(完整版)等差、等比数列的判断和证明

一、 1、等差数列的定义：如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的差

等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即anan1d(nN*,且n2).(或an1and(nN*)). 2、

等差数列的判断方法：

①定义法：an1and(常数)an为等差数列。

②中项法：等差中项：若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且

Aab。 2 2an1anan2an为等差数列。

③通项公式法：等差数列的通项：ana1(n1)d或anam(nm)d。公式变形为:ananb. 其中a=d, b= a1－d.

ananb（a,b为常数）an为等差数列。 ④前n项和公式法：等差数列的前n和：Sn公式变形为Sn=An2+Bn其中A=

d2n(a1an)n(n1)，Snna1d。22，B=a1d. 2snAn2Bn（A,B为常数）an为等差数列。

3.等差数列的性质：

（1）当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；

n(n1)dd前n项和Snna1dn2(a1)n是关于n的二次函数且常数项为0.

222（2）若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d0，则为常数列。

（3）对称性：若an是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当mnpq时,则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有aman2ap

(4) ①项数成等差,则相应的项也成等差数列.即ak,akm,ak2m,...(k,mN*)成等

差，公差为md；②若{an}是等差数列，则﹛kan+p﹜(k、p是非零常数)为等差数列，公差为kd.③若{an}、{bn}是等差数列，则{kanpbn} (k、p是非零常数)为等差数列，公差为kd1+pd2 （d1、d2 分别为{an}、{bn}的公差）④

Sn,S2nSn,S3nS2n 也成等差数列.⑤{aan}成等比数列；若{an}是等比数列，且

an0，则{lgan}是等差数列.

（5）在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时， snn(anan1)；s偶s奇nd；

s偶an1s偶n1. 当项数为奇数2n1时， s2n1(2n1)an；s偶s奇a1 ；s奇ans奇n（6）项数间隔相等或连续等长的片段和仍构成等差数列，eg：a1，a3，a5…构成等差数列，a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9…也构成等差数列.

二、1、等比数列的定义：如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比，即

anan1q(nN*,n2)

2、等比数列的判断方法： ①定义法：

an1q(q为常数），其中q0,an0an为等比数列。 an②中项法：如果a、G、b三个数成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G=ab.提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项。 an2=an-12an+12（nN*，n2）an为等比数列。

n1nmaaqaaq③通项公式法：等比数列的通项：n或 1nmn

an=Aqan为等差数列。

④前n项和法：等比数列的前n和：当q1时，Snna1；当q1时，

a1(1qn)a1anqSn=Aqn-A

1q1q Sn=Aqn-Aan为等差数列。

特别提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q1和q1两种情形讨论求解。 3、等比数列的性质：﹛ an﹜是公比为q的等比数列

（1）对称性：若an是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积.即当mnpq时，则有am.anap.aq，特别地，当mn2p时，则有am.anap.

(2) 单调性：若a10,q1，或a10,0q1则{an}为递增数列；若a10,q1,或a10,0q1 则{an}为递减数列；若q0，则{an}为摆动数列；若q1，则{an}为常数列.

（3）①﹛an﹜(不等于0) 公比=q； 若﹛bn﹜公比为q1

则②﹛anbn﹜公比为q q1 ③﹛1/an﹜公比为1/q ④﹛an﹜公比为q

（4）在数列{an}中，每隔k项（k N*）取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，公比为qk+1

（5）在数列{an}中，相邻k项的和或积构成公比为qk或qk2的等比数列 方法1：定义法

1

Eg：已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0 (n≥2)，a1＝. 2

1

(1)求证：为等差数列；

Sn

2(2)求an的表达式．

解析：(1)证明 ∵an＝Sn－Sn－1 (n≥2)，an＋2Sn·Sn－1＝0 (n≥2)，

∴Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0.

11

∵Sn≠0，∴－＝2 (n≥2)．

SnSn－1

111

由等差数列的定义，可知是以＝＝2为首项，以2为公差的等差数列．

S1a1Sn

11

由(1)，知＝＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，

SnS1

1

∴Sn＝.

2n当n≥2时，有an＝－2Sn·Sn－1＝－

2n1

当n＝1，a1＝，不满足上式，

212

故a＝

－2nn1

n－1

；

1n－1

n＝1，n≥2.

方法2：等差、等比中项法

Eg：已知数列{cn}，其中cn=2n+3n，且数列{cn+1-pcn}为等比数列，求常数p 解析：=即

，

整理得，

解得p=2或p=3．

，

，