基于模糊概率的Markowitz投资组合分散风险的理论及实证研究

维普资讯 http://www.cqvip.com 第２３卷第５期　Ｖｏ１．２３　Ｎｏ．５　统计与信息论坛　Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ＆Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｆｏｒｕｍ　２ｏｏ８年５月　Ｍａｙ，２００８　【统计应用研究】　基于模糊概率的Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ投资组合　分散风险的理论及实证研究　王　芳　（中国人民大学财政金融学院，北京１００８７２）　摘要：在分析Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ模型不足的基础上，提出了一个修正模型。该模型采用模糊概率的方法对投资　组合里各资产的权重进行合理调整，更准确地显现投资组合分散风险的效果，并利用实际数据对该模型进行　了实证研究，验证了资产数量与组合风险之间关系的理论学说，表明在近年来的上海股票市场中适宜的投资　规模不超过２０种。　关键词：资产组合；收益；风险；模糊概率　中图分类号：Ｆ８３０．９　文献标识码：Ａ　文章编号：１００７—３１１６（２００８）０５—００６１—０５　一　、Ｊ　１ｌ　言　口　获得诺贝尔经济学奖的Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ于１９５２年　提出的投资组合均值方差模型，是过去５０年来金融　理论发展的基石，其核心是把过去证券的平均收益　作为未来投资的期望收益，把过去平均收益的方差　作为未来投资的风险【ｌ　］。“不要把鸡蛋放在同一　个篮子里”体现了投资组合理论的基本思想，也就是　将多项风险资产组合到一起，可以对冲掉部分风险　而不降低平均的预期收益率。但Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ投资组　合理论是在一系列理想条件下的产物，而在现实中，　这些条件并不一定满足，比如证券交易市场不是一　个无摩擦的市场，考虑管理成本、税收和交易费用等　Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ均值方差模型有其突出缺点：用过去收　益的平均值作为将来的期望收益；在计算过去平均　收益时是用算术平均值。比如原模型中每种证券按　时间先后次序都有许多观察点，而每个观察点不管　时间先后都对未来不确定的结果有同样的贡献率，　这显然是不符合事实的，现实中，离现在越近的资料　对未来的影响也越大，也就越有价值。　二、模型研究　（一）Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ模型简介　因素，证券投资组合存在边际效用递减的现象［３＿，　不仅投资组合规模有一个限度，而且对投资风险的　降低也同样存在一个限度。所以理论是否符合现实　还要靠实践检验，近年来有许多学者对此进行了实　证研究，得出了许多有意义的结论［　－５］，但这些研　假设有　项风险资产　ｉ＝１，…，　，它们的预　期收益率记为Ｅ（ｒ　）：ｉ＝１，…，　，彼此之间的协　方差记为ｏ＂６：ｉ，　＝１，…，　（当ｉ＝　时，　ｆ　就表示　方差，记为　２　）。叫　一，叫　表示相应资产在组合资　产中的比重（∑叫　＝１），由于在中国证券市场上禁　止卖空，因此有叫　≥０。于是投资组合ｒ的预期收益　率和方差就是：　—　究都是几年前的，而证券市场的时效性很强，所以有　必要针对目前市场进行新的研究；另外，这些研究都　是基于Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ原投资组合模型之上的，而原　收稿日期：２００８—０２—２５　Ｅ（ｒ）＝∑叫　（ｒ　）　＝（１）　（２）　∑∑叫　ｉ：ｌ』：１　作者简介：王芳（１９７２一），女，吉林辽源人，博士生，研究方向：商业银行风险管理。　６１　维普资讯 http://www.cqvip.com

