问题解决的数学模型方法

（１９９６年９月４日）

A题 优捕鱼策略

为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度，一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。

考虑对某种鱼（鲥鱼）的最优捕捞策略：

假设这种鱼分４个年龄组，称１龄鱼，---，４龄鱼．各年龄组每条鱼的平均重量分别为５．０７，１１．５５，１７．８６，２２．９９（g），各年龄组鱼的自然残废率均为０． （１／年），这种鱼为季节性集中产卵和孵化期每年的最后４个月，卵孵化并成活为１龄鱼，

1111

成活率（１龄鱼条数与产卵总量n之比）为１．２２*10/(1.22*10+n)．

渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业．如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼郡条数成正比，比例系数不妨称捕捞强度系数。通常使用价值１３mm网眼的拉网，这种网只能捕捞３龄鱼和４龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为０．４２：１．渔业上称这种方式为固定努力量捕捞．

１） 建立数学模型分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔

场中各年龄组鱼群条为不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕获总重量）．

２） 某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务５年，合同要求５年后鱼群

的生产能力不能受到太大破坏．已知承包时各年龄组鱼群的数

9

量为：１２２，２９．７，１０．１，３．２９（*10条）,如果仍用固定努力量的捕捞方式,该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高.

B题 节水洗衣机

我国淡水资源有限,节约用水从有责,洗衣在家庭用水中占有相当大的份额,目前洗衣机已非常普及,节约洗衣机用水十分重要,假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为:加水—漂水—脱水—―――加水—漂洗－脱水（称“加水－漂洗－脱水”为运行一轮）．请为洗衣机设计一种程序（包括运行多少轮、每轮加水量等），使得在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少．选用合理的数据进行计算．对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型和结果作出评价．

６．１９９７年全国大学生数学建模竞赛 （１９９７年９月２３日～２５日） Ａ题 零件的参数设计

一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数．零件参数包括标定值和容差两部分．进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围．若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的３倍．

进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差．这是要考虑两方面因素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高．

试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法．

粒子分离器某参数（记作y）由７个零件的参数（记作x1―――― x2 x7）决定，经验公式为：

y=174.42(

x1x53)(

x3x2x1)

0.85

*

xx12.62[10.36(4)0.56]2(4)1.16x2x2

x6x7y的目标值（记作y0）为1.50.当y偏离y0±0.1时,产品为次品,质量损失为1000(元)；当y偏离y0±0.３时，产品为废品，损失为９０００（元）．

零件参数的标定值有一定的容许变化范围；容差分为Ａ，Ｂ，Ｃ三个等级，用与标定值的相对表示，Ａ等为±１％，Ｂ等为±５％，Ｃ等为±１０％．７个零件参数标定值的容许范围，及不同容差等级零件的成本（元）如下表（符号／表示无此等级零件）：

标定值容许范围 Ｃ等 Ｂ等 Ａ等 X1 [0.075,0.125] / 25 / X2 [0.225,0.375] 20 50 / X3 [0.075,0.125] 20 50 200 X4 [0.075,0.125] 50 100 500 X5 [1.125,1.875] 50 / / X6 [12,20] 10 25 100 X7 [0.5625,0.935] / 25 100 现进行成批生产，每批产量１０００个．在原设计中，７个零件参数的标定值为：x1=0.1,x2=0.3,x3=0.1,x4=0.1,x5=1.5,x6=16,x7=0.75；容差均取最便宜的等级．

请你综合考虑y偏离y0造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少．

（本题由美国明尼苏达大学运筹与管理科学系李文连和清华大学应用

数学系姜启源提供） Ｂ题 截断切割

某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式．这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分．从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过６次截断切割．

设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r倍，且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e.

试为这些部门设计一种安排各方面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少．（由工艺要求，与水平工作台接触的长方体底面是事先指定的），详细要求如下：

１）需考虑的不同切割方式的总数．

２）给出上述问题的数学模型和求解方法． ３）试对某部门用的如下准则作出评价：每次选择一个加工费用最少的

待切割面进行切割．

４）对于e=０的情形有无简明的优化准则．

５）用以下实例验证你的方法：待加工长方体和成品长方体的长、宽、

高分别为１０，１４．５，１９和平，２，４，二者左侧面、正面、底面之间的距离分别为６，７，９（单位均为cm）.垂直切割费用为每平方厘米１元，r和e的数据有以下４组：

a) r=1,e=0; b) r=1.5,e=0; c) r=8,e=0; d) r=1.5;2e15. 对

最后一组数据应给出所有最优解,并进行讨论.

(本题由复旦大学数学系谭永基和华东理工大学应用数学系俞文蚍提供)

7.1998年全国大学生数学建模竞赛题目 (1998年9月26日~28日) A题 投资的收益和风险

市场上有n年资产(如股票)