力学精华公式归纳第三版漆安慎

力学精华公式归纳 引言

所谓力学力学，在于一个力字，最关键最首要的核心就在于看物体的受力怎么样。受力确定了，根据相关定律，物体的运动状态也确定了.最后回归本质，力就是描述物体与物体之间的相互作用的.

定义、定理、定律、公理的区分

定义(definition)：定义是通过列出一个事物或者一个物体的基本属性来描写或者规范一个词或者一个概念的意义.其定义的事物或者物体叫做被定义项，其定义叫做定义项.

定理(theorem)：定理是经过受逻辑限制的证明为真的陈述.一般来说，在数学中，只有重要或者有趣的陈述才叫定理.证明定理是数学的中心活动.定理一般都有条件和结论.

定律(law)：定律是对客观事实的一种表达形式，通过大量具体的客观事实归纳而成的结论.定律是一种理论模型，它用以描述特定情况、特定尺度下的现实世界，在其它尺度下可能会失效或者不准确.

公理(axiom)：是指依据人类理性的不证自明的基本事实，经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的基本命题.

定理，定律，公理的区别是：定理是建立在公理和假设基础上，经过严格的推理和证明得到的.定律是一种理论模型，它用以描述特定情况、特定尺度下的现实世界，在其它尺度下可能会失效或者不准确.而公理是经过长期实践后公认为正确的命题.

过程量与状态量的区分

一般说来，若系统从某一状态变化为另一个状态，如果经历不同的物理过程，虽然初始状态可能保持相同，但过程不一定相同.

过程量：描述某些物理过程.是物体经过一段时间所能完成的物理量. 状态量：描述某些特定的物理状态.是物体在某一时刻的表现量.

二者的关系：过程是动态量，状态是静态量.状态量通过过程量不断更新状态，获得新的状态量. eg:A121mvmv02 22功是过程量，动能是状态量

典型的过程量：路程、功、热量等

典型的状态量：位置、能量、体积、密度、速度、加速度、温度、熵等

三个重要物理量的理解

加速度的本质：速度对时间的变化率 力的本质：动量对时间的变化率 力矩的本质：角动量对时间的变化

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力学核心表格 坐标轴 单位矢量 运动学方程 轨迹方程 速度 直角坐标系 oxyz 自然坐标系 oS 极坐标系 ox i,j,k et,en SS(t) er,e rr(t),(t) rr() xx(t),yy(t),zz(t) f(x,y,z)0 vdx(t)dtidy(t)dtjdz(t)dtk vv2ds(t)dtet v drde(r)e dtdt加速度 a

一．

d2x(t)dt2d2y(t)dt2d2z(t)dt2dvtaee ndtn自然坐标的加速度

a=anenaten

anvt2

d2sat2

dttanan ata 表示自然坐标在某一点的加速度 an 表示法向加速度 at 表示切向加速度 vt 表示速度

 表示曲率半径

s 表示自然坐标

 表示加速度与速度的夹角

二．

质点的曲线运动

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将质点动力学方程向自然坐标的法线方向en 和切线方向et投影，得

Finmv2

F 三．

itmat

伽利略变换

rro'r'

r表示在基本参考系中观测到某质点P的位置矢量

ro'表示运动参考系点O'相对基本参考系的位置矢量

r'描述质点相对于运动参考系的位置矢量

四．

伽利略速度变换关系

v绝对=v牵连+v相对

v绝对 表示运动物体在基本参考系中的速度

v牵连 表示运动参考系的坐标原点在基本参考系中的速度

v相对 表示运动物体在运动参考系中的速度

五．

加速度在伽利略变换下为不变量

v牵连 为一常矢量，t't ， a绝对=a相对

a绝对 表示运动物体在基本参考系中的加速度 a相对 表示运动物体在运动参考系中的加速度

六．

*直线加速参考系中的惯性力

Fma

a表示非惯性系相对于惯性系的加速度

a表示惯性力的方向与非惯性系相对于惯性系的加速度相反

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七．

*离心惯性力

Fcm2r

r表示自转轴向质点所引矢量，与转轴垂直

表示圆盘的匀角速率

八． 科里奥利力

ak2vr

Fk2mvr

 表示圆盘的转动角速率

vr表示在A点小球具有的径向速度

九．

牛顿运动定律

iFma

F表示质点所受外力的矢量和

ia表示质点的加速度 m 表示质点的惯性质量

十． 质心运动定理

d2rcFimdt2mac

F表示质点系所受一切外力的质量和

iac表示质点系的质心加速度

m表示质点系的总质量

rc 表示质心的位置矢量

t 表示在惯性系中观测到的时间

十一． 质点的动量定理

Fdt(mv)iddp dtF 表示作用于质点的力的矢量和

i--精品

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dp表示质点动量对时间的变化率 dtm 表示质点的惯性质量