统计与信息论坛　其中　１　＝　一　∑（ｒ　一７ｉ）（，－ｊｋ—　）　（３）　＝（ｒ壤一ｒｉ）（　一ｒ／）　生Ｌ——　———一　（９）　公式（３）中ｍ为所获取的单只股票的观测点总数，　ｒ　为第ｉ只股票第ｋ个观测点上的收益率，　为第ｉ　１　！－　∑ｈ　ｋ＝ｌ　对应投资组合　＝（　ｌ，　２，…，　）的收益仍　记为ｒ，则ｒ的均值和方差分别为：　只股票的算术平均收益率，即　＝　∑ｒ　。　：１　Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ投资组合模型的基本思想是如何选　择资产使在期望收益一定的情况下最大限度的减少　Ｅ（ｒ）＝∑　（　）　ｉ＝ｌ　＝（１０）　（１１）　∑∑　风险或在所能承受的风险水平下最大限度的增加收　益。而投资的风险和收益分别用方差和期望来度量，　这就可以把上述思想表示为下面的二次规划问题：　ｍｉｎ　＝∑∑　（４）　ｉ＝１　ｊ＝１　ｓ．ｔ　Ｅ（ｒ）＝∑　（　）＝　（５）　∑伽　１训ｆ≥０　（６）　ｉ＝ｌ　（二）基于模糊概率的投资组合模型　从Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ模型的建立过程可以看出，期望　收益是　期不同受益的算术平均值，也就是说，每　期的收益对期望收益的贡献率是相同的，但实际上，　离现在越近的资料对未来收益的影响越大。另外，证　券市场极易受一些偶发事件的影响，一遇到利好消　息，证券价格狂涨，而一遇到利空消息，证券价格一　泻千里。证券价格的大起大落导致其收益也大幅变　化，在预测证券未来收益时，应把这些异常时期的收　益最大限度地过滤掉。本文把Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ的概率分　布推广到模糊概率分布，利用移动平均线和证券专　家的知识和经验过滤异常受益的波峰和波谷，建立　起基于模糊概率的投资组合模型。　设（　，ｈ　），ｉ＝１，２，…，，ｚ；ｋ＝１，２，…，７ｎ为　一组数据，其中ｒ　为证券ｉ在第ｋ个观测点上的收　益率，ｈ　为由专家给出的可能度，用来反映未来证　券市场与第ｉ期证券市场价格之间的相关程度。　首先，用３日移动平均线对ｒ　进行平滑：　３　（７）　应当注意移动平均线步长不能太大，以免平滑掉其　它有用信息。　接下来用这些可能度ｈ　作为权重，来确定给定　收益数据的均值和方差。　ｍ－２　∑　ｒ　壤　＝—　ｊ『＝　＿一一　　（８）　∑ｈ　６２　这样，模糊概率投资组合模型可以表示为：　ｍｉｎ　＝∑∑　（１２）　ｉ＝１』＝１　ｓ．ｔ　Ｅ（ｒ）＝∑　（ｒ｛）＝ｂｅ　（１３）　ｉ＝ｌ　∑　１　≥０　（１４）　值得一提的是，该模型与Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ模型的形　式是一样的，区别仅在于均值收益和协方差的处理　方式不同。若在式（８）和式（９）中令ｈｌ＝ｈ２＝…＝　ｈ　一２，则模型（１２）～（１４）和式（４）～（６）完全相同，　因此，模糊概率投资组合模型是Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ模型的　推广形式，Ｍａｒｋｏｗｉｍ模型是模糊概率投资组合模　型的特殊形式。　三、理论分析　为了分析简单，假定这，ｚ种风险资产在投资组　合里的比重是一样的，即有ＺＵｉ＝　；ｉ＝１，…，，ｚ。　于是组合的方差可写成：　骞　；＋　＝　－５ｉ＝１ｊ￣　ｉ，ｊ＝。　ｒｔ２　（　５）　公式（４）中包括，ｚ个方差项和，ｚ（，ｚ一１）个协方差　项。从方差项中提出　，从协方差项中提出　，　公式变为：　２＋　Ｔ／ｉ　＝１　耋　毫，　（１６）　公式（１６）中　为各资产方差的平均值，记为　，为有限值；　为组合资产的平ｉ　１　Ｊ≠．　ｉ　．Ｊ　１　¨＼¨　均协方差，记为　ＩＩ，它也是有限值。由于　和　“　维普资讯 http://www.cqvip.com

