2016年湖南省益阳市高三下学期4月调研考试 数学(理)(word版)

准考证号 益阳市2016届高三4月调研考试

理科数学（试题卷）

注意事项：

1.本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至6页． 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在复平面内，复数z1对应的点与复数z2A．23i

B．23i

32i（i为虚数单位）对应的点关于虚轴对称，则z1等于 iC．23i D．23i

2．若集合A{1,m2}，B{2,9}，则“m3”是“A∩B={9}”的

A．充分不必要条件 C．充要条件 3．计算：

A．

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

31(2x1)dx x2B．

22 3226 32C．

234 3D．52 274．抛物线y2px(p0)的准线被圆xy+2x30所截得的线段长为4，则P=

A．1 B．2 C．4 D．8

5．某商场在今年元宵节的促销活动中，对该天９时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时到10时的销 频率组距售额为5万元，则11时到13时的销售额为

0.40A．20万元 B．32.5万元 0.25C．35万元 0.150.10D．40万元

o91011121314时间/时6．函数yAsin(x)(A0,0,0) 的图象的一部分如图所示，则此函数的解析式为

A．y3sin(x) y 443 3) B．y3sin(x44C．y3sin(D．y3sin(22x) 4-3 3x)

4O 1 5 x 7．已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球O的表面积为80，则OA与平面ABCD所成的角的余弦值为

A．

310 10B．

10 10C．

19 19D．

30 308．若实数x,y满足约束条件A．[0,6] 1xy3, 则z=2xy的取值范围是

1xy1,C．[1,5] D．[0,5] B．[1,6] 9．若非零向量a,b满足a2ba3b，则a,b夹角的余弦值为 A．3 8B．

3 8C．＊

3 4D．

3 410．若数列{an}满足a11，且对于任意的nN都有an1ann1，则

111等于 a1a2a2016A．

4030 2016B．

2015 2016C．

4032 2017D．

2016 201711．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为

A．48 B．32 C．16

D．

32 3x2y212．设双曲线221(a0,b0)的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B

ab两点，且与双曲线在第一象限的交点为

P，设

O

为坐标原点，若

OPOAOB(,R),A．

3，则双曲线的离心率为 16C．

9 8B．

32 235 5D．

23 3第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分。第13题～第21题为必考题，每个考生都必须作答。第22题~24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．(x1)(x2)的展开式中含14．执行如图所示的程序框图，

x = 1 ,y = 2 z = xy 5x3项的系数为 ． 开始 则输出的z值是 ．

15．已知数列an的前n项和为Sn，且

a11，an1Sn+1，其中nN．

＊

则数列an的通项公式是an ． （-,0)(0,)上 16．已知函数f(x)是定义在

2|x1|1,的偶函数，当x0时，f(x)1fx2,2为 ．

0x2x2，则函数g(x)2f(x)1的零点个数

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分12分）

已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足asinAsinBbcos2A3a，

cosB6，c26． 3(Ⅰ)求sinA； (Ⅱ) 求a,b的值． 18．（本小题满分12分）

某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测。检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低于80的为合格品，可以出厂。现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计如下： 得分 甲 乙 [60,70) 5 8 [70,80) 10 12 [80,90) 34 31 [90,100] 11 9 （Ⅰ）试分别估计产品甲，乙下生产线时为合格品的概率；

（Ⅱ）生产一件产品甲，若是合格品可盈利100元，若是不合格品则亏损20元；生产一件产品乙，若是合格品可盈利90元，若是不合格品则亏损15元.在（Ⅰ）的前提下：

（1）记X为生产1件甲和1件乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望； （2）求生产5件乙所获得的利润不少于300元的概率.

19．（本小题满分12分）

如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD,PA=3，AB=2，∠ABC=60º，点E为PC

的中点，点F在PD上，且PF=2FD. （Ⅰ）证明：BE // 平面AFC； （Ⅱ）求二面角FACD的余弦值.

