二维卷积层

《动手学深度学习pytorch》部分学习笔记，仅用作自己复习。

二维卷积层

卷积神经网络（convolutional neural network）是含有卷积层（convolutional layer）的神经网络。本章中介绍的卷积神经网络均使用最常见的二维卷积层。它有高和宽两个空间维度，常用来处理图像数据。

二维互相关运算

虽然卷积层得名于卷积（convolution）运算，但我们通常在卷积层中使⽤更加直观的互相关（cross-correlation）运算。在二维卷积层中，一个二维输入数组和⼀个二维核（kernel）数组通过互相关运算输出⼀个⼆维数组。

将上述过程实现在 corr2d 函数⾥。它接受输⼊数组 X 与核数组 K ，并输出数组 Y 。

import torch
from torch import nn
def corr2d(X, K): 
# 本函数已保存在d2lzh_pytorch包中⽅便以后使用
    h, w = K.shape
    Y = torch.zeros((X.shape[0] - h + 1, X.shape[1] - w + 1))
    for i in range(Y.shape[0]):
        for j in range(Y.shape[1]):
            Y[i, j] = (X[i: i + h, j: j + w] * K).sum()
    return Y

我们可以构造图5.1中的输⼊数组 X 、核数组 K 来验证⼆维互相关运算的输出。

X = torch.tensor([[0, 1, 2], [3, 4, 5], [6, 7, 8]])
K = torch.tensor([[0, 1], [2, 3]])
corr2d(X, K)

输出：

tensor([[19., 25.],
[37., 43.]])

二维卷积层

⼆维卷积层将输⼊和卷积核做互相关运算，并加上⼀个标量偏差来得到输出。卷积层的模型参数包括了卷积核和标量偏差。在训练模型的时候，通常我们先对卷积核随机初始化，然后不断迭代卷积核和偏差。
下⾯基于 corr2d 函数来实现⼀个自定义的二维卷积层。

class Conv2D(nn.Module):
    # 在构造函数 __init__ ⾥我们声明 weight和 bias 这两个模型参数。
    def __init__(self, kernel_size):
        super(Conv2D, self).__init__()
        self.weight = nn.Parameter(torch.randn(kernel_size))
        self.bias = nn.Parameter(torch.randn(1))
    # 前向计算函数 forward 则是直接调用 corr2d 函数再加上偏差。
    def forward(self, x):
        return corr2d(x, self.weight) + self.bias

卷积窗⼝形状为 pxq的卷积层称为 pxq卷积层。同样， pxq卷积或 pxq卷积核说明卷积核的⾼和宽分别为 p和 q。

 图像中物体边缘检测

下⾯我们来看⼀个卷积层的简单应用：检测图像中物体的边缘，即找到像素变化的位置。⾸先我们构造一张 6x8的图像（即高和宽分别为6像素和8像素的图像）。它中间4列为黑（0），其余为⽩（1）。

X = torch.ones(6, 8)
X[:, 2:6] = 0
X

输出：

tensor([[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.]])

然后我们构造⼀个⾼和宽分别为1和2的卷积核 K 。当它与输⼊做互相关运算时，如果横向相邻元素相同，输出为0；否则输出为非0。

K = torch.tensor([[1, -1]]) 

下⾯面将输⼊ X 和我们设计的卷积核 K 做互相关运算。可以看出，我们将从白到⿊的边缘和从⿊到⽩的边缘分别检测成了了1和-1。其余部分的输出全是0。

Y = corr2d(X, K)
Y

输出：

tensor([[ 0., 1., 0., 0., 0., -1., 0.],
[ 0., 1., 0., 0., 0., -1., 0.],
[ 0., 1., 0., 0., 0., -1., 0.],
[ 0., 1., 0., 0., 0., -1., 0.],
[ 0., 1., 0., 0., 0., -1., 0.],
[ 0., 1., 0., 0., 0., -1., 0.]])