王芳：基于模糊概率的Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ投资组合分散风险的理论及实证研究　都是平均值，当随机选取的股票达到一定数量后，　和　Ⅱ受股票数量　的影响很小，在此，不妨把公　式（１６）写成如下形式：　ｚ：　＋　Ⅱ　ｕ　（１７）　结合统计学知识，由式（１６）、式（１７）可知：当　＞０时，说明这两种资产的收益率变化方向一致，　此时称它们正相关，这会使　ＩＩ进一步增大；当　＜　０时说明这两种资产的收益率变化方向相反，称它　们为负相关，这会使　ＩＩ进一步减小；当　ｉ　＝０时，　说明资产ｉ的收益和资产　的收益无关，称它们为不　相关资产，此时　ＩＩ不变。　由上述分析可知：要降低投资组合风险　２，有　两种办法可供选择：第一，增加资产种类数量；第二，　尽可能选择一些负相关或不相关的资产进行组合。　但在实际操作中，若选取的资产过多，不仅会花费过　多的管理费用、研究成本和交易费，也可能因信息不　对称而导致决策延迟或决策失误，这样效果就会适　得其反；若选取负相关资产，也不利于得到实际收益　较高的资产组合，因为负相关资产的实际收益常常　是异向变动的。如果选择不相关的资产进行组合投　资，则既能保证降低风险，又不影响实际收益。但现　实中，绝大部分资产都是正相关的，在实际操作中尽　可能地选择不同行业、不同种类的资产进行组合，这　些资产收益之间的相关性很小。因此，在实践中，常　常考虑相关性低的资产进行组合。　通过以上理论分析可以发现：当投资组合含有　许多种风险资产时，个别资产的方差将不起作用，总　的风险将取决于组合中各资产之间的相互关系，即　平均协方差。事实上，在选择不同行业、不同种类的　资产组合投资时，这些资产之间的协方差有正有负，　它们会起互相对冲抵消的作用，但这种对冲抵消不　是完全的，因为这些资产的收益变动存在某种“同向　性”，这种同向性的风险是所有的不同资产都同时承　受的，即整个市场所承受的风险，如经济的景气情　况、市场总体利率水平的变化等因为整个市场环境　发生变化而产生的风险，我们称它为系统风险或市　场风险，组合的方差就等于未被抵消的部分，即平均　协方差。而可以对冲抵消的风险是企业特有的风险，　诸如企业陷入法律纠纷、财务危机、新产品开发失败　等，这部分风险为非系统风险或企业风险。　四、实证分析　（一）样本数据的选取及处理　为研究组合投资分散风险理论在中国股票市场　上的作用效果，笔者在上海证券交易所（ｗ　．ｓｓｅ．　ｃｏｍ．ｃｎ）从工业、商业、房地产、综合等几大相关程　度低的行业中随机选取了共３５只股票，获取每只股　票２００４年１月到２００７年１２月共四年的月收盘价。　并对这些数据进行了如下处理：　篆　ｉ＝１，２，…，３５　＝１，２，…，４８　其中ｒ　表示第ｉ只股票第　月的收益率，ａ打和ｃ　ｆ分　别表示第ｉ只股票第　月所收红利和收盘价。　为了进一步验证组合投资分散风险的效果，笔　者又收集了２００４年１月到２００７年１２月四年间上海　综合指数月收盘价，以便使组合风险和整个系统风　险相对照。另外，由于此处采用的是基于模糊概率上　的投资组合模型，在式（８）和式（９）中，模糊权重ｈ　，　ｋ：１，２，…，４８，究竟取何值，这主要依据专家多年　来积累的经验，也可以用时间序列的方法来求解。　（二）检验过程　采用无放回式随机抽样方式选取股票，按简单　等权组合方法作出从１只到３５只股票的共３５种组　合。具体过程为：首先随机选取一只股票，作为一个　组合，计算其标准差；然后在剩下的股票中随机选取　一只股票和第一只股票组合，为使问题简化，按相等　权重设定投资比例，计算出组合的标准差；以此类　推，每增加一只股票就确定一个投资组合，相应得到　组合的标准差。这样，３５只股票就得到３５个投资组　合，也相应得到这３５个组合的标准差。　但是这只是对随机抽取的一组投资组合进行分　析，有可能出现组合标准差波动无规律或反常的现　象，为了避免或减少这种现象的发生，按上述方式连　续做３５组１到３５只股票的系列组合，并根据上面所　述，分别计算出各种规模投资组合的平均标准差。另　外计算出这四年间上海综合指数标准差。　（三）检验结果　根据以上计算过程，得到了３５组各种规模投资　组合的平均标准差，并计算出期间上海综合指数收　益率标准差为０．０８６　１，由此可估计出上海股市的系　统风险约为０．０８６　１，进一步计算出已消除风险占非　系统风险（Ｏ．１５１　８～０．０８６　１）的百分比，见表１。　通过以上实证分析可以发现：当采用３５个样本　综合平均后，在上海股票市场上，股票组合的风险随　着组合规模的扩大而逐渐下降；当组合中股票总数　有１种增加到５种时，组合风险的减少程度最大，已　减少了非系统风险的７５．８８％；当组合中股票总数　６３　维普资讯 http://www.cqvip.com

