主体 镯答题 锦 ■江西 张朋飞 知 Ｂ麓（１ 一）求２ ，Ｅ证Ｆ： 一平１面。 上ＤＡＦ 一ｆ， ＼ｉＩ ： ， ＼＼＼ 所Ａ幽３ Ｐ 直观图 （１）求四棱锥Ｐ＿ＡＢｃＤ的体积。 （２）求二面角Ｃ－ＰＢ—Ａ的大小。 （３）Ｍ为棱ＰＢ上的点，当ＰＭ的长为何值时， 锥爨 Ａ一ＰＢＣＰ ｃＡ１Ｄ（＝Ｂ，：）底＆当ｃＢＤ面Ｃ＆（＝Ａ中“＞Ｂ１，ｃＯ时ＰＤ）。，Ａ 为求上矩证形：Ｂ平，ＤＡ面上Ｂ ／— ；—＼—＼ ・ ／．＼ ＣＭ＿ＬＰＡ ４．如图４，在直角梯形ＡＢＣＰ中，ＡＰ／／ＢＣ， １ 厶 ＡＰ１Ｌ＿ＡＢ，ＡＢ—ＢＣ＝去ＡＰ一２，Ｄ是ＡＰ的中点，Ｅ、 Ｆ、Ｇ分别为Ｐｃ、ＰＤ、ｃＢ的中点，将△ＰＣＤ沿ＣＤ 折起，使得ＰＤ＿Ｌ平面ＡＢＣＤ。 Ｂ Ｇ Ｃ 图４ 自正ｊ玄勰得 一 测肛 心 耻一点。求证 平面 ２ＡＥ・ｓｉｎ（０＋３０。）一 ｍ １ ・ｓｉｎ（ ＋３０。）。 证明：假设ＡＣ上平面Ｓ０Ｂ。 由直线Ｓ０在平面Ｓ０Ｂ内，得 Ａ Ｃ ＂￣ＡｔＪＣＤ －一 ‘ｇ ・ 一 ・‘ ・ｓｉ‘ ｎ（ ＋３０。十 ）一２Ｓ一 ‘ｍ ・ｉｓ ｎ（Ｌ ＋ １＿中学生数理化．畜二富三使用 ＡＣ上ＳＣ）。 由Ｓ０上底面，得Ｓ０－ＬＡＢ。 ３０。）≤２Ｓ，故当０＝６０。时，Ｓ△ 最大，最大值为２Ｓ。 点评：本题的解法灵活，立体几何中交汇了解三 角形知识，蕴含了利用函数求最值的思想。 由ＡＣ上Ｓ０，Ｓ０＿ＬＡＢ，得Ｓ０上４ 平面ＳＡＢ，则平面ＳＡＢ／／底面，出现 矛盾，所以假设不成立，即ＡＣ与平面 Ｓ０Ｂ不垂直。 点评：否定性的问题常用反证法证明。 图ｌ３ 四、数学方法的新运用问题 立体几何中常用到的数学方法主要有数形结合、 转化、分类与整合、特殊与一般、反证法等，这里要特 别提醒同学们注意反证法。反证法是数学证明中的 一总之，对于立体几何解答题的备考，既要重视常 规问题，也要注意一些创新性的问题，关注热点的同 时不忘“冷点”。无论是常规问题还是创新性问题，热 点问题还是“冷点”问题，只有同学们把基础打牢，掌 握好方法，全面复习才是根本。（责任编辑袁伟刚） 种重要方法，它是从否定命题的结论出发，通过正 种重要方法。 确的逻辑推理导出矛盾，从而证明原命题的正确性的 一侧６如图１３，设ＳＡ、ＳＢ是圆锥的两条母线， ２Ｏ１３牟的“神舟十号”菜单上，太空食品的种类已增加到８０余种，月饼、冰激凌都榜上有名。时逢端午节，航天员王 亚平还在太空舱内吃到了香甜可口的豆沙粽。 （１）求证：Ａ＿Ｐ∥平面ＥＦＧ。 （２）求二面角Ｇ－ＥＦ—Ｄ的大小。 