2015年北京东城初三一模数学试题及答案

东城区2014—2015学年第二学期初三综合练习（一） 数学试题 2015.5

学校 班级 姓名 考号

1．本试卷共8页，共五道大题，29道小题，满分120分.考试时间120分钟. 考2．在试卷上准确填写学校名称、班级、姓名和考号. 生3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效. 须4．在答题卡上选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 知 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共30分，每小题3分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． ．．

1．与2的和为0的数是 A．2 B．1 2 C．

1 2 D．2

2．2015年元旦期间，北京各大公园接待游客达245 000万人次。其中， “冰雪乐园”吸引了大批游客亲身感受冰雪带来的快乐，一起为北京申办2022年冬奥会助力加油.用科学记数法表示245 000 ，正确的是

A．24.510 B．2.4510 C．2.4510 D．0.24510 3．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是 A．圆柱 B．球 C．圆锥 D． 棱柱

4．在某校初三年级古诗词比赛中,初三(1)班42名学生的成绩统计如下,则该班学生成绩的

6645

中位数和众数分别是

分数 人数

． 70,80 AB． 70,90 C． 80,90 D． 80,100 50 1 60 2 70 8 80 13 90 14 100 4 1

5． 在六张卡片上分别写有π,无理数的概率是 1 A．1,1.5,3,0,32六个数,从中任意抽取一张,卡片上的数为

6B．1 3 C． 1 2D． 2 36．正五边形的每个外角等于

A. 36 B. 60 C. 72 D. 108 7．如图，AB是O的直径，点C在O上，过点C作

O的切线交AB的

延

长线于点D，连接OC，AC. 若D50，则A的度数是

A. 20 B．25

C．40 D．50

半

8．小李驾驶汽车以50千米/小时的速度匀速行驶1小时后，途中靠边停车接了

小时电话，然后继续匀速行驶.已知行驶路程y（单位：千米）与行驶时间t（单位：小时）的函数图象大致如图所示，则接电话后小李的行驶速度为

A. 43.5 B. 50 C. 56 D. 58

9. 如图，已知∠MON =60°，OP是∠MON的角平分线 ，点A是OP上一点，过点A作ON的平行线交OM于点B,AB=4.则直线AB与ON之间的距离是 A.

3 B.2 C.23 D.4

10. 如图1， △ABC和△DEF都是等腰直角三角形，其中CEDF90，点A与点D重

合，点E在AB上，AB4，DE2.如图2，△ABC保持不动，△DEF沿着线段AB从点A向点B移动， 当点D与点B重合时停止移动.设ADx，△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，则S关于x的函数图象大致是

2

图1 图2 A B C D

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11．分解因式：mx24my2 ． 12．计算8272+3的结果为 ．

13. 关于x的一元二次方程x3xm0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围 是 ．

14. 北京的水资源非常匮乏，为促进市民节水，从2014年5月1日起北京市居民用水实行阶梯水价，实施细则如下表:

北京市居民用水阶梯水价表 单位: 元/立方米

其中 户年用水量 分档水量 （立方米） 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 0-180（含） 181-260（含） 260以上 5.00 7.00 9.00 水价 自来水费 2.07 4.07 6.07 1.57 1.36 水资源费 处理费 污水 2 某户居民从2015年1月1日至4月30日,累积用水190立方米,则这户居民4个月共需缴纳水费 元.

15．已知女排赛场球网的高度是2.24米，某排球运动员在一次扣球时，球恰好擦网而过，落在对

方场地距离球网4米的位置上，此时该运动员距离球网1.5米，假设此次排球的运行路线是直线，则该运动员击球的高度是 米．

3

16．在平面直角坐标系xOy中，记直线yx1为l.点A1为 1是直线l与y轴的交点，以AO 边做正方形AOC11B1,使点C1落在在x轴正半轴上，作射线C1B1交直线l于点A2，以 A2C1为边作正方形A2C1C2B2,使点C2落在在x轴正半轴上，依次作下去，得到如图

所示的图形.则点B4的坐标是 ，点Bn的坐标是 ．

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

DC2.2441.5 第15题图 第16题图 17．如图，AC与BD交于点O，OAOC，OBOD．

O 求证：DC∥AB．

AB118. 计算：3π3tan604.

3012x1＞3x1,19．解不等式组：5x

＜x4.22a24a4a220．先化简，再求值：，其中a21． 2a1a1a121．列方程或方程组解应用题：

2015年“植树节”前夕，某小区为绿化环境，购进200棵柏树苗和120棵枣树苗，且两

种树苗所需费用相同.每棵枣树苗的进价比每棵柏树苗的进价的2倍少5元，每棵柏树苗的进价是多少元？

22．在平面直角坐标系xOy中，过点A4,2向x轴作垂线，垂足为B，连接AO.双曲线 yk经过斜边AO的中点C，与边AB交于点D． x （1）求反比例函数的解析式；

4

（2）求△BOD的面积． 四、解答题（本题共20分，每小题5分）

23． 如图，△ABC中，BCA90,CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC

的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE. （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）若AC2DE，求sinCDB的值．