由此，我们可以看出，卷积层可通过重复使用卷积核有效地表征局部空间。

通过数据学习核数组

⼀个例子，它使用物体边缘检测中的输入数据 X 和输出数据 Y 来学习我们构造的核数组K 。我们⾸先构造一个卷积层，其卷积核将被初始化成随机数组。接下来在每一次迭代中，我们使⽤平方误差来比较 Y 和卷积层的输出，然后计算梯度来更新权重。

# 构造⼀一个核数组形状是(1, 2)的⼆二维卷积层
conv2d = Conv2D(kernel_size=(1, 2))
step = 20
lr = 0.01
for i in range(step):
    Y_hat = conv2d(X)
    l = ((Y_hat - Y) ** 2).sum()
    l.backward()
    # 梯度下降
    conv2d.weight.data -= lr * conv2d.weight.grad
    conv2d.bias.data -= lr * conv2d.bias.grad
    # 梯度清0
    conv2d.weight.grad.fill_(0)
    conv2d.bias.grad.fill_(0)
    if (i + 1) % 5 == 0:
        print('Step %d, loss %.3f' % (i + 1, l.item()))

输出：

Step 5, loss 1.844
Step 10, loss 0.206
Step 15, loss 0.023
Step 20, loss 0.003

可以看到，20次迭代后误差已经降到了一个比较⼩的值。现在来看一下学习到的卷积核的参数。

print("weight: ", conv2d.weight.data)
print("bias: ", conv2d.bias.data)

输出：

weight: tensor([[ 0.9948, -1.0092]])
bias: tensor([0.0080])

可以看到，学到的卷积核的权重参数与我们之前定义的核数组 K 较接近，⽽偏置参数接近0。

互相关运算和卷积运算

实际上，卷积运算与互相关运算类似。为了得到卷积运算的输出，我们只需将核数组左右翻转并上下翻转，再与输⼊数组做互相关运算。可⻅，卷积运算和互相关运算虽然类似，但如果它们使⽤相同的核数组，对于同⼀个输入，输出往往并不相同。
那么，你也许会好奇卷积层为何能使用互相关运算替代卷积运算。其实，在深度学习中核数组都是学出来的：卷积层⽆论使用互相关运算或卷积运算都不影响模型预测时的输出。为了解释这⼀点，假设卷积层使用互相关运算学出图5.1中的核数组。设其他条件不变，使⽤用卷积运算学出的核数组即图5.1中的核数组按上下、左右翻转。也就是说，图5.1中的输⼊与学出的已翻转的核数组再做卷积运算时，依然得到图5.1中的输出。本书中提到的卷积运算均指互相关运算。

特征图和感受野

⼆维卷积层输出的二维数组可以看作是输入在空间维度（宽和⾼）上某⼀级的表征，也叫特征图（feature map）。影响元素 x的前向计算的所有可能输⼊区域（可能⼤于输入的实际尺寸）叫做 x的感受野（receptive field）。以图5.1为例，输入中阴影部分的四个元素是输出中阴影部分元素的感受野。我们将图5.1中形状为 2x2的输出记为 Y，并考虑⼀个更深的卷积神经网络：将 Y与另⼀个形状为的核数组做互相关运算，输出单个元素 z。那么， z在 Y上的感受野包括 Y的全部四个元素，在输⼊上的感受野包括其中全部9个元素。可见，我们可以通过更深的卷积神经网络使特征图中单个元素的感受野变得更加⼴阔，从而捕捉输⼊上更⼤尺⼨的特征。我们常使用“元素”一词来描述数组或矩阵中的成员。在神经网络的术语中，这些元素也可称为“单元”。当含义明确时，本书不对这两个术语做严格区分。

小结

• 二维卷积层的核⼼计算是⼆维互相关运算。在最简单的形式下，它对二维输⼊数据和卷积核做互相关运算然后加上偏差。
• 我们可以设计卷积核来检测图像中的边缘。
• 我们可以通过数据来学习卷积核。