面ＣＢＦ上的射影，因此， ＡＢＦ为直线ＡＢ与平面 ＣＢＦ所成的角。 ５．如图５，在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，底面ＡＢＣＤ是 矩形，ＡＤ一２，ＡＢ一１，ＰＡ上平面ＡＢＣＤ，Ｅ、Ｆ分别 是 由ＡＢ／／ＥＦ，得四边形ＡＢＥＦ为等腰梯形。 过点Ｆ作ＦＨ上ＡＢ于Ｈ。 ＝：ＡＨ・ Ｇ。 ＱＤ＿ＬＡＱ。 ４．如图１２，建立空间直角 坐标系Ｄ－ｘｙｚ。 易得点Ｐ（Ｏ，０，２）、Ｃ（Ｏ，２， ０）、Ｇ（１，２，０）、Ｅ（０，１，１）、Ｆ（０， ０，１）、Ａ（２，０，０）。 由ＢＣ边上有且只有一 个点Ｑ，使得ＰＱ上ＱＤ，即 ＡＱ上ＱＤ，得以ＡＤ为直径的 圆与ＢＣ有且只有一个交点， １ 则ＡＤ一２ＡＢ，即“一—÷。 图１Ｏ 一（一２，０，２），茸一 图１２ （０，一１，Ｏ），ＥＧ一（１，１，一１）。 易得点Ｄ（０，２，０）、Ｑ（１，１，Ｏ）、Ｐ（Ｏ，０，１）。 （１）设聆一（ ，Ｙ， ）是平面 ＥＦＧ的一个法向量。 设ｐ一（ｚ， ，１）是平面ＰＱＤ的一个法向量。 由ｐ・ 一一ｚ＋ —ｏ，ｐ・ 一一２ｙ＋１—０， 由ｎ —ｚ， 一０。 一一 一ｏ，，ｌ・蔚＝：＝ｚ＋ 一ｚ—ｏ，得ｚ 得ｐ一（ ， １， ）。 ｑ一（１，０，０）是平面ＰＡＤ的一个法向量。 取，ｌ一（１，０，１）。 由 ． ：１×（一２）＋０×０＋１×２—０，得ｎ—Ｌ … ｐ．ｑ）一 譬。 －Ｐ。又ＡＰ＜ａｚ＝平面ＥＦＧ，则ＡＰ∥平面ＥＦＧ。 （２）由底面ＡＢＣＤ是正方形，得ＡＤ＿ＬＤＣ。 由ＰＤ上平面ＡＢＣＤ，得ＡＤ上ＰＤ。 故二面角Ａ－ＰＤ—Ｑ的余弦值为 。 ３．（１）由三视图和直观图可知ＰＤ上平面 ＡＢＣＤ。 由ＡＤ上ＤＣ，ＡＤ上ＰＤ，ＰＤｎＣＤ—Ｄ，得ＡＤ上 平面ＰＣＤ，则 向量。 一（２，０，ｏ）是平面ＰＣＤ的一个法 四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ的体积Ｖ一÷ｓ加ｃＤ・尸Ｄ一 ８ 。 由（１）知，ｌ一（１，０，１）是平面ＥＦＧ的一个法向 量。 ｃｏｓ＜ （２）如图１１，以Ｄ为坐标原点，分别以ＤＰ、ＤＣ、 ＤＡ所在直线为 、 空间直角坐标系。 轴，建立 ：＝＝ 一，／ ｇ。 结合图形，知二面角Ｇ－ＥＦ—Ｄ的平面角为４５。。 ５．建立如图１３所示的空间直角坐标系Ａ－ｘｙｚ。 易得点Ａ（０，０，０）、 Ｂ（１，０，０）、Ｆ（１，１，０）、 Ｄ（０，２，Ｏ）。 设ＣＰ的中点为Ｅ，则ＤＥ 上ＰＣ，ＤＥ上ＢＣ，故ＤＥ上平面 ＰＢＣ，所以髓是平面ＰＢＣ的法 向量。 