第２９卷第１期 中国民航大学学报 ＶＯｌ＿Ｚ９ Ｎｏ．１ ２０１１年２月 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＣＩＶＩＬ ＡＶＩＡＴ１０Ｎ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ ｏＦ ＣＨＩＮＡ Ｆｅｂｒｕａｒｙ ２０１ １ 基底完全粗糙时太沙基地基承载力系数的解析解 程国勇，邱 睿，段 淳 （中国民航大学机场学院，天津３００３００） 摘 要：当前普遍采用的太沙基极限承载力公式中并未给出承载力系数 的解析形式，而且 的表达方式在不同 资料中不统一。针对以上情况，根据地基土的极限平衡原理，研究得出了条形基础底面完全粗糙条件下太 沙基极限承载力系数 、／ｖｒ 的解析解。然后计算得出太沙基极限承载力系数的曲线以供查用。以上成果可 为太沙基地基极限承栽力公式的应用及研究工作提供参考。 关键词：太沙基公式；地基极限承载力；极限平衡原理；解析解 中图分类号：ＴＵ４ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７４—５５９０（２０１１）０１—００２５—０４ Ａｎａｌｙｔｉｃａｌ Ｆｏｒｍｕｌａ ｏｆ Ｋ．Ｔｅｒｚａｇｈｉ Ｕｌｔｉｍａｔｅ Ｂｅａｒｉｎｇ Ｃａｐａｃｉｔｙ Ｃｏｅｆｉｃｉｆｅｎｔ Ｕｎｄｅｒ Ｔｏｔａｌｌｙ Ｃｏａｒｓｅ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ Ｂａｓｅ ＣＨＥＮＧ Ｃｕｏ—ｙｏｎｇ，ＱＩＵ Ｒｕｉ，ＤＵＡＮ Ｃｈｕｎ （Ｔｈｅ Ａｉｒｐｏｆｔ Ｃｏｌｌｅｇｅ，ＣＡＵＣ，Ｔｉａｎｊｉｎ ３００３００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｅ Ｋ．Ｔｅｒｚａｇｈｉ ｕｌｔｉｍａｔｅ ｂｅａｒｉｎｇ ｃａｐａｃｉｔｙ ｆｏｒｍｕｌａ，ｔｈｅ ｃｏｅｆｉｃｉｆｅｎｔ肌ｈａｓ ｎｏｔ ｂｅｅｎ ｇｉｖｅｎ ｉｎ ａ ｄｅｆｉｎｉｔｅ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｆａｃｔｏｒ ｏｆ Ｍ ｉｓ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｉｎ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｍａｔｅｒｉａ１．Ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｉｓ ｐｒｏｂｌｅｍ，ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｕｌｔｉｍａｔｅ ｂａｌａｎｃｅ ｔｈｅｏｒｙ，ｔｈｅ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｆｏｒｍｕｌａ ｏｆ ＮＹ ａｎｄ ａｒｅ ｄｅｒｉｖｅｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆａｃｔｏｒ Ｎｇ ｉｓ ｐｒｏｖｅｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｔｒｉｐ ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ａｂｓｏｌｕｔｅ ｃｏａｒｓｅ ｂａｓｅ．Ａｔ ｌａｓｔ，ｔｈｅ ｃｕｒｖｅｓ ｏｆ ａｌｌ ｔｈｅ ｆａｃｔｏｒ ｉｎ Ｋ．