统计与信息论坛　由６种增到１Ｏ种时组合风险的减少程度较小；当组　少程度十分微弱；当组合中股票总数由２１种增到３５　合中股票总数由１１种增到２０种时，组合风险的减　种时组合风险几乎不再减少。　表１　３５种规模投资组合的平均标准差及所分散非系统性风险的比重表　更重要的是从中发现：这３５只股票组合的标准　量的管理费用、研究成本和交易费用。　差均值（Ｏ．０８７　４）与整个大盘的标准差（Ｏ．０８６　１）非　２．选择那些不相关或相关程度低的证券构成的　常接近，这表明达到一定数量的股票构成的投资组　资产组合，能够在收益率基本不变的情况下，最大限　合的风险已与整个市场风险趋同，几乎不受单只股　度的分散风险，从而否定了那些认为要降低风险，在　票风险的影响。　组合中就要将低风险、低收益的股票及债券纳入到　事实上，组合的标准差不会低于０．０８６　１，这就　资产组合中的传统的观点。这种组合的代价使风险　是无法通过分散化投资消除的系统风险，由此验证　降低的同时，收益也降低。在实际操作中，尽可能选　了资产数量与组合风险之间的理论学说。　取那些不同行业、不同种类的股票组合投资。　五、结论　３．由以上实证分析可知，中国上海股票市场系　统风险占总风险的比重约为５６．７２％，而在西方国　从以上基于模糊概率的投资组合模型的理论分　家成熟股市中，系统风险在总风险中所占比例一般　析和实证研究可以得出以下结论：　都低于３Ｏ％，这说明中国的股票市场还不成熟，单　１．组合资产的分散化投资可以消除非系统风　只股票的价格受市场整体走势的影响非常大，这在　险，但不能消除系统风险。以上分析从理论上否定　２００６年以来的牛市行情中表现比较突出，说明通过　了关于持有越多证券越有利于分散投资风险的传统　组合投资来分散和降低非系统风险的空间有限，股　观点。如果组合中包含过多的资产，则管理费用、研　市投资风险较大。　究成本等就会增加，投资效果也就会适得其反。因　总的看来，中国证券市场正处于初级阶段，产生　此，针对有些基金投资公司采用５Ｏ种以上甚至上百　风险的因素很多，投资者通过投资组合降低投资风　种股票组合投资来说，上海股票市场适度的组合规　险，既有一定的可行性，又有较大的性，尤其是　模应该不超过２Ｏ种股票，比如由２Ｏ种股票构成的　基金管理公司，应该尽量通盘考虑各种影响因素，力　组合规模可以减少近９５％的非系统风险，这样，不　争在获得一定收益的情况下尽量降低投资风险。　仅很大程度上分散了非系统风险，同时也节省了大　（下转第７６页）　维普资讯 http://www.cqvip.com

统计与信息论坛　［５］赵留彦，王一鸣，蔡婧．中国通胀水平与通胀不确定：马尔柯夫域变分析［Ｊ］．经济研究，２００５（８）：６０—７２．　［６］易纲．中国的货币、银行和金融市场：１９８４—１９９３［Ｍ］．上海：上海三联书店，上海人民出版社，２０００：１００—１０１．　（责任编辑：马慧）　Ａｎ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｎ　Ｉｎｆｌａｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｍｏｎｅｙ　Ｃｉｒｃｕｌａｔｉｏｎ　Ｖｅｌｏｃｉｔｙ：ｆｒｏｍ　１９５３　ｔｏ　２００６　ＨＵＡ　Ｘｉａｏ－ｌｏｎｇ１，一，ＺＨＡＯ　Ｈｕｉ—ｙｕ　（１．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆＥｃｏｎｏｍｉｃ　ａｎｄＦｉｎａｎｃｅ，Ｘｉ’ａｎ　ＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ｎａ　７１００６１，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｆｉｎａｎｃｅ，Ｉｎｎｅｒ　Ｍｏｎｇｏｌｉａ　Ｅｃｏｎｏｍｉｃ　ｎａｄ　Ｆｉｎａｎｃｅ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｈｕｈｏｒｔ　０１００５１，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｓｉｎｃｅ　２００４，ａ　ｎｅｗ　ｒｏｕｎｄ　ｏｆ　ｉｎｆｌａｔｉｏｎ　ｈａｓ　ａｒｏｕｓｅｄ　ｅｘｔｅｎｓｉｖｅ　ａｔｔｅｎｔｉｏｎ　ａｔ　ｌａｌｌｅｖｅｌｓ　ｉｎ　Ｃｈｉｎａ．Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｐｒｏｖｉｄｅｓ　ａ　ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ　ｓｕｃｈ　ａｓ　ｃａｕｓａｌｉｔｙ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｉｎｆｌａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｍｏｎｅｙ　ｓｕｐｐｌｙ　ｉｎ　１９５３——　２００６，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｅｆｆｅｃｔ　ｏｆ　ｉｎｆｌａｔｉｏｎ　ｏｎ　ｍｏｎｅｙ　ｃｉｒｃｕｌａｔｉｏｎ　ｖｅｌｏｃｉｔｙ，ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｆｉｒｓｔ　Ｃｈｉｎａ　Ｅｃｏｎｏｍｉｃ　Ｃｅｎｓｕｓ（ＣＥＣ）　ｄａｔａ．　Ｉｔ　ｏｃｎｃｌｕｄｅｓ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｔｗｏ—ｗａｙ　ａｃｕｓａｌ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｉｎｆｌａｔｉｏｎ　ｎａｄ　ｍｏｎｅｙ　ｓｕｐｐｌｙ　ｉｓ　ｌａｃｋ　ｏｆ　ｅｍｐｉｒｉｃａｌ　ｓｕｐｐｏｒｔ，ｂｕｔ　ｉｎｆｌａｔｉｏｎ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｃａｕｓｅ　ｏｆ　ｍｏｎｅｙ　ｓｕｐｐｌｙ，　ａｎｄ　ｉｔ’Ｓ　ｎｏｔｉｃｅａｂｌｅ；ｔｈｅ　ｓｐｅｅｄ—ｕｐ　ｅｆｆｅｃｔ　ｏｎ　ｍｏｎｅｙ　ｃｉｒｃｕｌａｔｉｎｇ　ｒａｔｅ　ｆｒｏｍ　ｉｎｆｌａｔｉｏｎ，ｄｉｖｉｄｉｎｇ　ｉｎｔｏ　ａｂｓｏｌｕｔｅｌｙ　ｓｐｅｅｄ—ｕｐ　ｅｆｆｃｅｔ　ａｎｄ　ｒｅｌａｔｉｖｅｌｙ　ｓｐｅｅｄ—ｕｐ　ｅｆｆｃｅｔ．Ａｌｏｓ，　ｔｈｅ　ｐｈｅｎｏｍｅｎａ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ａｂｓｏｌｕｔｅｌｙ　ｓｐｅｅｄ—ｕｐ　ｅｆｆｅｃｔ　Ｗａｓ　ｍｏｒｅ　ｏｒ　ｌｅｓｓ　ｗｅａｋ　ｔｈａｎ　ｔｈｅ　ｒｅｌａｔｉｖｅｌｙ　ｓｐｅｅｄ—ｕｐ　ｅｆｆｃｅｔ　ａｃｃｏｒｄｉｎｇ　ｔｏ　ｏｕｒ　ｉｎｔｕｉｔｉｏｎ．　Ｉｎ　ｒｅｃｅｎｔ　ｙｅａｒｓ，ｔｈｅｓｅ　ｔｗｏ　ｋｉｎｄｓ　ｏｆ　ｓｅｐｅｄ—ｕｐ　ｅｆｆｃｅｔ　ａｒｅ　ｂｅｃｏｍｉｇｎ　ｍｏｒｅ　ａｎｄ　ｍｏｒｅ　ｏｂｖｉｏｕｓ，ｓｏ　ｍｏｒｅ　ａｔｔｅｎｔｉｏｎ　ｉｓ　ｎｅｅｄｅｄ．Ｉｎ　ｓｈｏｒｔ，ｉｔ　ｃｏｎｆｉｒｍｅｄ　ｔｈｅ　ｆａｍｏｕｓ　ｊｕｄｇｍｅｎｔ　ｂｙ　Ｆｒｉｅｄｍａｎ（１９６３），　“Ｉｎｆｌａｔｉｏｎ　ｍｕｓｔ　ｂｅ　ａｌｗａｙｓ　ｍｏｎｅｔｒａｙ　ｐｈｅｎｏｍｅｎａ”．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｉｎｆｌａｔｉｏｎ；ｍｏｎｅｙ　ｓｕｐｐｌｙ；ｍｏｎｅｙ　ｃｉｒｃｕｌａｔｉｎｇ　（上接第６４页）　参考文献：　［１］ＭａｒｋｏｗｉｔｚＨ．Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ　ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆＦｉｎａｎｃｅ，１９５２（７）：７７—９１．　［２］　Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ　Ｈ．Ｍｅａｎ—ｖａｒｉｎａｃｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｉｎ　ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ　ｃｈｏｉｅｃ　ａｎｄ　ｃａｐｉｔａｌ　ｍａｒｋｅｔｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：Ｂａｓｉｌ　Ｂｌａｃｋｗｅｌｌ，１９８７：　９３—１０４．　