十二． 质点系动量定理

Fiid(pi)dt

F表示作用于各质点外力的矢量和

d(pi)dt表示质点系各质点动量的矢量和对时间的变化率

十三． 用冲量表示的质点的动量定理

Fdtdp

iIitt0Fdtipp0dppp0

Fdt表示合力的元冲量

dp表示质点动量的元变化

I表示质点所受合力在tt0时间内的总冲量

p0表示质点的初动量

p表示质点的末动量

十四． 用冲量表示的质点系的动量定理

(Fi)dtd(pi)

I(Fi)dtpipi0pp0

t0t (F)dt表示质点系所受合力的元冲量

id(pi)表示质点系动量和的元变化

p表示质点系末动量之和

ip0表示质点系各质点初动量之和

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十五． 质点系动量守恒定律

根据质点系动量定理

Fdt(p) 得出在一定时间间隔内若F0，则

iidippi常矢量

F0表示质点系所受外力矢量和自始至终保持为零

ii常矢量表示在一段时间内质点系动量守恒

条件：质点系所受外力矢量和始终为零

十六． 动量沿某一坐标轴的投影守恒

若

Fixix0，则pix常量

Fp表示作用于质点系外力矢量和在x轴上的投影 表示质点系动量在x轴上的投影

ix

十七． 质点的动能定理

dAFdr

v111Ad(mv2)mv2mv02

v022212 d(mv) 表示质点动能的增量

2 A表示作用于质点的合力所做的功

十八． 质点系的动能定理

AEEk外内k0

k0A+A=EEk

A表示作用于质点系一切外力内力所做功的和 Ek表示末态时质点系内各质点动能之和 表示初态时质点系内各质点动能之和

Ek0

十九． 质点系的功能原理

A外非+A=（Ek+Ep）-(Ek0Ep0) 内非--精品

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AA外非表示一切外部非保守力所做功的代数和 表示一切内部非保守力所做功的代数和

内非（E+E）-(EEkpk0p0)表示质点系总机械能的增量（末态初态）

保守力做功有动能和势能的相互转化，机械能等于动能与势能之和，保守力做功会引起质点系动能的改变却不会引起质点系机械能的改变. 功能原理无需考虑保守力做功

四大保守力：重力、万有引力、静电场力、弹力 二十． 质点系的机械能守恒定律

EEkp常量

条件：在一过程中外非保守力和每一对内非保守力都不做功

二十一． 质点对参考点的角动量定理

MdL dtM表示作用于质点的合力对参考点的力矩

dL表示质点对参考点的角动量对时间的变化率 dt 二十二．

质点对参考点的角动量守恒定律

若M0，则L常矢量

条件：作用于质点的合力对参考点O的力矩为零

二十三． 质点系对点的角动量定理

Mi外=dL dtMi外 表示质点系所受外力对于参考点O的力矩的矢量和

dL表示质点系内各质点对于参考点O的角动量的矢量和对时间的变化率 dt二十四．

质点系对参考点的角动量守恒定律

根据质点系的角动量定理若

Mi外=dL dtMi外=0，则L常矢量

条件：作用于质点系的合力对参考点O的力矩为零

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二十五． 质点对轴的角动量定理

Mzr1F1sin

MzdLz dt此式为质点对参考点O的角动量定理在z轴上的投影

r1表示受力质点到轴的垂直距离

F1表示力在与z轴垂直的平面上的分力

Mz表示作用于质点的合力对同一轴线的力矩

dLz表示质点对z轴的角动量对时间的变化率 dt为面对z轴观察由r1逆时针转至F1转过的角度

在惯性系中取参考点O，过O点取z坐标轴，质点对参考点O的角动量在z轴上的投影为 Mz 二十六．

dLz dt质点对轴的角动量守恒定律

Lz(rp)zr1p1sin

根据MzdLz，若Mz0，则Lz常量 dt 作用于质点的诸力对轴的力矩和为零

二十七． 质点系对轴的角动量定理

Mi外z=dLd(rimisini)z dtdtM

二十八．

根据

i外z表示质点系所受一切外力对z轴的力矩之和

dLz表示质点系对于z轴的角动量对时间的变化率 dt质点系对z轴的角动量守恒定律

Mi外zdd(rmsin)iiidtLz，若Mi外z0，则Lzrmiisini常dt量

条件：质点系所受一切外力对z轴的力矩之和始终为零

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二十九． 刚体的动量守恒定律

pmvc常矢量

Fimidvcmac dtF表示外力矢量和

ac表示质心加速度

表述：若质点系所受外力矢量和为零，则动量守恒.如果刚体收到外力矢量和为零，那么动量也守恒.刚体可看作不变质点系.