20．（本小题满分12分）

x2y2226设椭圆Ｃ：221(ab0)经过点（,），且其左焦点坐标

ab33为（－1,0）．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线l，m，其中l交椭圆于M,N,m交椭圆于P,Q，求

MNPQ的最小值．

21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)12x(3a1)x3alnx. 2（Ⅰ）若曲线yf(x)在点（4，f ( 4 )）处的切线的斜率小于0，求f(x)的单调区间； （Ⅱ）对任意的a[1,3]，x1,x2[1,3](x1x2)，恒有|f(x1)f(x2)|k|

请考生从第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，AB是圆O的直径，PB是圆O的切线，过A点作AE∥OP交圆O于E点，PA交圆O于点F，连接PE.

(Ⅰ)求证：PE是圆O的切线； (Ⅱ)设AO=3,PB=4,求PF的长.

A E

11 |，求k的取值范围。

x1x2

O

B

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

F P xcos,已知曲线C1的参数方程是（为参数），以直角坐标原点为极点，

y2sinx轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是sin2cos42. (Ⅰ)求曲线C2的直角坐标方程；

(Ⅱ)设P为曲线C1上任意一点，Q为曲线C2上任意一点，求|PQ|的最小值.

24.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

设不等式2|x1||x2|0的解集为M, a,bM． （Ⅰ）证明：|111ab|； 364（Ⅱ）比较|14ab|与2|ab|的大小．

益阳市2016届高三4月调研考试

理科数学参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1．A 2．A 3．A 4．B 5．B 6．A 7．B 8．C 9．D 10．C 11．D 12．D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．－40 14．256 15．an2n1 16．6 三、解答题：本大题共6小题，共70分.

17.解：(Ⅰ)由正弦定理得sinBsinAcosAsinB3sinA

22

而cosB63，且B是三角形的内角sinB1cos2B， 33

所以sinA131．„„„„„„„„„„6分 333 (Ⅱ)∵sinA13=sinB，且A、B是三角形的内角， 3322， 36 3∴AcsinA2,sinCbcsinB23 ． „„12分 sinC18. 解：（Ⅰ）甲为合格品的概率约为：

453=, 604402乙为合格品的概率约为：=; „„„„„2分

603（Ⅱ）（1）随机变量X的所有取值为190，85，70，-35，而且

321311P(X=190)=, P(X=85)=,

432434121111P(X=70)=, P(X=-35)=;

4364312所以随机变量X的分布列为：

X P 190 85 70 －35 1 21 41 61 12„„„„6分

190857035125 „„„„„8分 24612（2）设生产的5件乙中正品有n件，则次品有5n件，

25依题意，90n15(5n)300，解得：n，取n4或n5，

7设“生产5件元件乙所获得的利润不少于300元”为事件A，则：

212112 „„„„„„„„12分 P(A)=C54()4()5333243所以：EX

19．解：（Ⅰ）以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，平面ABCD内过A点垂直AD的直线为

x轴，建立如图所示空间直角坐标系.由题意知相关各点的坐标分别为

A(0,0,0),B(3,1,0),C(3,1,0),D(0,2,0),P(0,0,3).„„„„2分

由点E为PC的中点，点F在PD上，且PF=2FD得：

3134,,),F(0,,1),. 22234所以 AF(0,,1),AC(3,1,0).

3333BE(,,).

222设n=（x,y,z)是平面AFC的法向量，

4nAF0yz0则,所以3， 3xy0nAC0E(z P E A B x C F D y 34,1,).„„„„„„„5分 333333413由nBE(,,)(,1,)20，

