乘法公式,根式,分解因式——老师用

初高中衔接教材 一、数与式的运算 一）、必会的乘法公式

【公式1】(abc)2a2b2c22ab2bc2ca 证明：(abc)2[(ab)c]2(ab)22(ab)cc2

a22abb22ac2bcc2a2b2c22ab2bc2ca

等式成立

【例1】计算：(x22x13)2

解：原式=[x2(2x)13]2

(x2)2(2x)2(13)22x2(2)x2x211323(2x)x422x38221

3x23x9 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式2】(ab)(a2abb2)a3b3(立方和公式)

证明: (ab)(a2abb2)a3a2bab2a2bab2b3a3b3

说明:请同学用文字语言表述公式2. 【例2】计算： （2a+b）（4a2-2ab+b2）=8 a3+b3

【公式3】(ab)(a2abb2)a3b3(立方差公式)

1．计算 （1）（3x+2y）（9x2-6xy+4y2）= （2）（2x-3）（4x2+6xy+9）=

（3）12m13(14m216m19)=

（4）（a+b）（a2-ab+b2）（a-b）（a2+ab+b2）=

2．利用立方和、立方差公式进行因式分解 （1）27m3-n3=

（2）27m3-1n38=

（3）x3-125= （4） m6-n6=

【公式4】(ab)3a3b33a2b3ab2

1

【公式5】(ab)3a33a2b3ab2b3 【例3】计算：

（1）(4m)(164mm2)

11111（2）(mn)(m2mnn2)

5225104（3）(a2)(a2)(a44a216) （4）(x22xyy2)(x2xyy2)2 解：（1）原式=43m364m3

111313mn （2）原式=(m)3(n)3521258（3）原式=(a24)(a44a242)(a2)343a664 （4）原式=(xy)2(x2xyy2)2[(xy)(x2xyy2)]2

(x3y3)2x62x3y3y6

说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．

（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数

和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．

1【例4】已知x23x10，求x33的值．

x1解：x23x10 x0 x3

x1111原式=(x)(x212)(x)[(x)23]3(323)18

xxxx 说明：本题若先从方程x23x10中解出x的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．

【例5】已知abc0，求a()b()c()的值． 解：abc0,abc,bca,cab

1b1c1c1a1a1b原式=a

bcacabbc bcacaba(a)b(b)c(c)a3b3c3 ①

bcacababca3b3(ab)[(ab)23ab]c(c23ab)c33abc

a3b3c33abc ②，把②代入①得原式=3abc3 abc2

说明：注意字母的整体代换技巧的应用． 二）、根式

式子a(a0)叫做二次根式，其性质如下： (1) (a)2a(a0)

(2) a2|a| (3) abab(a0,b0) (4) 【例6】化简下列各式： (1) (32)2(31)2 bb(a0,b0) aa(2) (1x)2(2x)2 (x1)

解：(1) 原式=|32||31|23311

*(2) 原式=|x1||x2|(x1)(x2)2x3 (x2)

(x1)(x2)1 (1x2) 说明：请注意性质a2|a|的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．

【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1)

32338

(2) (3) 11 ab(4) 2xx38x 2解：(1)

38=

3326 88243(23)(23)(23)3(23)232(2) 原式=633

aba2bab2(3) 原式= abab (4) 原式=22xxx2222x2xxx22x32xxx 22说明：

(1)二次根式的化简结果应满足：

①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． (2)二次根式的化简常见类型有下列两种：

①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽

3

方的因数或因式开出来； ②分母中有根式(如323)或被开方数有分母(如ax)．这时可将其化为形2b式(如xx可化为) ，转化为 “分母中有根式”的情况．化简时，要把分母22323中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如为3(23)(23)(23)化

，其中23与23叫做互为有理化因式)．

有理化因式和分母有理化

有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做有理化因式。如a与a；axby与axby互为有理化因式。

分母有理化：在分母含有根式的式子里，把分母中的根式化去，叫做分母有理化。

【例8】计算：

(1) (ab1)(1ab)(ab)2

(2) aaabaaab

解：(1) 原式=(1b)2(a)2(a2abb)2a2ab2b1

(2) 原式=aa(ab)aa(ab)1ab1ab

(ab)(ab)(ab)(ab)2a ab说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．

【例9】设x23232323,y2323，求x3y3的值．

解：x(23)2232743,y743  xy14,xy1

原式=(xy)(x2xyy2)(xy)[(xy)23xy]14(1423)2702

说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计

4

算量．

练 习

1．二次根式a2a成立的条件是( )

