自控原理第四章书后习题答案

4-1 绘制具有下列开环传递函数的负反馈系统的根轨迹

K*1、GsHs

ss4s5解：（1）3个开环极点为：p1=0，p2=-4，p3=-5。 （2）实轴上的根轨迹（-4，0），（-∞，-5）

pzinmj （3）i1j1nm04503

30a2k1nm2k133,,

(4) 分离点：

1110 dd4d5 d=-1.47, d=-4.53(舍) （5）与虚轴的交点：

在交点处，s=jω，同时也是闭环系统的特征根，必然符合闭环特征方程，于是有：

s39s220sKsj2j392j20K0

整理得： 200；K90 解得10；2,320；K9180 最后，根据以上数据精确地画出根轨迹。

23K*s0.12、GsHs 2ss1解：（1）开环极点有3个，分别为：p1=p2=-0，p3=-1，开环零点为z=-0.1 （2）实轴上的根轨迹为：[-1 -0.1] (3) 渐进线有两条，

pzinmji1j1nm0010.10.45

31a2k1nm2k1312,3, 2(4) 分离点：

1111 ddd1d0.1 d=0, d=--0.4(舍), d=0.25(舍)

分离角：d2k1l2k122,3, 2Im[s] 最后，精确地画出根轨迹。

-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 Res[s]

K*4-3 已知系统的开环传递函数为GsHs 2ss1 ① 绘制系统的根轨迹图；

② 确定实轴上的分离点及K*的值； ③ 确定使系统稳定的K*值范围。

解：①，首先，由开环环函数可知，n=3，m=0；p1=0，p2=p3=-1。

其次，一连几天实轴上的根轨迹与根轨迹草图。

根据根轨迹草图，需计算闭环根轨迹的渐近线与汇合点，以及与虚轴的交点。 渐近线为：

nmpzii1j1ja②汇合点为：

2k12k1nm30nm0112 303,

3Ns1，Dsss1s1s32s2s N's0；D's3s24s13s1s1

D'sNsDsN's3s24s13s1s10

s11/3；s21(不合题意舍去)

与虚轴的交点

首先，写出闭环系统的牲方程，s2ssK0，然后，令s=jω，并代入特征方程得：

3jj0 *2K2032*解得：10，1，1；K2212 所绘根轨迹如下图所示。

2*2

4-5 设负反馈系统的开环传递函数为G(s)H(s)K，

s(0.01s1)(0.02s1)① 作出系统准确的根轨迹；②确定使系统临界稳定的开环增益Kc； ③ 确定与系统临界阻尼比相应的开环增益K。 解：（1）作出系统准确的根轨迹：

G(s)H(s)K10050*；KK10050

s(s100)(s50)1). 开环极点：P10;P2100;P350 2). 实轴上根轨迹 [0，-50]，[-100，-]

3）渐进线：a=(-150)/3=－50 a=(2k+1)* 1800/3=600，1800 4）分离点：

1110 dd100d50

3d2300d50000d121.13d278.82（舍去）5）与虚轴交点：

D(s)= 0.0002s3+0.03s2+s+K=0

图4-5

s3 0.0002 1 s2 0.03 K s1 1-K/150 0 s0 K 根据劳斯判据：1K>0， K>0 ∴02与虚轴交点由辅助方程0.03s1500 求得s1j70.71

