合），设四边形OAPE的

面积为S，求S的最大值。 29、（2009江西）抛物线yx2x3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D.

2（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；

（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；

①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？

②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式. 30、（2009年烟台市） 某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．

（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）

（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？

（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？

，B两点，与y轴交于C31、（2009年烟台市）如图，抛物线yaxbx3与x轴交于A点，且经过点(2，3a)，对称轴是直线x1，顶点是M．

（1） 求抛物线对应的函数表达式；

（2） 经过C,M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使

以点P，A请求出点P的坐标；，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，若不存在，请说明理由； （3） 设直线yx3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重

2，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说合），经过A明理由；

（4） 当E是直线yx3上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出

结论）．

y 32、（2009年舟山）如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线yax2上． (1) 求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，x 求出点Q的坐标； A O 1 B (2) 平移抛物线yax2，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点． C ① 当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；

M ② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

A y 8 6 4 D C -4 -2 O 2 B 2 4 x -2 -4

33、（2009年广州市）如图13，二次函数yxpxq(p0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），ΔABC的面积为（1）求该二次函数的关系式；

（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴上午垂线，若该垂线与ΔABC的外接

圆有公共点，求m的取值范围；

（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若

存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

25。 432

x＋bx＋c与坐标轴交于43A、B、C三点， A点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝x－3与x轴交于点Q，点

4tP是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1． 34、（2009年广西钦州）如图，已知抛物线y＝

（1）填空：点C的坐标是_▲_，b＝_▲_，c＝_▲_； （2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；

（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．

35、（2009年广西梧州）如图（9）-1，抛物线yax3axb经过A（1，0），C（3，2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B． （1）求此抛物线的解析式；

（2）若直线ykx1(k0)将四边形ABCD面积二等分，求k的值；

（3）如图（9）-2，过点E（1，1）作EF⊥x轴于点F，将△AEF绕平面内某点旋转180°得△MNQ（点M、N、Q分别与点A、E、F对应），使点M、N在抛物线上，作MG⊥x轴于点G，若线段MG︰AG＝1︰2，求点M，N的坐标．

2y y E G A D O C B x A O F Q N M B x y=kx+1

36. (2009年甘肃定西)如图14（1），抛物线yx2xk与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3）．［图14（2）、图14（3）为解答备用图］

（1）k ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； （2）设抛物线yx2xk的顶点为M，求四边形ABMC的面积；

（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）在抛物线yx2xk上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形． 37、2009年包头）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数ykxb，且x65时，y55；x75时，y45． （1）求一次函数ykxb的表达式；

（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．

38、1．（2009年湖北十堰市）如图①， 已知抛物线yax2bx3（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C． (1) 求抛物线的解析式；

(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

(3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标． 39、（2009年广东省）正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点， 当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直， （1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；

（2）设BMx，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；

（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值．

222A D N B M C

40、（2009年黄石市）正方形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中，A在x轴正半轴上，

D在y轴的负半轴上，AB交y轴正半轴于E，BC交x轴负半轴于F，OE1，抛物线

yax2bx4过A、D、F三点．

（1）求抛物线的解析式；（3分）

（2）Q是抛物线上D、F间的一点，过Q点作平行于x轴的直线交边AD于M，交BC所

3（3分） S△FQN，则判断四边形AFQM的形状；

2（3）在射线DB上是否存在动点P，在射线CB上是否存在动点H，使得AP⊥PH且

（4分） APPH，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由．

在直线于N，若S四边形AFQMy B F C O D

E A x