Ｔｅｒｚａｇｈｉ ｕｌｔｉｍａｔｅ ｂｅａｒｉｎｇ ｃａｐａｃｉｔｙ ａｒｅ ｐｒｏｖｉｄｅｄ，ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｖａｌｕａｂｌｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ａｎｄ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｆ ｔｈｅ Ｋ．Ｔｅｒｚａｇｈｉ ｕｌｔｉｍａｔｅ ｂｅａｒｉｎｇ ｃａｐａｃｉｔｙ ｔｈｅｏｒｙ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｋ．Ｔｅｒｚａｇｈｉ ｆｏｒｍｕｌａ；Ｋ．Ｔｅｒｚａｇｈｉ ｕｌｔｉｍａｔｅ ｂｅａｒｉｎｇ ｃａｐａｃｉｔｙ；ｕｌｔｉｍａｔｅ ｂａｌａｎｃｅ ｔｈｅｏｒｙ；ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｆｏｒｍｕｌａ 地基极限承载力是土力学研究的一个经典课题， 其中太沙基（Ｋ．Ｔｅｒｚａｇｈｉ）理论是基于极限平衡理论确 定条形地基极限承载力的重要方法。在该理论中考虑 了地基土的自重，基于以下三条假定［ －２］： 在上述公式中，一般的土力学著作或教材仅给出 及 的解析公式，对于承载力系数 仅用曲线的 形式给出，具体过程一般不给出；在实际应用中存在 计算图示不严谨或与假定条件不能完全对应；此外目 １）基础底面完全粗糙； ２）基底以上两侧土体当作均布荷载（不考虑基底 以上两侧土体的抗剪强度影响）； ３）地基中滑动土体分为三角形压密区（弹性核）、 前采用的太沙基地基承载力系数 仍借用了普朗特 尔（Ｌ．Ｐｒａｎｄｔ１）地基极限承载力的结论，即：Ｎ ＝（ 一 １）ｃｏｔ ，而由于两种方法采用的计算模型不同， 与 之间并无此关系。以上这些问题的含糊其辞给地基 承载力理论的学习及研究带来困难 。 本文根据极限平衡原理对这一经典的土力学问 题进行了研究，得出基础底面完全粗糙情况下太沙基 地基承载力系数 的解析式，且经过详细推导得到承 朗肯被动区以及对数螺旋线过渡区。 太沙基地基极限承载力的理论公式为 １ Ｐｕ＝ １ ７Ｂ‘Ｎ 十ｑ。Ｎｑ十ｃ’Ｎｃ 二 １） 其中： 、 、 为太沙基地基承载力系数。 ｆ丁３ 一 ）ｔ ｅ 载力系数 的表达式。然后给出基础底面完全粗糙情 况下太沙基地基承载力系数的曲线。希望通过本文工 （２） ２ｃｏｓ ｆ ４５。＋ １ 收稿日期：２０１０—０６—２５：修回Ｅｔ期：２０１０—１１—１９ 作为太沙基地基极限承载力公式的学习、应用及研究 工作提供参考。 基金项目：中国民航大学科研启动项目（ｋ２４０２８） 作者简介：程国勇（１９７ｌ一），男，河北衡水人，副教授，博士，研究方向为地基基础检测技术与加固理论． 中国民航大学学报 ２０１１年２月 Ｆ的被动土压力 。 １基底完全粗糙时太沙基承载力系数解析解 仍采用太沙基理论的上述３条假定。此时弹性核 与两侧面与水平面夹角Ｏｌ＝ 。计算图示如图１所示。 地基破坏时沿ｂｄｅ和６ｄ ｅ 滑动，６ｃｆ和６ｄ 是对数螺 线，方程为ｒ＝／＇ｏ・ｅｘｐ（ ・ｔａｎ ）。ｄｅ和ｄ～ｅ是直线，与水 平面的夹角等于４５。一６／２，即ａｄｅ及 ｅ 区为朗肯被 １）ｑ＝０，ｃ＝０、 ＞０，即仅由地基土重产生的被动 土压力 。 根据对ｎ 点的力矩平衡计算 ，分别计算朗肯被 动区ａ＇ｄ ｅ 、对数螺旋线区重力、对数螺旋线破坏面下 反力以及ｄ ｅ 上合力对于ｎ 点力矩（Ｊ￣ｂｑ时针为正）。 ａ）朗肯被动区ａ＇ｄ ｅ 重力对于０ 点力矩 三角形ｎ～ｄ ｅ 重量为 动区。从图１中可以看出 ｒｏ：Ⅱ ‘孚舢呻 ｎ ｅ取弹性核为隔离体，根据几何条件可知此时被动土压 力Ｅ 必定竖直向上，如图２所示。