A．a0 B．a0 C．a0 数

2．若x3，则96xx2|x6|的值是( A．－３ 3．计算：

(1) (x3y4z)2

B．３

) C．－９

D．a是任意实

D．９

(2) (2a1b)2(ab)(a2b)

1 (3)(ab)(a2abb2)(ab)3 (4) (a4b)(a24b2ab)

44．化简(下列a的取值范围均使根式有意义)：

(1) 8a3 (3)

(2) a

4ababba5．化简：

mm1 (1) 9m10m2m2325m1 a112(4) 23231(2)

2x2yxy (xy0) 2x2xy6．若

113xxy3y2，则的值为( xyxxyy)：

5C．

33A．

5

3B．

5

5D．

3x2xyy2,y7．设x，求代数式的值．

xy3232118．已

b2知

c2a1x20201,b20x119c,，x求

202代1数式

a2abb c的值．ac9．设x51，求x4x22x1的值． 210．化简或计算：

5

(1) (184113 )2323 (2)

221 2(25)2352(3) xxxyxxyy 2xyyxxyy

答案：

1． C 2． A

3． (1) x29y216z26xy8xz24yz

3a25ab3b24a2b1

(2)

(3) 3a2b3ab2

1(4) a316b3

44．2a2a a 2(ab)2 1

ab2133 65．mm 2xy 6． D 7． 

8． 3

9．35 10．3,43xy ,3y

二、因式分解

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．

一）、公式法

【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：

(1) 8x3

(2) 0.12527b3

分析： (1)中，823，(2)中0.1250.53,27b3(3b)3． 解：(1) 8x323x3(2x)(42xx2)

(2) 0.12527b30.53(3b)3(0.53b)[0.520.53b(3b)2]

6

(0.53b)(0.251.5b9b2)

说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如8a3b3(2ab)3，这里逆用了法则(ab)nanbn；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号． 【例2】分解因式：

(1) 3a3b81b4

(2) a7ab6

分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内

出现a6b6，可看着是(a3)2(b3)2或(a2)3(b2)3．

解：(1) 3a3b81b43b(a327b3)3b(a3b)(a23ab9b2)．

(2) a7ab6a(a6b6)a(a3b3)(a3b3)

a(ab)(a2abb2)(ab)(a2abb2)a(ab)(ab)(aabb)(aabb)2222

二)、分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如mambnanb既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．

1．分组后能提取公因式

【例3】把2ax10ay5bybx分解因式．

分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降

幂排列，然后从两组分别提出公因式2a与b，这时另一个因式正好都是x5y，这样可以继续提取公因式．

解：2ax10ay5bybx2a(x5y)b(x5y)(x5y)(2ab) 说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．

【例4】把ab(c2d2)(a2b2)cd分解因式．

分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．

解：ab(c2d2)(a2b2)cdabc2abd2a2cdb2cd

(abc2a2cd)(b2cdabd2)

7

ac(bcad)bd(bcad)(bcad)(acbd)

说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．

2．分组后能直接运用公式

【例5】把x2y2axay分解因式．

分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公

式分解因式，其中一个因式是xy；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a后，另一个因式也是xy.

解：x2y2axay(xy)(xy)a(xy)(xy)(xya)

【例6】把2x24xy2y28z2分解因式．

分析：先将系数2提出后，得到x22xyy24z2，其中前三项作为一组，

它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．

解：2x24xy2y28z22(x22xyy24z2)

2[(xy)2(2z)2]2(xy2z)(xy2z)

说明：从例5、例6可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式．

三)、十字相乘法

1．x2(pq)xpq型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：

(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．

x2(pq)xpqx2pxqxpqx(xp)q(xp)(xp)(xq) 因此，x2(pq)xpq(xp)(xq)

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【例7】把下列各式因式分解：

(1) x27x6

(2) x213x36

解：(1) 6(1)(6),(1)(6)7

8

 x27x6[x(1)][x(6)](x1)(x6)． (2)