不妨设Ｐ（Ｏ，０，￡）。 图ｌ１ 一 设ＡＰ的中点为Ｆ，同理可 （１）ＰＦ一（１，１， ），ＤＦ＝（１，一１，０）。 知剪是平面ＰＡＢ的法向量。 魂一（１，１，ｏ）， 一（１，０，１）。 设二面角Ｃ－ＰＢ—Ａ的平面角为０，则ｌ ＣＯＳ ０ ｌ＝ ． 茚．赍＝１×１＋ １Ｘ（一１）十（一 ）×０—０，则ＰＦ上 图１３ 中学生效理佗．离二赢三使用 。 一１ ｏ。 （２）设万一（ ，Ｙ， ）是平面ＰＦＤ的一个法向量 ＿ －Ｐ－－￣＝ｏ’由 ｎ。显然 ＞吾，所以二面角Ｃ－ＰＢ—Ａ的大小为 。 （３）在图１１所示的空间直角坐标系中，易得点 Ｐ（２，０，０）、Ｂ（０，２，２）、Ｃ（０，２，０）、Ａ（０，０，２）。 ｚ＝ 由１ ｔ— ，． ：０，得｛ｚ＋３，一据一０，令 一１，则 得｛ｚ一 一０。 令 则 故ｎ一（专， ｔ，１）。 设 ＝正商一（～２ｋ，２ｋ，２ｋ），愚∈Ｒ，０≤愚≤１。 一 设点Ｇ（Ｏ，ｏ， ）。Ｅ（专，ｏ，。）。 亩一（一 １，ｏ， ）。 要使ＥＧ／／平面ＰＦＤ，只需蔚・，ｌ一０，即 ＋ ：（２—２ｋ，一２＋２ｋ，２ｋ）， 一 （一２，０，２）。 由ＣＭ２ ＰＡ，得 ・ 一８ 一４—０ 是一百１。 （一 １）× ｔ＋０× ｔ＋１×ｍ—ｍ一寺一０，则ｍ一 １ 。 两一（一１，１，１），ｌ 时。ＣＭ Ｊ ＰＡ。 Ｉ： ，则ＰＭ的长为 肉糜、果酱类膏糊状食物往往被装入牙膏管状的铝管包装中。 中学生数理亿．高一一高三使用 满足ＡＧ＝÷ＡＰ的点Ｇ即为所求。 （３）易得商一（１，０，０）是平面ＰＡＤ的法向量。 由ＡＢ ｌＬ平面ＰＡＤ，得 ＰＢＡ是ＰＢ与平面 ＡＢＣＤ所成的角，即 ＰＢＡ一４５。，故ＰＡ一１。 ，ｌ一（２）建立如图１５所示的 空间直角坐标系。 令ＦＭ— ，０≤ ≤，／３。 易得点Ｃ（０，０，０）、 Ａ（√３，０，０）、Ｂ（０，１，０）、 ＭＯ，，０，１）。 一（ １， １，１）￣５１ｚ－Ｎ ＰＦＤ的一个法向量。 一 一６。 图１５ （一 ，１，ｏ），厕一（ ，一１，１）。 ｃｏｓ 设ｎ 一（ｚ，ｙ， ）为平面ＭＡＢ的一个法向量。 故二面角Ａ－ＰＤ—Ｆ的余弦值为 。 ６．（１）由Ａ Ｂ上平面ＡＢＣ，得Ａ Ｂ＿Ｌ ＡＣ。又 由 ｆ，ｌｌ‘ＡＢ一０，‘ ｆ一 ｘ－￣－ｙ＝０， Ｉ 得｛ ’ 一 ｌ・ＢＭ一０， ｌ，Ｉｘ一 ＋ —０。 取ｌｚ一１，贝０ ｎ 一（１，√３，√３一 ）。 ｎ 一（１，０，Ｏ）是平面ＦＣＢ的一个法向量。 ＣＯＳ 一 ＡＢ上ＡＣ，则ＡＣＪ＿平面ＡＢ Ｂ。 由ＡＣ＿Ｌ平面ＡＢ Ｂ，ＡＣ 平面Ａ ＡＣ，得平面 Ａ ＡＣ上平面ＡＢ Ｂ。 １ ｎ１・ｎ２ Ｉ ，ｌｌ ｉ・ｆ ｎ２ （２）以Ａ为原点，建立如图１４所示的空间直角 坐标系。 由０≤ ≤ ，得当 一０时，ＣＯＳ 取得最小值 一 易得点Ｃ（２，０，０）、Ｂ（０，２， ０）、Ａ （０，２，２）、Ｂｌ（０，４，２）、 Ｃ （２，２，２）。 一日寸’ｃ刚取得最大值丢。 （０，２，２）， 一 ｃ。ｓ 的取值范围是ｌ ，丢Ｊ。 ８．建立如图１６所示的空间直角坐标系Ｏ－ｘｙｚ。 易得点０（０，０，０）、Ａ（０，一３，０）、 Ｂ（４，２，０）、Ｃ（一４，２，０）、Ｐ（０，０，４）。 图１４ ＝＝＝（２，一２，０）。ＣＯＳ（ＡＡ１，ＢＣ＞一 ． 面一 １２。 （１） 一（ｏ，３，４），百 一（－－８，０，０）。 故ＡＡ 与ＢＣ所成的角是詈。 （３）利用（２）中建立的坐标系求解。易得点 Ｐ（１，３，２）。 由 ＡＰｌｌ＿ＢＣ。 ． 一０，得 上 ，即 （２）设两一 ， ≠１。 一（１，３，２）， 一（０，２，ｏ）。 一 （ｏ，一３，－－４）。 设玎 一（ｚ，ｙ，ｚ）是平面ＰＡＢ的一个法向量。 百 一百声＋ 一一（一４，一２，４）＋ 图１６ （０，一３，一４）一（一４，一２—３ ，４—４Ａ）。 由｛ｆ，ｌ１・ＡＰ一０，， ｆ３７＋３ｙ＋２ｚ＝０， ：． ：ｏ， ￣２ｙ一０。 ．（一４。５，０） ，ｌ设ｎ 一（ｚ１， ， ）是平面ＢＭＣ的一个法向量。 由百 ・ｎｌ一一４ｚ１＋（一２—３２） ｌ ４－（４—４ ） １二＝＝０， 令 一１，则ｎ１一（一２，０，１）。 ｎ。一（１，０，Ｏ）是平面ＡＢＡ 的一个法向量。 …。。‘ｎ ／ ，，、一 ’” Ｔ ： ！一一 蔚・ｎ 一一８ｚ 一ｏ，得 一０，ｚ 一 器 。可取 一一一丁。 由图可知二面角Ｐ－ＡＢ—Ａ 为锐角，则二面角 Ｐ－ＡＢ—Ａ 的余弦值是 。 （０，１，２两＋３ Ａ）。 同理，可得，ｌ 一（５，４，一３）是平面ＡＰＣ的一个 法向量。 ７．（１）在梯形ＡＢＣＤ中，由ＡＢ／／ＣＤ，ＡＤ—ＤＣ —由ｎ ・ 一０，得４～３・ 此时ＡＭ＝３。 一０，解得 —ｉ２， ＣＢ一１， ＡＢＣ＝６０。，得ＡＢ一２。 ＡＣ。一ＡＢ ＋ＢＣ 一２ＡＢ・ＢＣ・ＣＯＳ ６Ｏ。一３。 由ＡＢ 一ＡＣ ＋ＢＣ ，得ＢＣ上ＡＣ。 综上所述，存在满足题意的点Ｍ，ＡＭ＝３。 （责任编辑袁伟刚） 由平面ＡＣＦＥ＿ｌ－平面ＡＢＣＤ，平面ＡＣＦＥ ｎ平 面ＡＢＣＤ—ＡＣ，ＢＣ（＝＝平面ＡＢＣＤ，ＢＣ Ｊ＿ＡＣ，得 ＢＣ上平面ＡＣＦＥ。 宇航员进餐时，用手挤压管壁，将食物直接送入口中。