［３］尹占华．Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ投资组合模型的修正［Ｊ］．周口师范学院学报，２００３（５）：９一ｌ１．　［４］黄焕强．中国证券投资基金投资组合规模与风险关系的实证研究［Ｊ］．预测，１９９９（２）：２９—３２．　［５］吴世农，韦绍永．上海股市投资组合规模和风险关系的实证研究［Ｊ］．经济研究，１９９８（４）：２１—２９　（责任编辑：马慧）　Ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ　ａｎｄ　Ｅｍｐｉｒｉｃａｌ　Ｓｔｕｄｉｅｓ　ｏｎ　Ｄｉｖｅｒｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｒｉｓｋ　Ｏｆ　Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ’Ｓ　Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ　Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｆｕｚｚｙ　Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ＷＡＮＧ　Ｆａｎｇ　（Ｓｃｔｘ￣ｏｌ　ｏｆ　Ｆｉｎａｎｃｅ，Ｒｅｎｍｉｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｃｈｉｎａ，Ｂｅｉｊｉｎｇ　１００８７２，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｏｎ　ｔｈｅ　ｂａｓｉｓ　ｏｆ　ｓｔｕｄｙｉｎｇ　ｓｈｏｒｔｃｏｍｉｎｇｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ’Ｓ　ｍｏｄｅｌ，ａ　ｒｅｖｉｓｅｄ　ｍｏｄｅｌ　ｉｓ　ｇｉｖｅｎ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ．Ａ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｆｕｚｚｙ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ｉｓ　ｕｓｅｄ　ｔｏ　９ｄＪｕｓｔ　ｔｈｅ　ｐｏｗｅｒ　ｏｆ　ｔｈｅ　ａｓｓｅｔ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ，ＳＯ　ａ　ｍｏｒｅ　ｅｘａｃｔ　ｅｆｆｅｃｔ　ｏｆ　ｄｉｖｅｒｓｉｌｙｉｎｇ　ｒｉｓｋ　ｃｏｕｌｄ　ｅｂ　ｍａｐｐｅｄ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｒｅｖｉｓｅｄ　ｍｏｄｅ１．Ａｔ　ｔｈｅ　ｅｎｄ，ｔｈｅ　ｒｅｖｉｓｅｄ　ｍｏｄｅｌ　ｉｓ　ａｐｐｌｉｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｄａｔａ　ｆｒｏｍ　ｓｔｃｏｋ　ｍａｒｋｅｔ，ｗｈｉｃｈ　ｖｅｒｉｆｉｓｅ　ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ　ｄｉｖｅｒｓｉｆｙｉｎｇ　ｒｉｓｋ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔ　ｓｈｏｗｓ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｒｉｇｈｔ　ｓｔｃｏｋ　ｓｉｚｅ　ｏｆ　ｏｐｒｔｆｏｌｉｏ　ｉｓ　ｎｏｔ　ｍｏｒｅ　ｔｈａｎ　２０．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｏｐｒｔｆｏｌｉｏ；ｐｒｏｆｉｔ；ｒｉｓｋ；ｆｕｚｚｙ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　７６