24．为弘扬中华传统文化,某学校决定开设民族器乐选修课.为了更贴合学生的兴趣，对学生最喜爱

的一种民族乐器进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，共调查 名学生； （2）请把条形图（图1）补充完整；

（3）求扇形统计图（图2）中，二胡部分所对应的圆心角的度数； （4）如果该校共有学生1500名，请你估计最喜爱古琴的学生人数．

O中，AB为直径，OCAB，25. 如图,在⊙弦CD与OB交于点F，

过点

F O的切线交于点G，且GD与AB的延长线交于点E． D,A分别作⊙

（1）求证：12;

O的半径为3，求AG的长． （2）已知：OF:OB1:3，⊙

26. 在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E是OC上任意一点，AGBE于点G，交BD于点F．

(1)如图1,若四边形ABCD是正方形,判断AF与BE的数量关系;

5

明明发现，AF与BE分别在△AOF和△BOE中，可以通过证明△AOF和△BOE全等,得到AF与BE的数量关系;

请回答：AF与BE的数量关系是 .

(2) 如图2,若四边形ABCD是菱形, ABC120,请参考明明思考问题的方法，求

ADAF 的值. BEOFGBEC

图1 图2

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线

点C．

yax2bx1a0过点A1,0，B1,1,与y轴交于

（1）求抛物线yax2bx1a0的函数表达式；

（2）若点D在抛物线yax2bx1a0的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D 的

坐标;

（3）在抛物线yaxbx1a0的对称轴上是否存在点P,使△ACP成为以AC为直角边

2的直角三角形？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由.

28. 已知：Rt△A′BC′和 Rt△ABC重合，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠BA′C′=∠BAC=30°，现将Rt△A′BC′ 绕点B按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线C′C和线段AA′相交于点D,连接BD．

（1）当α=60°时，A’B 过点C，如图1所示，判断BD和A′A之间的位置关系，不必证明； （2）当α=90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明； （3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由.

6

A 图1 图2 图3 BC

29．定义符号mina,b的含义为：当a≥b时, mina,bb；当a＜b时, mina,ba．如：

min1,22，min1,21．

2(1)求minx-1,-2;

(2)已知min{x2xk,3}3, 求实数k的取值范围;

(3) 已知当2≤x≤3时，min{x2x15,m(x1)}x2x15.直接写出实数m的取值范围.

222

7

东城区2014-2015学年第二学期初三综合练习（一）

数学试题参考答案及评分标准 2015.5

一、选择题（本题共30分，每小题3分） 题号 答案 1 D 2 B 3 A 4 C 5 B 6 C 7 A 8 D 9 C 10 B

二、填空题（本题共18分，每小题3分） 题号 11 12 13 14 3.08 15 16 B4(15,8)；答案 mx2yx2y 2+43 9m＞- 4970 Bn(2n1,2n1) 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17． 证明：∵在△ODC和△OBA中，

DCODOB,∵DOCBOA, OCOA,∴△ODC≌△OBA. „„„„3分 ∴CA. „„„„4分 ∴DC∥AB． „„„„5分

AOB118.解：3π3tan604301

1333414分 5分19． 解：2x1＞3x1,①

5x＜2x8，②由①得，x＜2， „„„„2分

8

， 由②得，x＞1 „„„„4分

所以，不等式组的解集为1＜x＜2. „„„„5分

2a24a4a220.解：2a1a1a1

a2a12a1a1a1a22a2a1a1aa12

3分 当a21 时，原式2-12-12．„„„„5分 ==1-22-11221．解：设每棵柏树苗的进价是x元，则每棵枣树苗的进价是2x5元. „„„„1分

x=120(2x 根据题意，列方程得：2005) „„„„3分 ，

解得： x15. „„„„5分 答：每棵柏树苗的进价是15元. 22． 解：（1）过点C向x轴作垂线，垂足为E.

∵CEx轴，ABx轴，A4,2，

∴CE∥AB，B4,0. ∴

OEOCCE1. OBOAAB2 ∵OB4，AB2， ∴OE2，CE1.

∴C2,1. „„„„2分 ∵双曲线y ∴k2.

∴反比例函数的解析式为y （2）∵点D在AB上，

∴点D的横坐标为4. ∵点D在双曲线yk

经过点C， x

2. „„„„3分 x2上， x9

∴点D的纵坐标为12. „„„„4分 ∴S△BOD12OBBD124121.„„„„5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）

23.（1）证明：∵DE∥BC,CE∥AB， ∴四边形DBCE是平行四边形. ∴CEBD.

又∵CD是边AB上的中线， ∴BDAD. ∴CEDA. 又∵CE∥DA，

∴四边形ADCE是平行四边形.

∵BCA90，CD是斜边AB上的中线， ∴ADCD.

∴四边形ADCE是菱形. „„„„3分

（2）解：作CFAB于点F.

由(1) 可知, BCDE.设BCx,则AC2x. 在Rt△ABC中,根据勾股定理可求得AB5x.

