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雅可比迭代和高斯赛德迭代的比较

来源:欧得旅游网

实验要求:

分别用雅可比算法和高斯-塞德尔算法求解给定的线性方程组。

函数接口定义:

int Jacobi( int n, double a[][MAX_SIZE], double b[], double x[], double TOL, int MAXN );

int Gauss_Seidel( int n, double a[][MAX_SIZE], double b[], double x[], double TOL, int MAXN );

两函数的接口定义是一致的:n为矩阵a的维数,MAX_SIZE是由裁判程序定义的矩阵最大维数,b是方程组中的常向量,x传入叠代初始向量,求得的解将存储在x中返回;TOL是需要达到的精度上限,MAXN是叠代最大次数。函数的返回值为整数,有以下4种可能:

  • -2:若迭代算法不收敛。这里判断不收敛的根据是当的某个分量值超出了最大区间[-bound, bound],其中bound是由裁判程序定义的常数;
  • -1:若矩阵有一列全为0,则方程组没有唯一解;
  • 0:若算法经过MAXN次叠代后还没有达到精度要求;
  • K:若算法经过K次叠代达到了精度要求。这时求得的解存储在x中。

这里必须注意到,如我们在第五章中讨论过的,在两种算法的公式中,A的对角元aii都出现在分母上,所以为了算法的稳定,我们必须采取措施使得对角元的绝对值尽可能大。因为叠代中A不改变,所以我们可以事先调整好A的对角元。

不同的调整策略可能导致不同的收敛性,本书裁判程序要求的调整策略是:对每

个aii,首先向下扫描该列元素(包括aii)中绝对值最大的那个元,若该元不为0,则通过行交换将该元换到aii的位置。若该元为0,则向上扫描该列元素中绝对值最大的那个元,若该元不为0,则将该元所在行的全部元加到第i行。

实验算法

雅可比迭代:

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