(3)将分离点s121.13代入幅值条件：

K*(sZ)jm(sP)ii1j1n1

K*|sPi||s1||s150||s1100|K10050

i1求出临界阻尼比相应的开环增益：K21.1328.8778.879.62

50100K*(sz)4-6 单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)2，

s(s10)(s20)试绘制系统的根轨迹图，并确定产生纯虚根j1时的z值和K值。 解：系统特征方程s(s10)(s20)K(sz)0

以sj1代入

2**19930jK*(jz) z6.63 19930jK*(jz) K*30

下面作根轨迹：

（1）开环极点和零点

P10,P20,P310,P420,Z16.63 实轴上的根轨迹：（-10，-6.63），（-∞，-20）

（2）渐进线有3条：a=(-30+6.63)/(4-1)=－7.79 a=(2k+1)* 1800/3=600，1800 作根轨迹如图4-6所示。

4—7设控制系统的开环传递函数如下，试画出参数b从零变副无穷时的根轨迹图。

图4-6

① GsHs2030sb ② GsHs。 s4sbss10解：①，首先，写出闭环系统的特征方程，即：

s4sb20s24sbs4b200

然后，写出以参数K*形式的等效开环传递函数，方法是适当地提取公因式。如：

bs4s24sbs4b20s24s20120

s4s20等效开环传递函数为：GsHsbs4bs4 s24s20s2j4s2j4其中， n=2，m=1；p1=-2+j4，p2=2-j4；z=-4，n-m=1。

其次，画实轴上的根轨迹与根轨迹草图。根据根轨迹草图，需计算闭环根轨迹的渐近线与汇合点，以及与虚轴的交点。 渐近线为：

pzii1j1nmja汇合点为：

2k12k1nm21nm02j42j440

21

Nss4，Dss24s20 N's1；D's2s4

D'sNsDsN's2s4s4s24s20s420s4200

s10.472(不合题意舍去)；s28.472

出射角：

p1180p1zjp1pij1i1i2mn1802  j442  j42  j4 1802 j 4j 818063.43590153.435

p2180p2zjp2pij1i1i2mn 1802  j442  j42  j4

1802 j 4j 818063.43590153.435

K(105s)４-11已知非最小相位负反馈系统的开环传递函数为G(s)H(s)，

s(s1)试绘制该系统的根轨迹图。

K(s2)解：将开环传递函数化为零极点形式G(s)H(s)

2s(s1)由于有负号提出，因此按正反馈系统画根轨迹： 1）开环极点：p1=0，p2=-1， 开环零点：Z1=2 2) 实轴上根轨迹［２，∞］；［-１，０］ 3) 根轨迹与实轴交点

2111 d2dd1整理得d4d20

d10.45,d24.45

4）根轨迹与虚轴交点：用sj代入特征方程

图4-11 j(j1)K*(10.5j)0

**2K0K2得到  求得  *10.5K02可知Ｓ平面上根轨迹为：圆心+２，半径2.45的圆,根轨迹如图4-11所示。

K(s5)4-13 负反馈控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)，

(s1)(s3)证明系统的根轨迹含有圆弧的分支。

解：１) 开环极点p1=-1，p2=-3， 开环零点：Z1=-5

２) 实轴上根轨迹：［-３，-１］；［-５，-］

３)与实轴交点

1112 整理得 d10d170 d1d3d5d12.172,d27.828

证明：特征方程为：D(s)=(s+1)(s+3)+k(s5)0

*图4-13

sj代入上式，有：

(+j+1)(+j3)k*(+j5)0

整理得：22（4k*）35k*(24k*)j0

由 Im（D(+j))0中，得到： （D+j)0得：k24。将其带入Re*22（5）2（22）2102170，即

上式为圆方程：圆心为（-５，０），半径R22R＝2 证明根轨迹含有圆弧分支, 根轨迹如图4-13所示。

K4-15 设负反馈系统的开环传递函数为G(s)H(s)，试绘制系统根轨迹的

(s3)(s2)大致图形。若系统：①增加一个z＝-５的零点；②增加一个z＝-２.５的零点； ③增加一个z＝-０.５的零点。试绘制增加零点后系统的根轨迹，并分析增加开环零点后根轨迹的变化规律和对系统性能的影响。

解：１.原系统根轨迹：从开环极点p1=-2，p2=-3出发在s2.5处汇合后分离沿与虚轴平

行趋向，根轨迹如图4-15(a)所示。

222２.增加开环零点z＝-５：根轨迹与平面上是一个圆(5)(6)圆心(5,0)，

半径Ｒ＝2.45，根轨迹如图4-15(b)所示。

３.增加一个开环零点z＝-２.５：其根轨迹如图4-15(c)所示。 ４.增加一个开环零点z＝-０.５：其根轨迹如图4-15(d)所示。

(a) (b) (c) (d) 图4-15

原系统随Ｋ↑，系统是衰减振荡且整定时间ts随Ｋ增大而增大，增加零点后，系统随Ｋ↑，由衰减振荡变为不振荡，可近似为一个负实数主导极点的惯性环节，且主导极点逐渐靠近开环零点。无超调量，且调整时间↓，快速性↑。

4-17 设系统如题图

解：

4-25所示。为使闭环系统的阻尼比ζ = 0.5，无阻尼自然振荡频率

ωn=2rad/s，试用根轨迹法确定参数a的值，并求出此时系统所有的闭环极点。