其中： 、Ｃ分别为基 底下土体的重度（ｋＮ／ｍ，）及黏聚力（ｋＰａ）；Ｂ为基础底 面宽度ｍ）；ｇ为基底以上土体荷载（ｋＰａ），ｑ＝３，ｏ０， 。 为基底以上土体的加权平均重度，Ｄ为基础埋深。 图１太沙基公式计算图示 Ｆｉｇ．１ Ｓｃｈｅｍａｔｉｃ ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ Ｋ．Ｔｅｒｚａｇｈｉ ｕｌｔｉｍａｔｅ ｂｅａｒｉｎｇ ｃａｐａｃｉｔｙ Ｉ Ｂ １６ ｜ ｛ 图２弹性核受力分析 Ｆｉｇ．２ Ｆｏｒｃｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｅｌａｓｔｉｃ ｋｅｒｎｅｌ 根据静力平衡条件可得 Ｐ ‘Ｂ＝２ ＋ｃＢ ｔａｎ 一Ｗ （３） 其中： 为弹性核重量， ： 斗 ｔａｎ ６。 可见，只要求出了作用于刚性核侧面的被动土压 力 ，则地基的极限承载力就可确定。将刚性核的 及ｏ ｂ边看作挡土墙的墙背，计算以下３种特殊条件 Ｇ ，： ｒ０２。（￣－－｛ｂ）ｔａｎ｛ｂ（１１＂一一 ）． ｆ； 一 １【ａｎ ｓｉｎ（｝一 ）＝壁 （４） 对于０ 点力矩为 ｆｊ １ ＝ － Ｂ ‘孚一争 一。。 ——一 （一孚一 ）一 一 ‘ （｝一争） １６ｃｏｓ击 （５） ｂ）对数螺旋线区重力对于口 点力矩 孚一牟 ２ 』。 争（ ｅ × ０ｔａｎ（ｂｘ ｅｓｉ ｎｆ手一咖一 单一拿 一 ２４ｃｏｓ３６ Ｊｆ ０ 。 。…。ｓ（、 ‘西＋ ）ｄＯ： 一 Ｊ（孚一挚） ． ２４ｃｏｓ３６（１＋９ｔａｎ２６）【ｅ 孚＋争）彻 ｃｏｓ（孚一十 一 ４ｓｉｎ ｝ （６） ｃ）对数螺旋线破坏面下反力对于ｎ 点力矩 ， 根据对数螺旋线性质，当处于极限平衡状态时， 对数螺旋线破坏面上合力通过。 点，因此对数螺旋线 破坏面下反力对ａ 点力矩 ３＝０。 ｄ）ｄ ｅ 上合力对于ｏ 点力矩 由于。～ｄ ｅ 为朗肯被动区，竖向应力为小主应力， 破坏面ｄ Ｐｅ 上在ｄ 点的法向应力为 ‘｝一 ｏｆ＝０＂３ ＝ｙ ｅ・ 第２９卷第１期 程国勇，邱睿，段淳：基底完全粗糙时太沙基地基承载力系数的解析解 ２７ ．ｎｌｆ＇一ＩＴ 尘＼ＣＯＳ 西 ４一一２ Ｊ ４ ｓｉｎ西｝ （１２） 华… 争） ㈩ ２）ｑ＞Ｏ、ｃ＝０、Ｔ＝０，即仅由两侧超载ｑ产生被动 土压力 ｚ。 在ｄ 点ｄ～ｅ面上的切应力 丁ｒ＝ｏ－ｆｔａｎ西 ｄ ｅ 面上合力 为 Ｒ：争× 掣－ｒ＿４）／． Ｂ （ ３ 一手） 一 Ｂ２ｅ ８ｃｏｓ％ ｃ０！ｓ（ｆ至二÷一 Ｊ Ｒ方向与ｄ ｅ 面法线成 角，Ｒ对与ｎ 点的力臂 如图３所示。 图３ 计算图示 Ｆｉｇ．３ Ｓｃｈｅｍａｔｉｃ ｄｉａｇｒａｍ Ｏｆ朋ｍ 。，×ｃ。 咖： × ｅ ・ ‘ （９） ： 一 １ ｍ＝Ｒ×ｄ ０” 一—‘ＴＢ２ ｅ ｆ ｌ， ． ８ｃｏ￣％ Ｂ（｝ 一 争）ｔａｎ 。 ｓ （扣 ＣＯＳ（Ｉ｝一争）了一 ■Ｊ ４８ ＣＯＳ （１ｏ） 根据对ａｒ点的力矩平衡 Ｅｐ１× ＝Ｍ ｒ１＋Ｍ ＋Ｍ一＋Ｍ一 得 ‘。９ ａｒ ３）ｔａｎ ｄｐ２ｅ。。 ————— （ 一 ２） ！ ｛（孚一等） ． ８ ｃｏｓ３西（１＋９ ｔａｎ ）【。 『ｓｉＩｌ（孚＋争） ａｎ 。ｓ（孚＋争）］＿ 根据被动土压力理论，由于基础两侧超载产生的 被动土压力在ａｂ及ａｔｂ滑动面上呈矩形分布，根据对 点力矩平衡 ： — ＝＝｝ｇ ｚ 。（等一 ）ｔａｎ ｃ ３ 得 五 ：ｑ 攀。（手 一 ）Ｉａｎ （１４） ３）ｑ＝Ｏ、ｃ＞０、７＝０，即仅由黏聚力ｃ产生的被动 土压力 。 根据被动土压力理论，土的粘聚力在ａｂ及ａｒｂ滑 动面上产生的被动土压力呈矩形分布， ，对于０ 点力 臂为Ｂ／４。 