三十． 平行轴定理

IIcmd2 m表示刚体质量

Ic表示刚体对质心轴的转动惯量

d为两轴的垂直距离

三十一．

刚体定轴转动的角动量定理

izMdIzz dtM

三十二．

iz表示刚体对z轴的力矩的矢量和

dIzz表示转动惯量与角速度的乘积对时间的变化率 dt用冲量表述的角动量定理

izMM

三十三．

dtd(Izz)

dt表示刚体对轴外力冲量矩的代数和

izd(Izz)表示刚体对z轴角动量的增量

刚体定轴转动的转动定理

izMMIzz

表示外力对转轴的合力矩

izIz表示刚体对轴的转动惯量

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z表示刚体的角加速度

三十四． 刚体无滑滚动的条件

无滑滚动：车轮与支承面（不一定一直是地面，有时是木板等）的接触点的速度相对于车轮质心的速度相同.

vvcr,aacr

vc,ac分别表示质心相对于惯性参考系的速度与加速度

v,a分别表示车轮与支承面的接触点相对于惯性参考系的速度与加速度

r表示车轮与支承面的接触点相对于质心轴的位置矢量

三十五．

刚体定轴转动的动能定理

112A=I外2z2Iz02

A外=M外d(M外)d

00A外表示刚体所受外力矩做功的代数和

11Iz2Iz02表示转动动能的增量 22刚体为不变质点系，刚体内力做功之和等于零

三十六． 刚体平面运动的基本动力学方程

刚体随质心平动的动力学方程

Fmaic

刚体绕质心轴转动的动力学方程

Miz'Iz'z'

Miz'表示作用于刚体各力对质心轴的合力矩

Iz'表示刚体对质心轴的转动惯量

z表示刚体的角加速度

'

三十七．

刚体平面运动的动能

11Ekmvc2Ic2

22Ek表示刚体平面运动动能

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1mvc2表示质心平动动能 21Ic2表示刚体绕质心轴转动的动能 2Ic表示刚体绕质心轴的转动惯量

三十八．

刚体平面运动的动能定理

1212 A=（mv+I）外cc22A外表示一切外力所做功的代数和

11(mvc2Ic2)表示质点系动能增量 22对刚体来说，内力做功的代数和为零

三十九． 简谐振动的能量转化

122kAsin(0t)21EpkA2cos2(0t)

21EkA22Ekk表示弹簧振子的劲度系数 A表示弹簧振子的振幅

四十． 简谐振动的动力学方程

d2x02x0 2dt此式子由线性回复力公式Fx与牛顿第二定律公式Fma联立得出. 其中，0k，k表示弹簧振子的劲度系数，m表示小球的惯性质量.0由振动系m统的性质决定.

四十一．

平面简谐波方程

yAcos(tx) vx表示沿波的传播方向任一体元的平衡位置在x轴上的坐标

y表示体元距平衡位置的位移

表示沿x轴的传播方向，表示逆x轴传播，表示顺x轴传播

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v表示振动状态传播的速度，称为波速

设一列平面简谐波沿x轴正向传播，为简单起见，选坐标原点x0处体元相位为零的

时刻为计时起点.于是x0处体元的运动学方程为yAcost. 四十二．

弹性介质中横波的波动方程

2yG2y t2x2表示介质密度

G表示切变模量

y表示体元距平衡位置的位移

x表示平衡位置在x轴上x处的坐标

四十三．

弹性横波中介质中体元的能量密度

dEx2A2sin2(t) dVvdE表示体元总能

xdEdV2A2sin2(t)

vdV表示体元体积

表示单位体积介质中所具有的能量

表示介质密度

0表示振动系统中体元的最大位移 A表示振动系统中体元的最大位移

x表示体元的坐标

t表示时间

v表示波速

四十四．

弹性介质横波中的平均能量密度

1Tx222Asin(t)dt0Tv

12A22表示一个周期内能量密度的平均值

表示介质密度

表示振动的圆频率

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A表示振幅

四十五．

平均能流密度

Iv12A2v 2v表示波传播的方向与大小

表示平均能量密度

四十六．

波源静止而观察者运动的多普勒效应

’(1v观) v'表示观测频率

表示波源频率 v观表示观察者的速率

v表示波相对于静止介质的波速

vv观表示观察者观测到的波速 表示观察者朝波源运动

表示观察者背离波源运动

四十七．

观察者静止而波源运动的多普勒效应

'v

vv源‘表示观测频率

表示波源频率 v源表示波源速率

v表示波相对于静止介质中的波速

vv源表示观察者观测到的波速

表示波源朝观察者运动

表示波源背离观察者运动

四十八．

观察者和波源在同一条直线上运动

'vv观v+v观cos2 ，‘=

vv源vv源cos1’表示观测频率

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表示波源频率 v观表示观察者的速率 v源表示波源的速率

1表示波源速度和观察者连线的夹角

2表示观察者速度和观察者连线的夹角

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