注意“三点共线”问题

注意“三点共线”问题

作者：尹静

来源：《科教创新》2013年第04期

在几何题的证明中，有时需要考虑“三点共线”问题，但往往被同学们想当然地忽视.导致证明过程貌似完美，实则不严密。请看下面的例子：

初中八年级《数学 下册》（湘教版）第123页有这样一道习题：已知，如图1，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O分别作AB、BC、CD、DA的垂线，垂足分别为点E、M、F、N.

求证：四边形EMFN是矩形. 同学们常常这样来证明：

因为在菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， BD平分∠ABC，OE⊥AB于E，OM⊥BC于M， 所以OE=OM，

同理，OM=OF，OF=ON， 所以OE=OM= OF = ON， ① 所以EF=OE+OF=OM+ON=MN， ② 即 四边形EMFN的对角线互相平分且相等. 所以 四边形EMFN是矩形.

剖析：上述证明过程看起来似乎是正确的.但为什么有EF=OE+OF，MN = OM+ON呢？证题者实质上是默认了E、O、F三点共线和M、O、N三点共线.题目中并没有给出这样的条件.因此上述证明过程是不严密、有漏洞的.必须在上述①式与②式之间补证E、O、F三点共线和M、O、N三点共线.

那么，怎样证明三点共线呢？ 方法一：用邻补角或两角和为平角. 如图1，在四边形BEOM中，

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因为OE⊥AB于E，OM⊥BC于M， 所以∠EOM+∠EBM=180°， 同理 ∠EON+∠EAN=180°，

因为 在菱形ABCD中，∠EBM+∠EAN=180°， 所以∠EOM+∠EON=180°， 所以M、O、N三点共线， 同理 E、O、F三点共线. 方法二：用垂线性质（唯一性）

因为 在菱形ABCD中，AD∥BC，OM⊥BC于M， 所以OM⊥AD，而ON⊥AD于N，

根据定理： 过一点有且只有一条直线垂直于已知直线， 所以，OM与ON为同一条直线， 所以M、O、N三点共线. 同理 E、O、F三点共线.

例题2 如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，P，Q分别是BD、AC的中点. 求证：PQ= （BC-AD）.

分析：已知P、Q分别是BD、AC的中点，故再取CD的中点M，并连接MQ，而后用三角形中位线性质来证明.这里涉及“中点问题”的常用解题思路，但不要忽略P、Q、M三点共线的证明.

证明：如图3，取CD的中点M，并连接MQ，MP， 因为P、Q分别是BD、AC的中点， 所以MP∥BC，MQ∥AD，

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因为AD∥BC，所以MQ∥BC，

根据平行公理：经过已知直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线. 则 MP，MQ是同一条直线.即，P、Q、M三点共线. 因为PM= BC，QM= AD. 所以PQ=PM-QM= （BC-AD）.

上述两个例子介绍了证明“三点共线”的常用方法，希望同学们在证明此类问题时，不要遗漏证明“三点共线”.