ａ）对数螺旋线 上粘聚力ｃ对于０ 点的力矩 根据对数螺旋线性质，对数螺旋线任意点的切线 与矢径夹角为１１＂／２＋ ，对数螺旋线 上粘聚力ｃ对 于ｎ 点力矩为 川＝ ｃ …ｓ ＝ Ｊｆ 。 『【 — Ｔ Ｊ］ ｄ ： ｃ—。—８ ｓｉｎ ６ —ｃｏｓ＋ ｌｅ 州）【ａｎ 一／一１ ） （１５）ｂ）ｄ ｅ 面上粘聚力Ｃ对于ｒｚ 点的力矩 ，。，面上粘聚力合力力臂ａｔｏｔｉｔ，如图４所示。 图４ ：计算图示 Ｆｉｇ．４ Ｓｃｈｅｍａｔｉｃ ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ ２ ｎ，。 ：口，ｄ，． 。 咖： －－西ｅ 手 一争 ｎ ｃｏｓ ： ＣｏＳ Ｄ 舢ｎ （１６） ｄ ｅ 面上粘聚力对于ｒｚ 点的力矩为 中国民航大学学报 ２０１１年２月 ＝ｃ ｅ 。 ＝ｃ ｅ 叫 ） 根据对 点力矩平衡 ，×Ｂ／４＝ 。十 ＝ 攀（等一 ） Ｎ ＝ｔａｎ 七 １ｓｉｎ——。 ｍ ： ｅ ９—４ 一 旦————。一 ３—２ （２３） ｆ（１＋２ｓｉｎ尘）ｅ（ ｌ ８ｓｉｎ西ＣＯＳ击 一１ １ （１８） Ｊ ２ｃｏｓｚ（｝＋争） 舳 Ｃ ０ Ｓ 得由黏聚力ｃ产生的被动土压力 为 ｆ【！ ） ？＝一１ １（１９） 当 ［（＋ （争 —￣ｂｃ—ｏｓ ｑｂ １【 ２ｓｉｎ４，）ｅ ‘ 一Ｊ１ ］（ 二２４）斗， ４ 一 一２ ０时，根据罗彼塔法则，ｌｉ 一。 ＝６．７１。 【 ２ｓｉｎ ＣＯＳ西 Ｊ 根据叠加原理，总的被动土压力 就等于３种情 况下被动土压力的总和，即 ＥＰ＝Ｅ ＋Ｅ ＋Ｅ ＝ ‘ 咖（｝一争） ————■ ———一一 导 ． 孕＋争） （ ＋争１）］－ ４ ｉｎ Ｊ十ｇ 。ｔ手 一 ｎ ＋ （２０） ｐ ＝华｛ 忡２一—２ｃｏｓ ． ０西（ １ ４－９ｔａｎ ）Ｉ ［ｓｉｎ（手唾） ａｎ ｓ（孚＋争）１－ ４ｓｉｎ 。 ＋ ！ ± 尘２ ．ｆ莩一： ） 二 ｓｉｎ Ｃ０８ 根据式（１），得 （｝ 一手 ） ／盯 击＼ ＝～一。 —＿ ｃｏｓ１ 一 Ｊ 一 ｔ 业一 １ ｆ（孚一芋）ｔａｎ 丁 丽Ｉ。 ‘ ［ｓｉｎ（孚＋争） ａｎ ｓ（孚＋争）１＿ （２２） 可见在基底完全粗糙情况下，能得到３个承载力 一 系数的解析表达式，与式（２）比较，』ｖ 与现有系数 完全相同， 则不同。根据本文推导式计算太沙基承 载力系数 、 、 ，与现有系数 、 、 的比较如 图５所示 ＾ ， ， ， Ｌ ｓ。 ＜ ＞ ／ 一ｙ 、、 ＼ ＼ ／ ／ 、 ｜ｆ 、、 Ｉ ， ＼ ｆ ｝｜ ＼ Ｎ ｑ Ｎ ６．７１ Ｏ．３５４ Ｎ 图５ 、 、 与 、＾‘、 比较 Ｆｉｇ．５ Ｃｏｍｐａｒｉｓ０ｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ，、Ⅳｒ，、 ，ａｎｄ 、 、 ２结语 通过以上研究，得到以下结论供学习及研究人员 借鉴： １）根据极限平衡原理推导得出太沙基承载力系 数肌的解析式。 ２）由于采用的计算模型不同，太沙基地基承载力 系数 不能借用普朗特尔理论的结果。 ３）目前普遍采用的太沙基地基承载力系数中， 是正确的，其余两个存在较大误差。 参考文献： ［１］陈仲颐，周景星，王洪瑾．土力学［Ｍ】．北京：清华大学出版社，１９９４． ［２］王哲，王国才，陈禹，等．矩形浅基础地基极限承载力的理论解 『Ｊ１＿岩土力学，２００８，２９（４）：１００１—１００４． ［３ Ｊ商建林，涂长红，谢叶彩．地基极限承载力确定方法的分析与评价 【Ｊ］．两部探矿工程，２００７（２）：１４０—１４＂２． ［４］杜世回．理解和应用地基承载力的若干问题［Ｊ］．铁道勘查，２００７ （３）：９５—９７． 【５】易永利．复合地基承载力的影响因素和确定方法叫．岩土工程界， ２００９，１２（８）：２５—２８． （责任编辑：杨媛媛）