2223322又BE平面AFC，所以BE//平面AFC. „„„„„„„8分 （Ⅱ）由PA⊥平面ABCD知平面ACD的一个法向量为m=(0,0,3),

令y=1取得平面AFC的一个法向量为n=(因为cos=

4116193927， 727. „12分 7由题中条件可知二面角FACD为锐角，所以它的余弦值为注：第一问用几何方法证明记6分。其他解法相应记分。

20．解（Ⅰ）∵2a25241244，∴ba2c23 9999x2y2∴椭圆的方程为：1． „„„„„„„„„„4分

43(Ⅱ)① 当直线l1,l2中有一条直线的斜率不存在时，MNPQ=7 „„5分

②当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程yk(x1)，设M(x1,y1)，N(x2,y2),

yk(x1)2222由x2y2，得(34k)x8kx4k120

1348k24k212∴x1x2，x1x2

34k234k212(1k2)|MN|=(1k)(x1x2)1k(x1x2)4x1x2

34k2222212(1k)1设直线l2的方程为y(x1)，同理得：PQ 2k43k284(k21)2所以MNPQ „„„„9分 22(43k)(34k)84

112+12tt1148因为t1，所以=时，MNPQ有最小值7．

t2748综上，MNPQ的最小值是 „„„12分

73a(x3a)(x1)21．解：(Ⅰ)f(x)x(3a1),(x0)

xx设tk21，则t1，所以MNPQ若曲线yf(x)在点（4，f(4)）处的切线的斜率小于0， 则f(4)43(43a)0,a．

33则由 f(x)0得03a；由f(x)<0得1∴f(x)的单调递增区间为(0,1)，（3a, ），单调递减区间为(1,3a)． „„4分

(Ⅱ)∵对任意的a[1,3]，3a[3,9],由(Ⅰ)知f(x)在[1,3]上为减函数。 不妨设1≤x1f(x2)，

11， x1x211)， x1x2∴原不等式可化为：f(x1)f(x2)k(即f(x1)kkf(x2)，对任意的a[1,3]，1≤x1x∴g(x)0对任意的a[1,3],x[1,3]恒成立(等号成立的x值不连续）．

3akx3(3a1)x23axk而g(x)x(3a1)20， 2xxx化简得x(3a1)x3axk0，

即(3x3x)axxk0，其中a[1,3],x[1,3]．

23232∵x[1,3]，∴3x3x20，只需3(3x3x2)x3x2k0， 即x10x9xk0对任意x[1,3]恒成立． „„„„9分 令h(x)x310x29xk，x[1,3]， 则h(x)3x220x90，x[1,3]恒成立， ∴h(x)x310x29xk在闭区间[1,3]上为减函数， 则hmin(x)h(3)x310x29xkk36．

由hmin(x)k360，解得k36． „„„„12分

22.解：(Ⅰ)连接OE，∵OA=OE, ∴∠OAE=∠OEA, ∵AE∥OP,

∴∠OAE=∠BOP, ∠OEA=∠EOP, ∴∠BOP=∠EOP,又OB=OE,OP=OP, ∴△BOP≌△EOP, ∴∠OEP=∠OBP,

∵PB是圆O的切线,∴∠OBP=90°, ∴∠OEP=90°，

∴PE是圆O的切线. „„„„5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知△ABP 是直角三角形， ∵AB=2AO=6,PB=4, ∴PA=

32A E

O F B P AB2PB2213,

∵PB是圆O的切线,

2

∴PB=PF·PA,

PB2813PF=. „„„„10分 PA13xcos,23. 解：(Ⅰ)将代入sin2cos42得：

ysin曲线C2的直角坐标方程为y2x420. „„„4分

(Ⅱ)由题意可知|PQ|的最小值即为P到直线y2x42的距离的最小值， 22cos()42|2cos2sin42|4∵d=

55所以|PQ|的最小值为dmin210. „„„10分 5

24.解：当x2时，原不等式可化为230，显然不成立；

当2x1时，原不等式可化为12x1，解得当x1时，原不等式可化为230显然不成立。 综上所述，原不等式的解集为M{x|（Ⅰ）证明：a,bM,a,b(11x； 2211x}。„„„„3分 2211,)， 22111111b， 所以a,636126121111111 两式相加得ab，即|ab|。„„„„6分

4364364（Ⅱ）(14ab)24(ab)218ab16a2b24a28ab4b2

(14a2)(14b2)， a,b(∴14a20,1111,)，0a2,0b2， 224414b20，∴(14a2）(14b)20，

∴|14ab|2|ab|． „„„„10分