3649,4913

 x213x36(x4)(x9)

说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同．

【例8】把下列各式因式分解：

(1) x25x24

(2) x22x15

解：(1) 24(3)8,(3)85

 x25x24[x(3)](x8)(x3)(x8) (2)

15(5)3,(5)32

 x22x15[x(5)](x3)(x5)(x3)

说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同． 【例9】把下列各式因式分解：

(1) x2xy6y2

(2) (x2x)28(x2x)12

分析：(1) 把x2xy6y2看成x的二次三项式，这时常数项是6y2，一次

项系数是y，把6y2分解成3y与2y的积，而3y(2y)y，正好是一次项系数．

(2) 由换元思想，只要把x2x整体看作一个字母a，可不必写出，只

当作分解二次三项式a28a12．

解：(1) x2xy6y2x2yx62(x3y)(x2y)

(2) (x2x)28(x2x)12(x2x6)(x2x2)

(x3)(x2)(x2)(x1)

2．一般二次三项式ax2bxc型的因式分解

大家知道，(a1xc1)(a2xc2)a1a2x2(a1c2a2c1)xc1c2． 反过来，就得到：a1a2x2(a1c2a2c1)xc1c2(a1xc1)(a2xc2)

9

我们发现，二次项系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，把a1,a2,c1,c2写

a1成a2c1c2，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2a2c1，如果它正好等于

ax2bxc的一次项系数b，那么ax2bxc就可以分解成(a1xc1)(a2xc2)，

其中a1,c1位于上一行，a2,c2位于下一行．

这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 【例10】把下列各式因式分解：

(1) 12x25x2

2 (2) 5x26xy8y2

解：(1) 12x5x2(3x2)(4x1)

342 1

(2) 5x6xy8y(x2y)(5x4y)

221 2y54y

说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．

四)、其它因式分解的方法 1．配方法

【例11】分解因式x26x16

解：x26x16x22x3323216(x3)252

(x35)(x35)(x8)(x2)

说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验．

2．拆、添项法

【例12】分解因式x33x24

分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．

10

解： x33x24(x31)(3x23)

(x1)(x2x1)3(x1)(x1)(x1)[(x2x1)3(x1)] (x1)(x24x4)(x1)(x2)2

说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将3x2拆成

x24x2，将多项式分成两组(x3x2)和4x24．

一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行： (1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；

(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；

(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解；

(4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．

练 习 1．把下列各式分解因式：

(1) a327

(2) 8m3

(3) 27x38

2．把下列各式分解因式：

(1) xy3x4

(2) xn3xny3

(3)

y2(x22x)3y2

3．把下列各式分解因式：

(1) x23x2 (2) x26x27

(3) m24mn5n2

4．把下列各式分解因式：

(1) ax510ax416ax3 (2) an2an1b6anb2 (3) (x22x)29 (4) 8x226xy15y2 (5) 7(ab)25(ab)2

5．把下列各式分解因式：

(1) 3ax3ayxyy2 (2) 8x34x22x1 (3)

5x215x2xy6y

(4) 4xy14x2y2 (5) a4ba3b2a2b3ab4 (6)

11

x6y62x31 (7) x2(x1)y(xyx) 6．已知ab2,ab2，求代数式a2b2a2b2ab2的值． 37．证明：当n为大于2的整数时，n55n34n能被120整除． 8．已知abc0，求证：a3a2cb2cabcb30．

答案：

1．(a3)(a23a9),(2m)(42mm2),(23x)(46x9x2),

2．x(xy)(y2xyx2),xn(xy)(x2xyy2), y2(x1)2(x44x33x22x1) 3．(x2)(x1)，(x9)(x3)，

(m5n)(mn)

4．ax3(x2)(x8) ；an(a3b)(a2b) ；(x3)(x1)(x22x3)；

(2xy)(4x15y), (7a7b2)(ab1)

5．(xy)(3ay),(2x1)2(2x1),(x3)(5x2y)；(12xy)(12xy),

ab(ab)2(ab),(x31y3)(x31y3),x(xy)(xy1)． 6．

28 37．n55n34n(n2)(n1)n(n1)(n2) 8．a3a2cb2cabcb3(a2abb2)(abc)

12