∵

12ABCF12ACBC, ∴CFACBCAB255x.

∵CD12AB52x, ∴sinCDBCFCD45.„„„„5分 24.解：（1）20÷10%=200（名），„„„„1分 答：一共调查了200名学生； （2）最喜欢古筝的人数：200×25%=50（名）， 最喜欢琵琶的人数：200×20%=40（名）； 补全条形图如图； „„„„3分 （3）二胡部分所对应的圆心角的度数为：

60200×360°=108°； „„„„4分 （4）1500×30200=225（名）． „„„„5分

答：1500名学生中估计最喜欢古琴的学生人数为225．25.（1）证明：连结OD，如图.

∵DE为⊙O的切线，OD为半径， ∴ODDE.

∴ODE90，即2ODC90.

10

F ∵OCOD， ∴CODC. ∴2C90. 而OCOB， ∴3C90. ∴23. ∵13， ∴12. „„„„2分 （2）解：∵OF:OB1:3，⊙O的半径为3， ∴OF1. ∵12， ∴EFED. 在Rt△ODE中，OD3,设DEx，则EFx，OE1x. ∵ODDEOE， 22∴3xx1，解得x4. 2222∴DE4，OE5. ∵AG为⊙O的切线，OA为半径，GD为⊙O的切线， ∴AGAE，GAGD. ∴GAE90. 在Rt△AGE中,设DGt，则GEt4. ∵AGAEGE. 22∴t8t4，解得，t6. 2222∴AG6. -------------------5分 26. 解：（1）AF=BE； „„„„1分

AF3． „„„„2分 BE 理由如下：∵四边形ABCD是菱形，ABC120, ∴ACBD,ABO60. ∴FAOAFO90. ∵AGBE，

∴EAGBEA90． ∴AFOBEA.

又∵AOFBOE90，

∴△AOF∽△BOE. „„„„3分

（2）

11

AFAO . BEOB ∵ABO60，ACBD，

AOtan603. ∴OBAF3. „„„„5分 ∴BE ∴

五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）

27．解：（1）∵抛物线

yax2bx1a0过点A1,0，B1,1，

∴ab10,ab11.

a1∴2,

b12.∴抛物线的函数关系式为y1212x2x1. „„„„2分 （2）∵xb2a12，C0,1 ∴抛物线y12112x2x1的对称轴为直线x2. 设点E为点A关于直线x12的对称点，则点E的坐标为2,0. 连接EC交直线x12于点D，此时△ACD的周长最小. 设直线EC的函数表达式为ykxm，代入E,C的坐标，

则2km0,m1.

解得k12,

m1.所以，直线EC的函数表达式为y12x1.

12

当x13时，y. 2413,. „„„„4分 24 ∴ 点D的坐标为（3）存在.

①当点A为直角顶点时，过点A作AC的垂线交y轴于点M，交对称轴于点P1. ∵AOOC，ACAP1， ∴AOMCAM90. ∵C0,1，A1,0， ∴OAOC1. ∴CAO45.

∴OAMOMA45. ∴OAOM1.

∴点M的坐标为0,1.

设直线AM对应的一次函数的表达式为yk1xb1，代入A,M的坐标，

k1b10,则

b1.1解得k11,

b1.1所以，直线AM的函数表达式为yx1.

令x13，则y. 2213,. „„„„5分 22 ∴点P1的坐标为N. ②当点C为直角顶点时，过点C作AC的垂线交对称轴于点P2，交x轴于点

与①同理可得Rt△CON是等腰直角三角形， ∴OCON1. ∴点N的坐标为1,0.

13

∵CP2AC，AP1AC， ∴CP2∥AP1.

∴直线CP2的函数表达式为yx1. 令x11，则y. 2211,. „„„„6分 221311,，P2,，使△ACP成为以AC为直角边的直角三2222∴点P2的坐标为综上，在对称轴上存在点P1角形．„„„„7分 28.解:(1)

当60时, BDAA. ------------1分

（2）补全图形如图1，

仍然成立；A BDA------------3分

（3）猜想BDAA仍然成立.

证明：作AECC，AFCC，垂足分别为点E,F，图2，则AECAFC90. ∵BCBC，

∴BCCBCC. ∵ACBACB90，

∴ACEBCC90，AC'FBCC90. ∴ACEACF. 在△AEC和△AFC中，

AECAFC90,ACEACF, ACAC,图2 图1

如

∴△AEC≌△AFC.

14

∴AEAF.

在△AED和△AFD中，

AECAFD90,ADEADF, AEAF,∴△AED≌△AFD. ∴ADAD. ∵ABAB，

∴△ABA'为等腰三角形. ∴BDAA------------7分

29．解：（1）∵x2≥0， ∴x2-1≥-1. ∴x2-1＞-2.

∴minx2-1,-22. ┉┉2分

(2) ∵x22xkx12k1,

∴x12k1≥k1. ∵min{x22xk,3}3，

∴k1≥3. ∴k≥2. ┉┉5分

(3) 3≤m≤7. ┉┉8分

15