证明数列是等差或等比数列的方法

1.定义法

在数列an中，若anan1d（d为常数），则数列an为等差数列 例：已知正项数列an的前n项和为Sn，a1 证明：数列an是等差数列

证明：由2Sn12Sn3an1得2(Snan1)2Sn3an1 整理得4Sn3an12an1 则4Sn13an2an

两式相减得4an3an13an2an12an 3an13an2an12an 因为an是正项数列，所以anan10 所以3an1an2，即an1an 所以an是首项为 2.等差中项法

anan22an1{an}是等差数列

例：设数列an的前n项和为Sn，已知a11，a26，a311，且

2222222222，且满足2Sn12Sn3an1（nN*） 32 322，公差为的等差数列 33，2，3，， (5n8)Sn1(5n2)SnAnB，n1其中A、B为常数

（1）求A与B的值 （2）证明数列an是等差数列

，S27，S318 解：（1）因为a11，a26，a311，所以S11 把n1，n2分别代入5n8Sn15n2SnAnB

得3771AB

2181272AB 解得：A20，B8

（2）由（1）知5n8Sn15n2Sn20n8 整理得5nSn1Sn8Sn12Sn20n8

即5nan18Sn12Sn20n8 ① 又5n1an28Sn22Sn120n18② ②-①得5n1an25nan18an22an120 即5n3an25n2an120 ③ 又5n2an35n7an220 ④ ④-③得5n2an32an2an10 所以an32an2an10

所以an3an2an2an1a3a25，又a2a15 所以数列an是首项为1，公差为5的等差数列 3.看通项与前n项和法（注：这些结论适用于选择题填空题）

（1）若数列通项an能表示成ananb（a，b为常数）的形式，则数列an是等差数列；

（2）若数列an的前n项和Sn能表示成Snanbn（a，b为常数）的形式，则

2数列an是等差数列

例：若Sn是数列an的前n项和，Snn，则an是（ ）

2 A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列

C.等差数列，也是等比数列 D.既不是等差数列，也不是等比数列 解析：根据（2）知an等差数列，不是等比数列

二、证明或判断数列为等比数列的方法 1.定义法

在数列an中，若

anq（q为常数），则数列an为等比数列 an11a n为偶数112n例：设数列an的首项a1a，且an1 ， 记bna2n1，

44a1 n为奇数n4n1,2,3…

（1）求a2，a3

（2）判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论

11111a，a3a2a 44228113113 (2)a4a3a,a5a4a

42824161111111 所以b1a1a，b2a3a(a)

444282411111 b3a5a(a)

44141 猜想bn是公比为的等比数列

2解：（1）a2a1 证明如下：因为

bn1a2(n1)11111111111a2n1a2n(a2n1)(a2n1)bn 442424424211 所以{bn}是首项为a，公比为的等比数列．

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例2：已知数列{an}的首项a15，前n项和为Sn，Sn12Snn5(nN) ，证明数

列{an1}是等比数列；

*解：由已知Sn12Snn5(nN)可得n2时,Sn2Sn1n4两式相减

得:Sn1Sn2(SnSn1)1，即an12an1，从而an112(an1)，

当n1时，S22S115，所以a2a12a16， 又a15，所以a211，从而a212(a11)．

故总有an112(an1)，nN，又a15，a110，从而

an112．

an1所以数列{an1}是等比数列．

* 例3：设数列an的前n项的和为Sn，且a11,Sn14an2,nN。

（1）设bnan12an，求证：数列bn是等比数列； 证明：（1）n2时

an1Sn1Sn4an4an1，

an12an2an2an1， bn2bn1

又b1a22a1S23a1a123

bn是首项为3，公比为2的等比数列。

例4：设数列an的首项a11，前n项和sn满足关系3tsn2t3sn13t，求证an为等比数列。

（错证）由题意：3tsn2t3sn13t

3tsn12t3sn23t

两式相减得：3tsnsn12t3sn1sn20 即：3tan2t3an10 所以：

an2t3为定值，所以an为等比数列。 an13t由于在证明的过程没有注意到各符号有意义的条件，从而忽略了n的取值范围，导致

证明不符合定义的完整性。 正确的证明如下：n3时：

3tsn2t3sn13t 3tsn12t3sn23t

两式相减得：3tsnsn12t3sn1sn20 即：3tan2t3an10

所以：

an2t3 an13t（这只能说明从第二项开始，后一项与前一项的比为定值，所以需要对第二项与第一项的比

另外加以证明，以达到定义的完整性。）

又因为n2时：

3ts22t3s13t

即3ta1a22t3a13t

又因为a11，所以3t3ta2(2t3)3t 所以 a2所以

2t3 3ta22t3 a13tan2t3为定值，所以an为等比数列。 an13t所以对任意n2都有

总之，在用定义证明一个数列为等差数列或等比数列的时候，一定要注意下标n的取值范围，不管是anan1；

ana还是an1an2;n1还是其它的情况，都在考虑定义的an1an2完整性，确保任何的后一项与相邻前一项的差（比）为定值，如有不全面的地方须另外加以

补充。

2.看通项与前n项和法

（1）若通项an能表示成ancq（c，q均为不为0的常数）的形式，则{an}是等比数列 （2）若数列{an}的前n项和Sn能表示成SnAqA（A、q均为不等于0的常数，且

nnq1）的形式，则数列{an}是公比不为1的等比数列

111例：已知数列an的前n项和Sn，则数列an是什么数列

323解析：由数列前n项和可知，数列an是等比数列，首项a1n11111公比q ，

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